हेंसल की लेम्मा

गणित में, हेंसल की लेम्मा, जिसे हेंसल की लिफ्टिंग लेम्मा के रूप में भी जाना जाता है, कर्ट हेन्सेल के नाम पर, मॉड्यूलर अंकगणित में परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि यदि अविभाजित बहुपद में साधारण मूल मॉड्यूल अभाज्य संख्या p है, तो इस मूल को अद्वितीय तक उपयोग किया जा सकता है। मूल मोडुलो p की कोई उच्च शक्ति है। सामान्यतः, यदि बहुपद दो सह-अभाज्य बहुपदों में मॉड्यूलो p को कारक बनाता है, तो इस कारककरण को p की किसी भी उच्च शक्ति के कारककरण मोडुलो तक उपयोग किया जा सकता है (मूल की स्थिति कारकों के लिए डिग्री 1 की स्थिति से युग्मित होती है)।

सीमा (वास्तव में यह व्युत्क्रम सीमा है) से निकलते हुए जब p की शक्ति अनंत तक जाती है, तो यह इस प्रकार होता है कि मूल या गुणन मॉड्यूलो p को मूल तक उपयोग किया जा सकता है या p-एडिक पूर्णांक पर गुणनखंड किया जा सकता है।

इन परिणामों को व्यापक रूप से सामान्यीकृत किया गया है, एक ही नाम के अनुसार, बहुपदों की स्थिति में इच्छानुसार रूप से क्रमविनिमेय वलय पर, जहां p को आदर्श द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और सहअभाज्य बहुपद का तात्पर्य बहुपद होता है जो आदर्श युक्त 1 उत्पन्न करते हैं।

हेंसल लेम्मा p-ऐडिक विश्लेषण में मौलिक है, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शाखा है।

हेन्सेल के लेम्मा का प्रमाण रचनात्मक है, और हेन्सेल भारोत्तोलन के लिए कुशल एल्गोरिदम की ओर जाता है, जो बहुपद कारककरण के लिए मौलिक है, और तर्कसंगत संख्याओं पर त्रुटिहीन रैखिक बीजगणित के लिए सबसे कुशल ज्ञात एल्गोरिदम देता है।

मॉड्यूलर अल्पता और भारोत्तोलन

हेन्सेल की मूल लेम्मा पूर्णांकों पर बहुपद गुणनखंडन और पूर्णांक मॉड्यूलो पर अभाज्य संख्या p और इसकी शक्तियों के मध्य संबंध से संबंधित है। इसे सामान्यतः उस स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है जहां पूर्णांकों को किसी क्रमविनिमेय वलय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और p को किसी भी अधिकतम आदर्श द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (वास्तव में, अधिकतम आदर्श $\mathbb {Z}$, $p\mathbb {Z}$ का रूप है, जहाँ p अभाज्य संख्या है)।

इसे त्रुटिहीन बनाने के लिए सामान्य मॉड्यूलर अंकगणित के सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है, और इसलिए इस संदर्भ में सामान्यतः उपयोग की जाने वाली शब्दावली को त्रुटिहीन रूप से परिभाषित करना उपयोगी होता है।

मान लीजिये R क्रमविनिमेय वलय है, और I, R आदर्श है। न्यूनीकरण मॉड्यूल I, के प्रत्येक तत्व को विहित मानचित्र के अंतर्गत इसकी छवि द्वारा प्रतिस्थापित करने के लिए संदर्भित करता है R $R\to R/I$ उदाहरण के लिए, यदि $f\in R[X]$ में गुणांकों वाला बहुपद R है, इसका अल्पता मोडुलो I, निरूपित $f{\bmod {I}}$ में बहुपद है। $(R/I)[X]=R[X]/IR[X]$ f के गुणांकों को उनकी छवि प्रतिस्थापित करके $R/I$ प्राप्त किया गया। दो बहुपद f और g में $R[X]$ सर्वांगसम मॉड्यूल I हैं, जिन्हें ${\textstyle f\equiv g{\pmod {I}}}$ द्वारा निरूपित किया गया है यदि उनके गुणांक मॉड्यूल I समान हैं, अर्थात यदि $f-g\in IR[X]$ है। यदि $h\in R[X]$ का गुणनखंडन h मापांक I में दो (या अधिक) बहुपद f, g होते हैं $R[X]$ जैसे कि ${\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}}$ हैं।

लिफ्टिंग की प्रक्रिया अल्पता के विपरीत है। अर्थात्, दी गई गणितीय वस्तु के तत्वों पर निर्भर करती है $R/I$ लिफ्टिंग की प्रक्रिया इन तत्वों को तत्वों द्वारा प्रतिस्थापित करती है $R$ (या का $R/I^{k}$ कुछ के लिए k > 1) जो उन्हें इस प्रकार से मानचित्र करता है जो वस्तुओं के गुणों को बनाए रखता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद $h\in R[X]$ दिया और गुणनखंड मॉड्यूल I इसके रूप में बताया गया ${\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}}$ इस गुणनखंड मॉड्यूल को उठाना $I^{k}$ बहुपद शोध करने के लिए $f',g'\in R[X]$ होते हैं ऐसा है कि ${\textstyle f'\equiv f{\pmod {I}}}$ ${\textstyle g'\equiv g{\pmod {I}}}$ और ${\textstyle h\equiv f'g'{\pmod {I^{k}}}}$ हेंसल की लेम्मा का प्रमाणित है कि हल्की परिस्थितियों में इस प्रकार की लिफ्टिंग सदैव संभव है; अगला भाग देखें।

कथन

मूल रूप से, हेन्सेल की लेम्मा को पूर्णांकों पर बहुपद की अभाज्य संख्या p को p की किसी भी शक्ति p-एडिक पूर्णांकों पर गुणनखंडन के लिए गुणन मॉड्यूल को उठाने के लिए (और सिद्ध किया गया) कहा गया था। इसे सरलता से सामान्यीकृत किया जा सकता है, उसी प्रमाण के साथ जहां पूर्णांक को किसी भी क्रमविनिमेय वलय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, अभाज्य संख्या को अधिकतम आदर्श द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और p-ऐडिक पूर्णांकों को अधिकतम आदर्श के संबंध में पूर्णता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह सामान्यीकरण है, जिसका व्यापक रूप से उपयोग भी किया जाता है, जिसे यहां प्रस्तुत किया गया है।

मान लीजिये ${\mathfrak {m}}$ क्रमविनिमेय वलय R का उच्चिष्ठ आदर्श हो, और

$h=\alpha _{0}X^{n}+\cdots +\alpha _{n-1}X+\alpha _{n}$

में बहुपद हो। $R[X]$ अग्रणी गुणांक के साथ $\alpha _{0}$ ${\mathfrak {m}}$ के अंदर नही है।

तब से ${\mathfrak {m}}$ अधिकतम आदर्श, भागफल वलय है $R/{\mathfrak {m}}$ क्षेत्र है, और $(R/{\mathfrak {m}})[X]$ प्रमुख आदर्श डोमेन है, और, विशेष रूप से, अद्वितीय गुणनखंड डोमेन, जिसका अर्