हर्मिटियन सहायक

गणित में, विशेष रूप से संकारक सिद्धांत में, आंतरिक उत्पाद स्थान पर प्रत्येक रैखिक संकारक $A$ नियम

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,$

के अनुसार उस स्थान पर एक हर्मिटियन सहायक (या सहायक) संकारक $A^{*}$को परिभाषित करता है, जहां $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ सदिश पर आंतरिक उत्पाद है।

चार्ल्स हर्मिट के बाद सहायक को हर्मिटियन संयुग्म या बस हर्मिटियन भी कहा जा सकता है। इसे प्रायः A^† द्वारा दर्शाया जाता है भौतिकी जैसे क्षेत्रों में, विशेषतः जब क्वांटम यांत्रिकी में ब्रा-केट संकेत चिन्ह के साथ संयोजन में उपयोग किया जाता है। परिमित आयामों में जहां संकारकों को मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है, हर्मिटियन सहायक संयुग्म स्थानांतरण (जिसे हर्मिटियन ट्रांसपोज़ के रूप में भी जाना जाता है) द्वारा दिया जाता है।

सहायक संकारक की उपरोक्त परिभाषा हिल्बर्ट स्थान $H$ पर परिबद्ध संचालिका तक शब्दशः विस्तारित होती है। परिभाषा को आगे बढ़ाया गया है ताकि असीमित सघन रूप से परिभाषित संकारक को सम्मिलित किया जा सके, जिनका डोमेन स्थलाकृतिक रूप से सघन (टोपोलॉजी) है - लेकिन जरूरी नहीं कि $H.$ के बराबर हो।

अनौपचारिक परिभाषा

हिल्बर्ट स्थानों के बीच रेखीय मानचित्र $A:H_{1}\to H_{2}$ पर विचार करें। किसी भी विवरण का ध्यान रखे बिना, सहायक संकारक (अधिकांश स्थितियों में विशिष्ट रूप से परिभाषित) रैखिक संकारक $A^{*}:H_{2}\to H_{1}$ है जो

$\left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},$ को पूरा करता है,

जहां $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}$ हिल्बर्ट स्थान $H_{i}$ में आंतरिक उत्पाद है, जो पहले निर्देशांक में रैखिक है और दूसरे निर्देशांक में प्रतिरेखीय है। उस विशेष स्थिति पर ध्यान दें जहां दोनों हिल्बर्ट स्थान समान हैं और $A$ उस हिल्बर्ट स्थान पर एक संकारक है।

जब कोई दोहरी जोड़ी के लिए आंतरिक उत्पाद का व्यापार करता है, तो वह एक संकारक के सहायक को परिभाषित कर सकता है, जिसे एक रैखिक मानचित्र का ट्रांसपोज़ भी कहा जाता है। $A:E\to F$, कहाँ $E,F$ संगत नॉर्म (गणित) के साथ बानाच रिक्त स्थान हैं $\|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}$। यहां (फिर से किसी तकनीकी पर विचार न करते हुए), इसके सहायक संकारक को $A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),$ के साथ $A^{*}:F^{*}\to E^{*}$ के रूप में परिभाषित किया गया है अर्थात $f\in F^{*},u\in E$ के लिए $\left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)$।

हिल्बर्ट स्पेस समायोजना में उपरोक्त परिभाषा वास्तव में बानाच स्पेस केस का एक अनुप्रयोग है जब कोई हिल्बर्ट स्पेस को उसके दोहरे के साथ पहचानता है। तब यह स्वाभाविक ही है कि हम एक संकारक $A:H\to E$ का सहायक भी प्राप्त कर सकते हैं , जहां $H$ एक हिल्बर्ट स्थान है और $E$ बानाच स्थान है। फिर दोहरे को $A^{*}f=h_{f}$ के साथ $A^{*}:E^{*}\to H$ के रूप में परिभाषित किया जाता है जैसे कि $\langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah)$।

बनच स्थान के बीच असीमित संकारकों के लिए परिभाषा

मान लीजिए $\left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)$ बनच स्थान हैं। मान लीजिए $A:D(A)\to F$, और $D(A)\subset E$, और मान लीजिए कि $A$ एक संभवतः असीमित रैखिक ऑपरेटर है जिसे सघन रूप से परिभाषित किया गया है (यानी $D(A)$ $E$ में सघन है)। फिर इसका सहायक संकारक ${}^{}$