हाइपरकंप्यूटेशन

हाइपरकम्प्यूटेशन या सुपर-ट्यूरिंग कम्प्यूटेशन एक ऐसा कम्प्यूटेशन मॉडल हैं जो नॉन ट्यूरिंग-कम्प्यूटेबल आउटपुट प्रदान करता हैं। सुपर-ट्यूरिंग कंप्यूटिंग, जिसे 1990 के दशक के प्रारंभ में हावा सीगलमैन द्वारा प्रस्तुत किया गया था; ऐसे न्यूरोलॉजिकल प्रेरित, जैविक और भौतिक कंप्यूटिंग को संदर्भित करता है जो लाइफलॉंग मशीन लर्निंग का गणितीय आधार बन गया है। हाइपरकंप्यूटेशन, जिसे 1990 के दशक के अंत में विज्ञान के एक क्षेत्र के रूप में प्रस्तुत किया गया था, के संदर्भ में कहा जाता है कि यह सुपर-ट्यूरिंग पर आधारित है, परंतु इसमें ऐसे निर्माण भी सम्मिलित हैं जो दार्शनिक हैं। उदाहरण के लिए, एक मशीन जो हॉल्टिंग प्रॉब्लम का समाधान कर सकती है वह हाइपर कंप्यूटर होगी; इसी प्रकार वह मशीन भी हाइपरकंप्यूटर होगी जो पीनो अंकगणित में प्रत्येक कथन का सही समाधान कर सकती है।

चर्च-ट्यूरिंग शोध-प्रबंध में कहा गया है कि किसी भी ''गणनीय'' फलन की गणना, यदि किसी गणितज्ञ द्वारा सरल विधिकलन के किसी परिमित समुच्चय का उपयोग करके कलम और कागज के साथ की जा सकती है, तो ट्यूरिंग मशीन द्वारा इसकी गणना भी संभव है। हाइपरकंप्यूटर उन फलनों की गणना करता है जो एक ट्यूरिंग मशीन नहीं कर सकती है और जो, इस प्रकार चर्च-ट्यूरिंग अर्थ में "गणनीय" नहीं हैं।

तकनीकी रूप से, एक रैंडम ट्यूरिंग मशीन का आउटपुट गणनीय नहीं होता है; यद्यपि, अधिकांश हाइपरकंप्यूटिंग साहित्य, यादृच्छिक, अगणनीय फलनों के अतिरिक्त, निर्धारणात्मक फलनों की गणना पर ध्यान केंद्रित करते है।

इतिहास

ट्यूरिंग मशीनों से अधिक शक्तिशाली एक कम्प्यूटेशनल मॉडल एलन ट्यूरिंग द्वारा अपने 1938 के पीएचडी शोध प्रबंध "सिस्टम्स ऑफ़ लॉजिक बेस्ड ऑन ऑर्डिनल्स" में प्रस्तुत किया गया था। इस लेख में ऐसे गणितीय प्रणालियों की खोज की गई, जिनमें ओरेकल उपलब्ध था, जो प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक गैर-पुनरावृत्ति विशेष फलन की गणना कर सकता था। उन्होंने इस उपकरण का उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया कि उन अधिक शक्तिशाली प्रणालियों में, अपरिभाष्यता समस्या अभी भी उपलब्ध है। ट्यूरिंग के ऑरेकल मशीन गणितीय अवकलन हैं और इन्हें भौतिक रूप से संभाव्य नहीं बनाया जा सकता है।

स्टेट स्पेस

एक अर्थ में, अधिकांश फलन अगणनीय होते हैं: जहाँ $\aleph _{0}$ गणनीय फलनों की संख्या हैं; सुपर-ट्यूरिंग फलनों की संख्या ($2^{\aleph _{0}}$) अगणनीय होती है।

मॉडल

हाइपरकंप्यूटर मॉडल विभिन्न रूपों में पाए जाते हैं, जिनमें से कुछ उपयुक्त होते हैं परंतु संभवतः अप्राप्य नहीं होते (जैसे कि ट्यूरिंग की मूल ऑरेकल मशीनें), और कुछ कम उपयुक्त रैंडम-फ़ंक्शन जेनरेटर्स होते हैं जो संभवतः "गणनीय" होते हैं (जैसे कि एक रैंडम ट्यूरिंग मशीन)।

अगणनीय इनपुट या ब्लैक-बॉक्स कॉमपोनेन्ट

एक सिस्टम ने इनपुट के रूप में अगणनीय, ओरैक्यूलर चैतिन स्थिरांक (अंकों के अनंत अनुक्रम वाली एक संख्या जो हॉल्टिंग समस्या के समाधान को कूटबद्ध करती है) का ज्ञान प्रदान किया है, जो बड़ी संख्या में उपयोगी अपरिभाष्य समस्याओं को हल कर सकता है; एक इनपुट के रूप में एक अगणनीय रैंडम-नंबर जनरेटर प्रदान किया गया सिस्टम रैंडम अगणनीय फलनों का निर्माण कर सकता है, परंतु सामान्यतः यह नहीं माना जाता है कि यह हॉल्टिंग समस्या जैसे उपयोगी अगणनीय फलनों को सार्थक रूप से हल करने में सक्षम है। विभिन्न प्रकार के कल्पनीय हाइपरकंप्यूटरों की असीमित संख्या है, जिनमें सम्मिलित हैं:

• 1939 में ट्यूरिंग द्वारा परिभाषित, ट्यूरिंग की मूल ओरेकल मशीनें।
• यदि भौतिकवाद सामान्य वास्तविक चर केवल गणनीय संख्या को स्वीकार करती है, और ये किसी तरह से गणना के लिए उपयोगी हैं तो एक रियल कंप्यूटर हाइपरकंप्यूटेशन कर सकता है इसके लिए भौतिकी के अत्यधिक विचित्र नियमों की आवश्यकता हो सकती है (उदाहरण के लिए, एक अपरिमित मान के साथ मापने योग्य भौतिक स्थिरांक, जैसे कि चैतिन का स्थिरांक), और वास्तविक-मान भौतिक मान को यादृच्छिक विधि से परिशुद्धता में मापने की क्षमता की आवश्यकता होगी, यद्यपि मानक भौतिकी ऐसे यादृच्छिक-सटीक माप को सैद्धांतिक रूप से अव्यवहार्य बनाती है।
  • इसी प्रकार, एक न्यूरल नेट जिसमें चैतिन का स्थिरांक किसी तरह उसके भार फलन में सटीक रूप से अंतर्निहित होता है, हॉल्टिंग समस्या को हल करने में सक्षम होगा, परंतु यह वास्तविक गणना पर आधारित हाइपरकंप्यूटेशन के अन्य मॉडलों की तरह ही भौतिक कठिनाइयों के अधीन है।
• कुछ फ़ज़ी लॉजिक-आधारित फ़ज़ी ट्यूरिंग मशीनें, परिभाषा के अनुसार, गलती से हॉल्टिंग समस्या को हल कर सकती हैं, परंतु केवल इसलिए क्योंकि हॉल्टिंग समस्या को हल करने की उनकी क्षमता परोक्ष रूप से मशीन के विनिर्देशन में मानी जाती है; इसे मशीनों के मूल विनिर्देश में एक बग के रूप में देखा जाता है।
  • इसी तरह, एक प्रस्तावित मॉडल जिसे निष्पक्ष गैर-नियतिवाद के रूप में जाना जाता है, गलती से गैर-गणनीय कार्यों की मौखिक गणना की अनुमति दे सकता है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, ऐसी कुछ प्रणालियों में अस्वीकार इनपुट की पहचान करने की मौखिक क्षमता होती है जो गलत विधि से एक उपप्रणाली को सदा के लिए चलाने का कारण बनेगी।
• दिमित्रो तारानोव्स्की ने विश्लेषण की पारंपरिक रूप से गैर-फ़िनिटिस्टिक शाखाओं का एक परिमितवाद मॉडल प्रस्तावित किया है, जो एक ट्यूरिंग मशीन के निकट बनाया गया है जो इसके ओरेकल के रूप में तेजी से बढ़ते फ़ंक्शन से सुसज्जित है। इस और अधिक जटिल मॉडलों के द्वारा वह दूसरे क्रम के अंकगणित की व्याख्या देने में सक्षम थे। इन मॉडलों को एक अगणनीय इनपुट की आवश्यकता होती है, जैसे कि एक भौतिक घटना-उत्पादन प्रक्रिया जहां घटनाओं के मध्य का अंतराल एक अगणनीय रूप से बड़ी दर से बढ़ता है।
  • इसी प्रकार, असीमित गैर-नियतिवाद के मॉडल की एक अपरंपरागत व्याख्या, परिभाषा के अनुसार, यह मानती है कि एक अभिनेता को व्यवस्थित होने के लिए आवश्यक समय की अवधि मौलिक रूप से अज्ञात है, और इसलिए मॉडल के भीतर यह सिद्ध नहीं किया जा सकता है कि इसमें समय की निर्विवाद रूप से लंबी अवधि नहीं लगती है।

अगणनीय कम्प्यूटेशनल चरण मॉडल

सही विधि से कार्य करने के लिए, नीचे दी गई मशीनों द्वारा कुछ गणनाओं के लिए वस्तुतः असीमित परंतु सीमित, और संसाधनों के अतिरिक्त अनंत भौतिक स्थान की आवश्यकता होती है; इसके विपरीत, ट्यूरिंग मशीन के साथ, कोई भी गणना जो हाल्ट होती है के लिए केवल सीमित भौतिक स्थान और संसाधनों की आवश्यकता होगी।

• एक ट्यूरिंग मशीन जो अंतिम तक अनंत बार चलती है, परंतु फिर भी एक सीमित समय में अनंत चरण पूरा कर सकती है, उसे "सुपरटास्क" के रूप में जाना जाता है। सिर्फ अनंत बार चलने की क्षमता काम नहीं आती। एक गणितीय मॉडल "ज़ेनो मशीन" है, जो "ज़ेनो के विरोधाभास" से प्रेरित है। मान लीजिए जीनो मशीन पहले गणना चरण को 1 मिनट में पूरा करती है, दूसरे चरण को ½ मिनट में, तीसरे चरण को ¼ मिनट में, और इसी प्रकार अपने सभी चरणों को पूरा करती है। 1+½+¼+... शृंखला को जोड़कर हम देखते हैं कि मशीन इन्फिनिटी दौरों को अंतिम समय में 2 मिनट में पूरा करती है। शाग्रिर के अनुसार, जीनो मशीन भौतिक संभावनाओं से परिचय कराती है और इसकी स्थिति [0, 2) के एक पक्ष की विवृत्त अवधि के बाहर तार्किक रूप से परिभाषित नहीं होती, इसलिए यह निर्धारित समय के ठीक 2 मिनट बाद की गणना के आधे में अपरिभाषित है।
• यद्यपि, टाइम-ट्रैवल की संभावना आज्ञात गणना को स्वयं में संभव बनाती है, यह स्वतः इतना नहीं है क्योंकि सीटीसी अनंत गणना के लिए आवश्यक असीमित स्टोरेज प्रदान नहीं करता है। फिर भी, ऐसे स्पेसटाइम हैं जिनमें संघर्षित समय-समवर्ती फ्लैग ज़ोन का प्रयोग संबंधितवादी उच्चगणना के लिए किया जा सकता है। 1992 के एक लेख के अनुसार, एक कंप्यूटर जो मैलामेंट-होगर्थ स्पेसटाइम में या घूमते हुए ब्लैक होल के चारों ओर कक्षा में कार्य कर रहा है सैद्धांतिक रूप से ब्लैक होल के अंदर एक पर्यवेक्षक के लिए गैर-ट्यूरिंग गणना कर सकता है। सीटीसी तक पहुंच पीएसपीएसीई-पूर्ण समस्याओं के त्वरित समाधान की अनुमति दे सकती है, एक जटिलता वर्ग, जो ट्यूरिंग-निर्णायक होने के अतिरिक्त, सामान्यतः कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन माना जाता है।

क्वांटम मॉडल

कुछ विद्वानों का अनुमान है कि एक क्वांटम यांत्रिकी प्रणाली जो किसी तरह स्टेट के अनंत सुपरपोजिशन का उपयोग करती है, एक गैर-गणनीय फलन की गणना कर सकती है। मानक क्वबिट-मॉडल नियमित क्वांटम कंप्यूटर पीएसपीएसीई-रिड्यूसिबल का उपयोग करना संभव नहीं है, क्योंकि यह सिद्ध है कि एक नियमित क्वांटम कंप्यूटर पीएसपीएसीई-रिड्यूसिबल है।

"इवेंचुअली करेक्ट" सिस्टम

कुछ भौतिक रूप से साकार करने योग्य सिस्टम अंततः सदैव सही उत्तर पर आ जाती हैं, परंतु उनमें दोष यह है कि वे प्रायः गलत उत्तर देते हैं और अंततः वापस जाने और गलती को सुधारने से पहले असंगत रूप से बड़ी अवधि के लिए गलत उत्तर पर आधारित रहते हैं।

• 1960 के दशक के मध्य में, ई मार्क गोल्ड और हिलेरी पटनम ने स्वतंत्र रूप से क्रमश आगमनात्मक अनुमान (सीमित पुनरावर्ती कार्यात्मकता) और परीक्षण-और-त्रुटि विधेय के मॉडल प्रस्तावित किए । ये मॉडल संख्याओं या भाषाओं के कुछ गैर-पुनरावर्ती समुच्चय (भाषाओं के सभी पुनरावर्ती गणनीय समुच्चय सहित) को सीमा में सीखने में सक्षम बनाते हैं; जबकि, परिभाषा के अनुसार, ट्यूरिंग मशीन द्वारा संख्याओं या भाषाओं के केवल पुनरावर्ती समुच्चय की पहचान की जा सकती है। जबकि मशीन कुछ सीमित समय में किसी भी सीखने योग्य सेट पर सही उत्तर पर स्थिर हो जाएगी, यह केवल इसे सही के रूप में पहचान सकती है यदि यह पुनरावर्ती है; अन्यथा, शुद्धता केवल मशीन को सदैव चलाने और यह ध्यान देने से ही स्थापित होती है कि यह अपने उत्तर को कभी संशोधित नहीं करती है। पुत्नाम ने इस नई व्याख्या को अनुभवजन्य विधेय के वर्ग के रूप में पहचाना, कहा: यदि हम हमेशा 'मानते' हैं कि सबसे हाल ही में उत्पन्न उत्तर सही है, तो हम सीमित संख्या में गलतियाँ करेंगे, परंतु अंततः हमें सही उत्तर मिलेगा। (ध्यान दें, यद्यपि, भले ही हमें सही उत्तर (सीमित अनुक्रम का अंत) मिल गया हो, हम कभी भी आश्वस्त नहीं होते हैं कि हमारे पास सही उत्तर है।)एल. के. शुबर्ट का 1974 का पेपर इटरेटेड लिमिटिंग रिकर्सन एंड द प्रोग्राम मिनिमाइजेशन प्रॉब्लम सीमित प्रक्रिया को दोहराने के प्रभावों का अध्ययन किया; यह किसी भी अंकगणितीय पदानुक्रम विधेय की गणना करने की अनुमति देता है। शूबर्ट ने लिखा, सहज रूप से, पुनरावृत्त सीमित पहचान को निम्न क्रम आगमनात्मक अनुमान मशीनों के लगातार बढ़ते समुदाय द्वारा सामूहिक रूप से निष्पादित उच्च-क्रम आगमनात्मक अनुमान के रूप में माना जा सकता है।
• एक प्रतीक अनुक्रम सीमा में गणनीय है यदि सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन पर एक सीमित, संभवतः नॉन-हॉल्टिंग प्रोग्राम है जो अनुक्रम के प्रत्येक प्रतीक को क्रमिक रूप से आउटपुट करता है। इसमें π और प्रत्येक अन्य गणनीय वास्तविक का डायडिक विस्तार सम्मिलित है, परंतु फिर भी सभी गैर-गणनीय वास्तविकताओं को सम्मिलित नहीं किया गया है। पारंपरिक रूप से न्यूनतम विवरण लंबाई सिद्धांत में उपयोग की जाने वाली 'मोनोटोन ट्यूरिंग मशीनें' अपने पिछले आउटपुट को संपादित नहीं कर सकती हैं; सामान्यीकृत ट्यूरिंग मशीनें, जैसा कि जुर्गन श्मिडहुबर द्वारा परिभाषित किया गया है, कर सकती हैं। वह रचनात्मक रूप से वर्णन करने योग्य प्रतीक अनुक्रमों को उन लोगों के रूप में परिभाषित करता है जिनमें एक सामान्यीकृत ट्यूरिंग मशीन पर चलने वाला एक सीमित, गैर-रोक कार्यक्रम होता है, जैसे कि कोई भी आउटपुट प्रतीक अंततः परिवर्तित हो जाता है; अर्थात्, कुछ सीमित प्रारंभिक समय अंतराल के बाद इसमें कोई परिवर्तन नहीं होता है। कर्ट गोडेल (1931) द्वारा पहली बार प्रदर्शित सीमाओं के कारण, एक हॉल्टिंग प्रोग्राम द्वारा स्वयं अभिसरण समय का अनुमान करना असंभव हो सकता है, अन्यथा हॉल्टिंग समस्या हल हो सकती है। श्मिधुबर () औपचारिक रूप से वर्णित या रचनात्मक रूप से गणनीय ब्रह्मांडों या प्रत्येक वस्तु के रचनात्मक सिद्धांत के समुच्चय को परिभाषित करने के लिए इस दृष्टिकोण का उपयोग करता है। सामान्यीकृत ट्यूरिंग मशीनें अंततः स्पेकर अनुक्रम का मूल्यांकन करके हॉल्टिंग समस्या के सही समाधान में जुट सकती हैं।

क्षमताओं का विश्लेषण

कई हाइपरकंप्यूटेशन प्रस्तावनाएं यह सिद्ध करती हैं कि ये वैकल्पिक विधियाँ हैं जिनसे एक क्लासिकल मशीन में एम्बेड किए गए एक ऑरेकल या अड्वाइस फ़ंक्शन को पढ़ा जा सकता है। अन्य विधियाँ अंकगणितीय पदानुक्रम के कुछ उच्च स्तर तक पहुंच की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, सुपरटास्किंग ट्यूरिंग मशीनें, सामान्य धारणाओं के अंतर्गत, ट्रुथ-टेबल रीडक्शन $\Sigma _{1}^{0}$ या $\Pi _{1}^{0}$ में किसी भी विधेय की गणना करने में सक्षम होती हैं इसके विपरीत, सीमित-पुनरावर्तन, संबंधित ट्यूरिंग डिग्री में किसी भी विधेय या फलन की गणना कर सकता है, जिसे $\Delta _{2}^{0}$ के रूप में जाना जाता है। गोल्ड ने आगे प्रदर्शित किया कि आंशिक रिकर्सन को सीमित करने से सटीक गणना की अनुमति मिल जाएगी।

मॉडल	गणनीय विधेय	टिप्पणियाँ	उद्धरण
सुपरटास्किंग	tt($\Sigma _{1}^{0},\Pi _{1}^{0}$)	बाह्य पर्यवेक्षक पर निर्भर
परिमित/परीक्षण-और-त्रुटि	$\Delta _{2}^{0}$
पुनरावृत्त परिमित (k बार)	$\Delta _{k+1}^{0}$
ब्लम-शब-स्माले मशीन		पारंपरिक गणनीय फलनों के साथ अतुलनीय
मैलामेंट-हॉगर्थ स्पेसटाइम	एचवाईपी	स्पेसटाइम स्ट्रक्चर पर निर्भर
एनालॉग आवर्तक न्यूरल नेटवर्क	$\Delta _{1}^{0}[f]$	f संयोजन भार देने वाला एक अड्वाइस फंक्शन है; आकार रनटाइम द्वारा परिमित है
अनंत समय ट्यूरिंग मशीन	$AQI$	अंकगणितीय क्वासी-इन्डक्टिव समुच्चय
पारंपरिक फजी ट्यूरिंग मशीन	$\Sigma _{1}^{0}\cup \Pi _{1}^{0}$	किसी भी गणनीय फलन के लिए टी-मानदंड
ओरेकल फ़ंक्शन	$\Delta _{1}^{1}$	एक-अनुक्रम मॉडल के लिए; $\Pi _{1}^{1}$ r.e. हैं।

आलोचना

मार्टिन डेविस ने हाइपरकंप्यूटेशन पर अपने लेखों में इस विषय को "एक मिथक" के रूप में संदर्भित किया है और हाइपरकंप्यूटेशन की भौतिकता के विरुद्ध विरोध-तर्क प्रस्तुत किये हैं। विषयवस्तु संबंधी अपने सिद्धांत में, उन्होंने उन दावों के विरुद्ध तर्क किए हैं जो कहते हैं कि हाइपरकंप्यूटेशन एक नई शाखा है जिसकी स्थापना 1990 के दशक में हुई। यह दृष्टिकोण कंप्यूटेबिलिटी सिद्धांत के इतिहास (असंविधानियों के डिग्री, फ़ंक्शन, वास्तविक संख्याएँ और ऑर्डिनल्स पर गणनीयता) पर निर्भर करता है, जैसा कि ऊपर भी उल्लेखित किया गया है। अपने तर्क में, उन्होंने एक टिप्पणी की है जिसमें कहा गया है कि हाइपरकंप्यूटेशन का मूल सार बस इतना ही है कि: "यदि अगणनीय इनपुट स्वीकार्य हैं, तो अगणनीय आउटपुट प्राप्त किए जा सकते हैं।"

यह भी देखें

• गणना
• डिजिटल भौतिकी
• गणना की सीमाएँ
• सुपरटास्क

अग्रिम पठन

• Mario Antoine Aoun, "Advances in Three Hypercomputation Models", (2016)
• L. Blum, F. Cucker, M. Shub, S. Smale, Complexity and Real Computation, Springer-Verlag 1997. General development of complexity theory for abstract machines that compute on real numbers instead of bits.
• Burgin, M. S. (1983) Inductive Turing Machines, Notices of the Academy of Sciences of the USSR, v. 270, No. 6, pp. 1289–1293
• Keith Douglas. Super-Turing Computation: a Case Study Analysis (PDF), M.S. Thesis, Carnegie Mellon University, 2003.
• Mark Burgin (2005), Super-recursive algorithms, Monographs in computer science, Springer. ISBN 0-387-95569-0
• Cockshott, P. and Michaelson, G. Are there new Models of Computation? Reply to Wegner and Eberbach, The computer Journal, 2007
• Cooper, S. B. (2006). "Definability as hypercomputational effect" (PDF). Applied Mathematics and Computation. 178: 72–82. CiteSeerX 10.1.1.65.4088. doi:10.1016/j.amc.2005.09.072. S2CID 1487739. Archived from the original (PDF) on 2011-07-24. Retrieved 2011-06-16.
• Cooper, S. B.; Odifreddi, P. (2003). "Incomputability in Nature" (PDF). In S. B. Cooper; S. S. Goncharov (eds.). Computability and Models: Perspectives East and West. Plenum Publishers, New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow. pp. 137–160. Archived from the original (PDF) on 2011-07-24. Retrieved 2011-06-16.
• Copeland, J. (2002) Hypercomputation Archived 2016-03-14 at the Wayback Machine, Minds and machines, v. 12, pp. 461–502
• Davis, Martin (2006), "The Church–Turing Thesis: Consensus and opposition". Proceedings, Computability in Europe 2006. The requested URL /~simon/TEACH/28000/DavisUniversal.pdf was not found on this server. Lecture Notes in Computer Science, 3988 pp. 125–132
• Hagar, A. and Korolev, A., Quantum Hypercomputation—Hype or Computation?, (2007)
• Müller, Vincent C. (2011). "On the possibilities of hypercomputing supertasks". Minds and Machines. 21 (1): 83–96. CiteSeerX 10.1.1.225.3696. doi:10.1007/s11023-011-9222-6. S2CID 253434.
• Ord, Toby. Hypercomputation: Computing more than the Turing machine can compute: A survey article on various forms of hypercomputation.
• Piccinini, Gualtiero: Computation in Physical Systems
• Putz, Volkmar and Karl Svozil, Can a computer be "pushed" to perform faster-than-light?, (2010)
• Rogers, H. (1987) Theory of Recursive Functions and Effective Computability, MIT Press, Cambridge Massachusetts
• Mike Stannett, Mike (1990). "X-machines and the halting problem: Building a super-Turing machine". Formal Aspects of Computing. 2 (1): 331–341. doi:10.1007/BF01888233. S2CID 7406983.
• Mike Stannett, The case for hypercomputation Archived 2016-03-04 at the Wayback Machine, Applied Mathematics and Computation, Volume 178, Issue 1, 1 July 2006, Pages 8–24, Special Issue on Hypercomputation
• Syropoulos, Apostolos (2008), Hypercomputation: Computing Beyond the Church–Turing Barrier (preview), Springer. ISBN 978-0-387-30886-9
• Turing, Alan (1939). "Systems of logic based on ordinals". Proceedings of the London Mathematical Society. 45: 161–228. doi:10.1112/plms/s2-45.1.161. hdl:21.11116/0000-0001-91CE-3.
• Ashish Sharma (2022), Nature Inspired Algorithms with Randomized Hypercomputational Perspective. Information Sciences. https://doi.org/10.1016/j.ins.2022.05.020

बाहरी संबंध

• Hypercomputation Research Network