स्थिर समय

भौतिकी और अभियांत्रिकी में स्थिर समय, सामान्यतः ग्रीक भाषा के पत्र द्वारा प्रथम-क्रम, एलटीआई प्रणाली सिद्धांत τ (टाउ) निरूपित किया जाता है, रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली के चरण निवेश की प्रतिक्रिया को चिह्नित करने वाला प्राचल है। स्थिर समयांक प्रथम-क्रम एलटीआई प्रणाली की मुख्य विशेषता इकाई है।

समय अनुक्षेत्र में समय की प्रतिक्रिया को मालूम करने के लिए सामान्यतः विकल्प इकाई पग फलन के चरण प्रतिक्रिया या डिराक डेल्टा फलन निवेश के आवेग प्रतिक्रिया के माध्यम से होता है। आवृत्तिय अनुक्षेत्र में (उदाहरण के लिए, चरण प्रतिक्रिया के फूरियर रूपांतरण को देखते हुए, या निवेश का उपयोग जो समय का एक सरल ज्यावक्रीय फलन है) स्थिर समयांक पहले-क्रम के समय-अपरिवर्तनीय के तरंगधैर्य (संकेत आगे बढ़ाना) को भी निर्धारित करता है। प्रणाली वह आवृत्ति है जिस पर संकेत की शक्ति कम आवृत्तियों पर उसके आधे मान तक गिर जाती है।

तरंगधैर्य (संकेत प्रसंस्करण) प्रणाली - चुंबकीय कैसेट, रेडियो प्रेषित्र और रेडियो आदाता, रिकॉर्ड उपमार्ग, पुनर्प्रदर्शन उपकरण, और अंकीय निस्पंदन - की आवृत्ति प्रतिक्रिया को चिह्नित करने के लिए स्थिर समयांक का भी उपयोग किया जाता है जिसे प्रथम-क्रम एलटीआई प्रणाली द्वारा नमूना या अनुमानित किया जाता है। अन्य उदाहरणों में अभिन्न और यौगिक कार्रवाई नियंत्रक के लिए नियंत्रण प्रणाली में उपयोग होने वाला स्थिर समय सम्मलित है जो अधिकांशतः विद्युतीय के अतिरिक्त वायवीय होता है।

स्थिर समयांक उष्णता सम्बन्धी प्रणाली के लिए लम्प्ड प्रणाली विश्लेषण (ढेर क्षमता विश्लेषण विधि) की विशेषता है, जिसका उपयोग तब किया जाता है जब वस्तुएं संवहन शीतलन या वार्मिंग के प्रभाव में समान रूप से ठंडी या गर्म होती हैं। भौतिक रूप से, स्थिर समयांक प्रणाली की प्रतिक्रिया के लिए शून्य से क्षय होने के लिए आवश्यक अतीत समय यह दर्शाता है कि यदि प्रणाली प्रारंभिक दर पर क्षय करना जारी रखती है, तो क्षय की दर में प्रगतिशील परिवर्तन के कारण प्रतिक्रिया वास्तव के मूल्य में कमी हो जाती है 1 / e ≈ 36.8% (पदध्वनि कमी से कहते हैं)। बढ़ती हुई प्रणाली में, प्रणाली की पदध्वनि प्रतिक्रिया तक पहुँचने के लिए स्थिर समय है 1 − 1 / e ≈ 63.2%। इसके अंतिम (स्पर्शोन्मुख) मूल्य हैं(पदध्वनि वृद्धि से कहते हैं)। विघटनाभिक क्षय में स्थिर समयांक क्षय स्थिरांक (λ) से संबंधित होता है, और यह क्षय होने से पहले क्षय प्रणाली (जैसे एक परमाणु) के औसत जीवनकाल, या 36.8% परमाणुओं को छोड़कर सभी के लिए लगने वाले समय दोनों का प्रतिनिधित्व करता है। क्षय करने के लिए स्थिर समय अर्ध-जीवन से अधिक लंबा होना चाहिए, जो केवल 50% परमाणुओं के क्षय होने का समय है।

विभेदक समीकरण

Main article: मुख्य लेख: एलटीआई सिस्टम सिद्धांत

पहले के आदेश एलटीआई प्रणाली की विशेषता विभेदक समीकरण है

$\tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)$

जहाँ τ घातीय क्षय स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है और वी समय का कार्य टी है

$V=V(t).$

दायीं ओर का बल देने वाला कार्य ऍफ़(टी) समय के बाहरी परिचालन फलन का वर्णन करना, जिसे प्रणाली निवेश के रूप में माना जा सकता है, जिसके लिए वी(टी) प्रतिक्रिया है, या प्रणाली संकेत है। मौलिक उदाहरण के लिए ऍफ़(टी) हैं:

हीविसाइड अनुभाग फलन, जिसे अधिकांशतः निरूपित किया जाता है यू(टी):

$u(t)={\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}}$

आवेग फलन, जिसे अधिकांशतः निरूपित किया जाता है δ(t), और ज्यावक्रीय निवेश फलन:

$f(t)=A\sin(2\pi ft)$

या

$f(t)=Ae^{j\omega t},$

जहाँ ए प्रणोदन फलन का आयाम है, ऍफ़ हर्ट्ज़ में आवृत्ति है, और ω = 2π f प्रति सेकंड रेडियंस में आवृत्ति है।

उदाहरण समाधान

प्रारंभिक मूल्य के साथ अंतर समीकरण का उदाहरण समाधान V₀ और कोई विवशतापूर्वक कार्य नहीं है

$V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$

जहाँ

$V_{0}=V(t=0)$

का प्रारंभिक मूल्य वी है। इस प्रकार, प्रतिक्रिया स्थिर समय के साथ घातीय क्षय τ है।

चर्चा

कल्पना करना

$$V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }.$$

इस व्यवहार को क्षयकारी घातीय कार्य कहा जाता है। समय τ (टाउ) को स्थिर समयांक के रूप में संदर्भित किया जाता है और इसका उपयोग इंगित करने के लिए कि घातीय फलन कितनी तेजी से घटता है (जैसा कि इस स्थितियों में) किया जाता है।

यहाँ:

• टी समय है (सामान्यतः टी > 0 नियंत्रण अभियांत्रिकी में)
• V₀ प्रारंभिक मूल्य है (नीचे विशिष्ट स्थितियों देखें)।

विशिष्ट स्थितियों

1. होने देना $t=0$; तब $V=V_{0}e^{0}$, इसलिए $V=V_{0}$
2. होने देना $t=\tau$; तब $V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}$
3. होने देना $V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$, इसलिए ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$
4. होने देना $t=5\tau$; तब $V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}$

समय की अवधि के पश्चात निरंतर फलन पहुंचता e⁻¹ है। इसके प्रारंभिक मूल्य का लगभग 37%, चार स्थितियों में, पांच बार स्थिरांक के पश्चात फलन अपने मूल के एक% से कम मान तक पहुँच जाता है। अधिकांशतः स्थितियों में यह एक% सीमा यह मानने के लिए पर्याप्त है कि फलन शून्य तक क्षय हो गया है। अंगूठे के नियम के रूप में, नियंत्रण अभियांत्रिकी में स्थिर प्रणाली वह है जो इस प्रकार के समग्र अवमंदित व्यवहार को प्रदर्शित करती है।

तरंगधैर्य से निरंतर समय का संबंध

File:Single-pole sine wave response.JPG

साइन लहर प्रणोदन फलन के लिए प्रणाली की प्रतिक्रिया का उदाहरण। स्थिर समयांक की इकाइयों में समय अक्ष τ. प्रतिक्रिया नम हो जाती है और एक साधारण साइन लहर बन जाती है।

File:Single-pole frequency response.JPG

तरंगधैर्य की इकाइयों में प्रणाली बनाम आवृत्ति की आवृत्ति प्रतिक्रिया f_3dB. प्रतिक्रिया को एकता के शून्य आवृत्ति मान पर सामान्यीकृत किया जाता है, और तरंगधैर्य पर 1/√2 तक गिर जाता है।

मान लीजिए कि प्रणोदन फलन को ज्यावक्रीय के रूप में चुना गया है:

$\tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.$

(यूलर के सूत्र के आधार पर अंतिम परिणाम के वास्तविक या काल्पनिक भाग को लेकर वास्तविक कोसाइन या साइन लहर निवेश की प्रतिक्रिया प्राप्त की जाती है।) समय के लिए इस समीकरण का सामान्यतः समाधान t ≥ 0 s, मानते हुए V(t = 0) = V₀ है:

$$