स्वायत्त प्रणाली (गणित)

रेखीय स्वायत्त प्रणाली के प्वांकारे मानचित्र $x'=Ax,$ उनकी विशेषताओं के अनुसार स्थिर या अस्थिर। स्थिरता सामान्यतः आरेख के बाईं ओर बढ़ जाती है। कुछ मंद, स्रोत या ग्रंथिकि समतोल बिंदु हैं।

द्वि-आयामी स्तिथि चरण पटल को संदर्भित करता है।

गणित में, एक स्वायत्त प्रणाली या स्वायत्त अवकल समीकरण सामान्य अवकल समीकरणों का युगपत समीकरण है जो स्पष्ट रूप से स्वतंत्र चर पर निर्भर नहीं करता है। जब चर समय होता है, तो उन्हें समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली भी कहा जाता है।

भौतिक विज्ञान में कई नियम, जहां स्वतंत्र चर को सामान्यतः समय माना जाता है, को स्वायत्त प्रणालियों के रूप में व्यक्त किया जाता है क्योंकि यह माना जाता है कि भौतिक नियम जो अब धारण करते हैं वे अतीत या भविष्य में किसी भी बिंदु के लिए समान हैं।

परिभाषा

एक स्वायत्त प्रणाली प्रपत्र के सामान्य अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है

$${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))$$

जहाँ x n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में मान लेता है; t को प्रायः समय के रूप में व्याख्यायित किया जाता है।

यह निम्न स्वरुप के अंतर समीकरणों की प्रणालियों से अलग है

$${\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)$$

जिसमें प्रणाली के विकास को नियंत्रित करने वाला नियम केवल प्रणाली की वर्तमान स्थिति पर ही नहीं बल्कि मापदण्ड t पर भी निर्भर करता है, फिर से प्रायः समय के रूप में व्याख्या की जाती है; ऐसी प्रणालियाँ परिभाषा के अनुसार स्वायत्त नहीं हैं।

गुण

समाधान क्षैतिज अनुवाद के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं:

मान लीजिये $x_{1}(t)$ एक स्वायत्त प्रणाली के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या का एक अनूठा समाधान हो

$${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(0)=x_{0}.$$

तब $x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})$ हल करती है

$${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(t_{0})=x_{0}.$$

$s=t-t_{0}$ को दर्शाने पर $x_{1}(s)=x_{2}(t)$ और $ds=dt$ प्राप्त होता है, इस प्रकार

$${\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t)).$$

प्रारंभिक स्थिति के लिए, सत्यापन साधारण है,

$$x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}.$$

उदाहरण

समीकरण $y'=\left(2-y\right)y$ स्वायत्त है, क्योंकि स्वतंत्र चर ($x$) समीकरण में स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होता है।

इस समीकरण के लिए ढलान क्षेत्र और समनति का आलेख करने के लिए, जीएनयू अष्टपदी/मैटलैब में निम्नलिखित कूट का उपयोग किया जा सकता है

Ffun = @(X, Y)(2 - Y) .* Y; % function f(x,y)=(2-y)y
[X, Y] = meshgrid(0:.2:6, -1:.2:3); % choose the plot sizes
DY = Ffun(X, Y); DX = ones(size(DY)); % generate the plot values
quiver(X, Y, DX, DY, 'k'); % plot the direction field in black
hold on;
contour(X, Y, DY, [0 1 2], 'g'); % add the isoclines(0 1 2) in green
title('Slope field and isoclines for f(x,y)=(2-y)y')

आलेख से देखा जा सकता है कि फलन $\left(2-y\right)y$ $x$-निश्चर है, और इसलिए $y(x)=y(x-x_{0})$ किसी भी बदलाव के लिए $x_{0}$समाधान का आकार है।

मैटलैब में सांकेतिक रूप से समीकरण को चलाकर हल करते हैं

syms y(x);
equation = (diff(y) == (2 - y) * y);
% solve the equation for a general solution symbolically
y_general = dsolve(equation);

दो संतुलन बिंदु $y=0$ और $y=2$ समाधान प्राप्त करता है, और एक अज्ञात स्थिरांक $C_{3}$ को सम्मिलित करने वाला तीसरा समाधान , -2 / (exp(C3 - 2 * x) - 1).

प्रारंभिक स्थिति के लिए कुछ विशिष्ट मूल्यों को उठाकर, कई समाधानों के आलेख जोड़ सकते हैं

समनति और समाधान के साथ ढलान क्षेत्र

% solve the initial value problem symbolically
% for different initial conditions
y1 = dsolve(equation, y(1) == 1); y2 = dsolve(equation, y(2) == 1);
y3 = dsolve(equation, y(3) == 1); y4 = dsolve(equation, y(1) == 3);
y5 = dsolve(equation, y(2) == 3); y6 = dsolve(equation, y(3) == 3);
% plot the solutions
ezplot(y1, [0 6]); ezplot(y2, [0 6]); ezplot(y3, [0 6]);
ezplot(y4, [0 6]); ezplot(y5, [0 6]); ezplot(y6, [0 6]);
title('Slope field, isoclines and solutions for f(x,y)=(2-y)y')
legend('Slope field', 'Isoclines', 'Solutions y_{1..6}');
text([1 2 3], [1 1 1], strcat('\leftarrow', {'y_1', 'y_2', 'y_3'}));
text([1 2 3], [3 3 3], strcat('\leftarrow', {'y_4', 'y_5', 'y_6'}));
grid on;

गुणात्मक विश्लेषण

चरण स्थान का उपयोग करके स्वायत्त प्रणालियों का गुणात्मक रूप से विश्लेषण किया जा सकता है; एक-चर स्तिथि में, यह चरण रेखा (गणित) है।

समाधान तकनीक

निम्नलिखित तकनीक एक आयामी स्वायत्त अंतर समीकरणों पर लागू होती हैं। क्रम का कोई एक आयामी समीकरण $n$ एक n-आयामी प्रथम-क्रम प्रणाली के बराबर है (जैसा कि प्रथम-क्रम प्रणाली में कमी के रूप में वर्णित है), लेकिन आवश्यक नहीं नहीं है कि इसके विपरीत हो।

पहला क्रम

प्रथम-क्रम स्वायत्त समीकरण

$${\frac {dx}{dt}}=f(x)$$

वियोज्य है, इसलिए इसे अभिन्न रूप में पुनर्व्यवस्थित करके हल किया जा सकता है

$$t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}$$

दूसरा क्रम

दूसरे क्रम का स्वायत्त समीकरण

$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')$$

अधिक कठिन है, लेकिन इसे नया चर प्रस्तुत करके हल किया जा सकता है

$$v={\frac {dx}{dt}}$$

और श्रृंखला नियम को निम्नलिखित के माध्यम से $x$ के दूसरे व्युत्पन्न को व्यक्त किया जा सकता है

$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}$$

ताकि मूल समीकरण बन जाए

$$v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)$$

जो एक प्रथम कोटि का समीकरण है जिसमें स्वतंत्र चर t का कोई संदर्भ नहीं है। समाधान v को x के एक फलन के रूप में प्रदान करता है। फिर, $v$ की परिभाषा को याद करते हुए :

$${\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}$$

जो एक निहित समाधान है।

विशेष स्तिथि: x″ = f(x)

विशेष स्तिथि जहां $f$ से $x'$स्वतंत्र है

$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)$$

अलग अभिक्रिया से लाभ होता है। पारम्परिक यांत्रिकी में इस प्रकार के समीकरण बहुत सामान्य हैं क्योंकि वे हमेशा हैमिल्टनियन प्रणाली होते हैं।

विचार सर्वसमिका का उपयोग करना है

$${\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}$$

जो श्रृंखला नियम से अनुसरण करता है, शून्य से विभाजन के कारण किसी भी विषय को रोकता है।

पहले क्रम की स्वायत्त प्रणाली के दोनों पक्षों को उल्टा करके, कोई तुरंत $x$ के संबंध में एकीकृत कर सकता है:

$${\frac {dx}{dt}}=f(x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}$$

जो चर तकनीक के पृथक्करण को देखने का एक और तरीका है। दूसरे व्युत्पन्न को $t$ के स्थान पर $x$ के संबंध में व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए

$${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dt}}\right){\frac {dx}{dt}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left(\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\right)\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\\[4pt]&=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)\end{aligned}}$$

पुनः महत्त्व देने के लिए: जो पूरा किया गया है वह यह है कि $t$ के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न $x$ के व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया गया है। मूल दूसरे क्रम के समीकरण को अब एकीकृत किया जा सकता है

$${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=f(x)\\{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)&=f(x)\\\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}&=2\int f(x)dx+C_{1}\\{\frac {dt}{dx}}&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\\t+C_{2}&=\pm \int {\frac {dx}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\end{aligned}}$$

यह एक निहित समाधान है। सबसे बड़ी संभावित समस्या पूर्णांकी को सरल बनाने में असमर्थता है, जिसका तात्पर्य एकीकरण स्थिरांक के मूल्यांकन में कठिनाई या असंभवता से है।

विशेष स्तिथि: x″ = x′ⁿ f(x)

उपर्युक्त दृष्टिकोण का उपयोग करके, तकनीक अधिक सामान्य समीकरण तक विस्तारित हो सकती है

$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{n}f(x)$$

जहाँ $n$ मापदण्ड दो के बराबर नहीं है। यह काम करेगा क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न को एक शक्ति $x'$ से जुड़े रूप में लिखा जा सकता है। दूसरी व्युत्पत्ति को पुनर्लेखन, पुनर्व्यवस्थित करना, और बाईं ओर को निम्न व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त करना:

$${\begin{aligned}&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-n}f(x)\\[4pt]&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=f(x)\\[4pt]&{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2-n}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}\right)=f(x)\\[4pt]&\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}=(2-n)\int f(x)dx+C_{1}\\[2pt]&t+C_{2}=\int \left((2-n)\int f(x)dx+C_{1}\right)^{\frac {1}{n-2}}dx\end{aligned}}$$

दाहिना +/− प्रेरित करेगा यदि $n$ सम है। यदि $n=2$ प्रतिपादन अलग होना चाहिए :

$${\begin{aligned}-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}&=f(x)\\-{\frac {d}{dx}}\left(\ln \left({\frac {dt}{dx}}\right)\right)&=f(x)\\{\frac {dt}{dx}}&=C_{1}e^{-\int f(x)dx}\\t+C_{2}&=C_{1}\int e^{-\int f(x)dx}dx\end{aligned}}$$

उच्च क्रम

तीसरे या उच्च क्रम के स्वायत्त समीकरणों को हल करने के लिए कोई समान विधि नहीं है। इस तरह के समीकरणों को ठीक से तभी हल किया जा सकता है जब उनके पास कुछ अन्य सरल गुण होते हैं, उदाहरण के लिए रैखिक अंतर समीकरण या केवल आश्रित चर पर समीकरण के दाईं ओर की निर्भरता (यानी, इसके व्युत्पन्न नहीं) है। यह आश्चर्य की बात नहीं होनी चाहिए, यह देखते हुए कि तीन आयामों में गैर-रैखिक स्वायत्त प्रणालियां वस्तुतः अव्यवस्थित सिद्धांत व्यवहार उत्पन्न कर सकती हैं जैसे कि लोरेंज अट्रैक्टर और रोस्लर अट्रैक्टर हैं।

इसी तरह, दूसरे क्रम के सामान्य गैर-स्वायत्त समीकरण स्पष्ट रूप से अघुलनशील हैं, क्योंकि ये अराजक भी हो सकते हैं, जैसा कि आवधिक प्रणोदित लोलक में होता है।

बहुभिन्नरूपी स्तिथि

Main article: आव्यूह अवकलन समीकरण

$\mathbf {x} '(t)=A\mathbf {x} (t)$ में, जहाँ $\mathbf {x} (t)$ एक $n$-आयामी स्तंभ सदिश है जो $t$ पर निर्भर है।

समाधान $\mathbf {x} (t)=e^{At}\mathbf {c}$ है जहाँ $\mathbf {c}$ एक $n\times 1$ स्थिर सदिश है।

परिमित अवधि

गैर-रैखिक स्वायत्त ODEs के लिए कुछ परिस्तिथियों के अंतर्गत परिमित अवधि के समाधान विकसित करना संभव है, यहाँ अर्थ यह है कि अपनी स्वयं की गतिकी से, प्रणाली एक अंत समय में शून्य मान तक पहुँच जाएगा और वहाँ हमेशा के लिए शून्य में रहता है। यह परिमित-अवधि के समाधान पूरी वास्तविक रेखा पर विश्लेषणात्मक कार्य नहीं कर सकते हैं, और क्योंकि वे अंत समय में गैर-लिप्सचिट्ज़ कार्य करेंगे, वे लिप्सचिट्ज़ अंतर समीकरणों के समाधान की विशिष्टता को नहीं मानते हैं।

उदाहरण के रूप में, समीकरण:

$y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1$

परिमित अवधि समाधान स्वीकार करता है:

$y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}$

यह भी देखें

• गैर-स्वायत्त प्रणाली (गणित)