स्थानीय रूप से चक्रीय समूह

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गणित में, एक स्थानीय रूप से चक्रीय समूह एक समूह (जी, *) होता है जिसमें प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसमूह चक्रीय समूह होता है।

कुछ तथ्य

  • प्रत्येक चक्रीय समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है, और प्रत्येक स्थानीय चक्रीय समूह एबेलियन समूह होता है।[1]
  • प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न स्थानीय रूप से चक्रीय समूह चक्रीय है।
  • स्थानीय रूप से चक्रीय समूह का प्रत्येक उपसमूह और भागफल समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है।
  • स्थानीय रूप से चक्रीय समूह की प्रत्येक समरूपता छवि स्थानीय रूप से चक्रीय होती है।
  • एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय है यदि और केवल यदि समूह में तत्वों की प्रत्येक जोड़ी एक चक्रीय समूह उत्पन्न करती है।
  • एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है यदि और केवल यदि इसके उपसमूहों की जाली वितरण (Ore 1938) है
  • स्थानीय रूप से चक्रीय समूह का मरोड़-मुक्त श्रेणी 0 या 1 है।
  • स्थानीय रूप से चक्रीय समूह की एंडोमोर्फिज्म रिंग क्रमविनिमेय रिंग है।

स्थानीय रूप से चक्रीय समूहों के उदाहरण जो चक्रीय नहीं हैं

  • तर्कसंगत संख्याs (Q, +) का योज्य समूह स्थानीय रूप से चक्रीय है - परिमेय संख्याओं का कोई भी युग्म a/b और c/' 'd 1/(bd) द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह में निहित है। [2]
  • डाइडिक परिमेय संख्या का योज्य समूह, a/2b के रूप की परिमेय संख्याएँ, स्थानीय रूप से चक्रीय भी है - डाइएडिक परिमेय का कोई भी जोड़ा संख्याएँ a/2b और c/2d 1/ द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह में निहित है 2अधिकतम(b,d).
  • आज्ञा दें p कोई अभाज्य हो, और दें μp सभी के समूह को निरूपित करें pवें शक्तिएकता की जड़ें C में, i.e.
    फिर μp स्थानीय रूप से चक्रीय है किन्तु चक्रीय नहीं है। यह प्रूफर पी-समूह है। Prüfer 2-समूह डायाडिक परिमेय से निकटता से संबंधित है (इसे डायाडिक परिमेय मोडुलो 1 के रूप में देखा जा सकता है)।

एबेलियन समूहों के उदाहरण जो स्थानीय रूप से चक्रीय नहीं हैं

  • वास्तविक संख्याओं का योज्य समूह (R, +); 1 और द्वारा उत्पन्न उपसमूह π (a + bπ के रूप की सभी संख्याएं सम्मिलित हैं) समूह Z + Z के प्रत्यक्ष योग के लिए समूह समरूपता है, जो चक्रीय नहीं है।

संदर्भ

  1. Rose (2012), p. 54.
  2. Rose (2012), p. 52.
  • Hall, Marshall, Jr. (1999), "19.2 Locally Cyclic Groups and Distributive Lattices", Theory of Groups, American Mathematical Society, pp. 340–341, ISBN 978-0-8218-1967-8{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link).
  • Rose, John S. (2012) [unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978]. A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.