स्टाइनर इनलिप्स

स्टेनर इनेलिप्स। मार्डन प्रमेय के अनुसार शीर्षों वाला त्रिभुज दिया है

(1, 7), (7, 5), (3, 1)

दीर्घवृत्त का फोकस (ज्यामिति) हैं

(3, 5)

और

(13/3, 11/3)

, जबसे

{\begin{aligned}&D_{x}(1+7i-x)(7+5i-x)(3+i-x)\\&=-3\left({\tfrac {13}{3}}+{\tfrac {11}{3}}i-x\right)(3+5i-x)\end{aligned}}

ज्यामिति में, स्टेनर इनलिप्स,^[1] त्रिभुज का मध्यबिंदु दीर्घवृत्त, अद्वितीय दीर्घवृत्त है जो त्रिभुज में अंकित है और उनके मध्यबिंदुओं पर स्पर्शरेखा होती है। यह इनलिप्स का उदाहरण है। त्रिभुज के उत्कीर्ण वृत्त और मैंडार्ट इनलिप्से की तुलना करने से अन्य असंबद्धताएँ हैं जो भुजाओं के स्पर्शरेखा हैं, लेकिन मध्य बिंदु पर जब तक त्रिकोण समबाहु नहीं है। स्टेनर इनलिप्से का श्रेय डोर्री ^[2] ने जैकब स्टेनर को दिया है, और इसकी विशिष्टता का प्रमाण डैन कलमन द्वारा दिया गया है।^[3]

स्टाइनर इनलिप्स स्टाइनर सर्कमलिप्स के विपरीत है, जिसे केवल स्टेनर एलिप्से भी कहा जाता है, जो अद्वितीय दीर्घवृत्त है जो किसी दिए गए त्रिभुज के कोने से होकर गुजरता है और जिसका केंद्र त्रिकोण का केन्द्रक है।^[4]

परिभाषा और गुण

परिभाषा

दीर्घवृत्त जो त्रिभुज $△ ABC$ के मध्य बिंदुओं पर स्पर्शरेखा है $M_{1},M_{2},M_{3}$ को $△ ABC$ का स्टेनर इनलिप्स कहा जाता है।

आर्बिट्ररी त्रिभुज

△ ABC

स्टाइनर इनलिप्स

प्रमुख और लघु अक्ष

समबाहु त्रिभुज

△ ABC

स्टाइनर इनलिप्स

गुण:

आर्बिट्ररी त्रिभुज के लिए $△ ABC$ मध्यबिंदुओं के साथ $M_{1},M_{2},M_{3}$ इसके पक्षों के निम्नलिखित कथन सत्य हैं:
a) वहाँ एक स्टेनर इनलिप्स मौजूद है।
b) स्टेनर इनलिप्स का केंद्र $△ ABC$ का केन्द्रक $S$ है।
c1) त्रिभुज $\triangle M_{1}M_{2}M_{3}$ में केन्द्रक $S$ और स्टेनर इनलिप्स $△ ABC$ त्रिभुज का $\triangle M_{1}M_{2}M_{3}$ स्टेनर दीर्घवृत्त है।
c2) त्रिभुज का स्टेनर इनलिप्स स्केल्ड स्टेनर एलिप्से है जिसका स्केलिंग फैक्टर 1/2 है और केन्द्रक केंद्र है। इसलिए दोनों दीर्घवृत्तों की विलक्षणता समान हैं।
d) स्टेनर इनलिप्स का क्षेत्रफल ${\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$ -त्रिभुज के क्षेत्रफल का गुणा है।
e) स्टाइनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल त्रिभुज के सभी दीर्घवृत्तों में सबसे अधिक है।^[5]^: p.146^[6]^{: Corollary 4.2}

प्रमाण

a), b), c) के प्रमाण मानचित्रण के निम्नलिखित गुणों पर आधारित हैं: 1) किसी भी त्रिभुज को समबाहु त्रिभुज की अफीन छवि के रूप में माना जा सकता है। 2) दोनों भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मध्यबिंदु और सेंट्रोइड पर केंद्रित किया जाता है। दीर्घवृत्त का केंद्र इसकी छवि के केंद्र पर मैप किया गया है।
इसलिए समबाहु त्रिभुज के लिए गुण 'a', 'b', 'c' सिद्ध करना पर्याप्त है:
a) किसी भी समबाहु त्रिभुज के लिए त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त होते हैं। यह अपने मध्यबिंदुओं पर पक्षों को स्पर्श करता है। एक ही गुण के साथ कोई अन्य (नॉन-डीजेनरेट) शंकु अनुभाग नहीं है, क्योंकि एक शंकु अनुभाग 5 अंकों/टैंगेंट द्वारा निर्धारित होता है।
b) एक साधारण गणना द्वारा।
c) परिधि को स्केलिंग द्वारा मैप किया जाता है, कारक 1/2 और केंद्र के रूप में केंद्र के रूप में केंद्र, अंतःवृत्त पर। उत्केंद्रता अपरिवर्तनीय है।
d) क्षेत्रफल का अनुपात अपरिवर्तनीय है। तो अनुपात की गणना समबाहु त्रिभुज के लिए की जा सकती है।
e) इनलिप्स देखें।

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व और अर्ध-अक्ष

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व:

क्योंकि त्रिभुज का स्टेनर दीर्घवृत्त $△ ABC$ एक स्केल्ड स्टाइनर दीर्घवृत्त है (कारक 1/2, केंद्र केन्द्रक है) स्टेनर दीर्घवृत्त के त्रिकोणमितीय निरूपण से प्राप्त पैरामीट्रिक निरूपण व्युत्पन्न करता है:

{\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\color {blue}{\frac {1}{2}}}{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{{\color {blue}2}{\sqrt {3}}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \ .

स्टेनर इनलिप्स के 4 शीर्ष होते हैं

{\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),

जहाँ

t 0

का हल है

\cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad

साथ

\quad {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}{\vec {AB}}\ .

अर्ध-अक्ष:

संक्षिप्तीकरण के साथ

{\begin{aligned}M&:={\color {blue}{\frac {1}{4}}}\left({\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\right)\\N&:={\frac {1}{{\color {blue}4}{\sqrt {3}}}}\left|\det \left({\vec {SC}},{\vec {AB}}\right)\right|\end{aligned}}

अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष

a, b

(जहां

a > b

) मिलता है::

{\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}}\right)\\b&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}}\right)\ .\end{aligned}}

स्टेनर इनलिप्स की रेखीय उत्केन्द्रता c है

c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\dotsb ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .

त्रिरेखीय समीकरण

त्रिरेखीय निर्देशांक में स्टाइनर इनलिप्स का समीकरण त्रिभुज के लिए भुजाओं की लंबाई $a, b, c$ (इन मापदंडों के साथ पहले की तुलना में एक अलग अर्थ है) के साथ है^[1]: $a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0$

जहाँ $x$ लंबाई $a$ की तरफ से बिंदु की दूरी का यादृच्छिक घनात्मक स्थिरांक है और इसी तरह $b$ और $c$ के लिए एक ही गुणक स्थिरांक है।

अन्य गुण

भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्षों की लंबाई $a, b, c$ हैं^[1]

{\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},

जहाँ

Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.

मार्डेन के प्रमेय के अनुसार,^[3] यदि त्रिभुज के तीन वर्टेक्स (ज्यामिति) मिश्रित संख्या बहुपद हैं तो घन बहुपद स्टेनर इनलिप्स का फोकस (ज्यामिति) के समीकरणों के व्युत्पन्न शून्य हैं।

शीर्षकों में स्टेनर का मुख्य अक्ष शीर्षकों के लिए सर्वश्रेष्ठ लंबकोणीय रेखा है।^[6]^{: Corollary 2.4}

त्रिभुज के केन्द्रक और पहले और दूसरे फर्मेट बिंदुओं को क्रमशः को $G,F_{+},F_{-}$ के रूप में निरूपित करें। त्रिभुज के स्टेनर इनलिप्स का प्रमुख अक्ष $\angle F_{+}GF_{-}$ का आंतरिक द्विभाजक है। अक्षों की लम्बाई $|GF_{-}|\pm |GF_{+}|\!;$ अर्थात् अंतर केन्द्रक से फर्मेट बिंदुओं की दूरी इंगित करता है।^[7]^{: Thm. 1}

त्रिभुज के शीर्षकों में स्टेनर के अक्ष इसके किर्ट परवलय के स्पर्शरेखा हैं, यह अद्वितीय परवलय है जो त्रिकोण के पार्श्वों की स्पर्शरेखा है और इसकी संचालिका के रूप में यूलर रेखा है।^[7]^{: Thm. 3}

त्रिभुज के टुकड़े में स्टेनर के फोसी, इनेलिप्स के प्रमुख अक्ष के प्रतिच्छेदन और लघु अक्ष पर केंद्र के साथ चक्र और फर्मेट बिंदुओं के माध्यम से जा रहे हैं।^[7]^{: Thm. 6}

जैसा कि किसी भी दीर्घवृत्त के साथ त्रिभुज $△ ABC$ में अंकित है, फोकी को $P$ और $Q$ होने दें^[8]

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

सामान्यीकरण

त्रिभुज के स्टेनर इनेलिप्स को $n$ - गॉन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है: कुछ $n$ -गोंन्स n-गॉन में आंतरिक दीर्घवृत्त है जो पक्ष के मध्य बिंदु पर प्रत्येक पक्ष के लिए स्पर्शरेखा है। मार्डेन का प्रमेय अभी भी लागू होता है: स्टेनर इनेलिप्स का बहुपद व्युत्पन्न के शून्य होते हैं जिनके शून्य $n$ -गॉन के शीर्ष हैं।^[9]

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, E. "Steiner Inellipse" — From MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html.
↑ H. Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution (trans. D. Antin), Dover, New York, 1965, problem 98.
↑ ^3.0 ^3.1 Kalman, Dan (2008), "An elementary proof of Marden's theorem" (PDF), American Mathematical Monthly, 115 (4): 330–338, JSTOR 27642475, MR 2398412, archived from the original (PDF) on 2012-08-26.
↑ Weisstein, Eric W. "Steiner Circumellipse". MathWorld.
↑ Chakerian, G. D. (1979), "A distorted view of geometry", in Honsberger, Ross (ed.), Mathematical plums, The Dolciani Mathematical Expositions, vol. 4, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, pp. 135–136, 145–146.
↑ ^6.0 ^6.1 Minda, D.; Phelps, S. (2008), "Triangles, ellipses, and cubic polynomials" (PDF), American Mathematical Monthly, 115 (8): 679–689, MR 2456092.
↑ ^7.0 ^7.1 ^7.2 Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.
↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, March 2012, 161-165.
↑ Parish, James L., "On the derivative of a vertex polynomial", Forum Geometricorum 6, 2006, pp. 285–288: Proposition 5.

[Weisstein-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, E. "Steiner Inellipse" — From MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html.

[2] H. Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution (trans. D. Antin), Dover, New York, 1965, problem 98.

[Kalman-3] 3.0 ^3.1 Kalman, Dan (2008), "An elementary proof of Marden's theorem" (PDF), American Mathematical Monthly, 115 (4): 330–338, JSTOR 27642475, MR 2398412, archived from the original (PDF) on 2012-08-26.

[4] Weisstein, Eric W. "Steiner Circumellipse". MathWorld.

[Chakerian-5] Chakerian, G. D. (1979), "A distorted view of geometry", in Honsberger, Ross (ed.), Mathematical plums, The Dolciani Mathematical Expositions, vol. 4, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, pp. 135–136, 145–146.

[Minda-6] 6.0 ^6.1 Minda, D.; Phelps, S. (2008), "Triangles, ellipses, and cubic polynomials" (PDF), American Mathematical Monthly, 115 (8): 679–689, MR 2456092.

[Scimemi-7] 7.0 ^7.1 ^7.2 Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.

[8] Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, March 2012, 161-165.

[9] Parish, James L., "On the derivative of a vertex polynomial", Forum Geometricorum 6, 2006, pp. 285–288: Proposition 5.

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