सुपरमल्टीप्लेट

सैद्धांतिक भौतिकी में, एक सुपरमल्टीप्लेट संभवतः विस्तारित सुपरसिममेट्री के साथ एक सुपरसिममेट्री बीजगणित का निरूपण है।

इस प्रकार एक सुपरफ़ील्ड सुपरस्पेस पर एक क्षेत्र है जिसे इस प्रकार के निरूपण में महत्व दिया जाता है। इस प्रकार नेवली या समतल सुपरस्पेस पर विचार करते समय, एक सुपरफ़ील्ड को केवल सुपरस्पेस पर एक फलन के रूप में देखा जा सकता है। जो कि औपचारिक रूप से, यह संबंधित सदिश बंडल का एक भाग (फाइबर बंडल) है।

इस प्रकार फेनोमेनोलोगिक्ली, कण का वर्णन करने के लिए सुपरफ़ील्ड का उपयोग किया जाता है। यह सुपरसिममेट्री क्षेत्र सिद्धांतों की एक विशेषता है कि कण जोड़े बनाते हैं, जिन्हें सुपरपार्टनर कहा जाता है, जहां बोसॉन को फरमिओन्स के साथ जोड़ा जाता है।

इन सुपरसिमेट्रिक फ़ील्ड का उपयोग सुपरसिमेट्रिक क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांतों के निर्माण के लिए किया जाता है जहां फ़ील्ड को संचालको के लिए पदोन्नत किया जाता है।

इतिहास

इस प्रकार 1974 के एक लेख में अब्दुस सलाम और जे. ए. स्ट्रैथडी द्वारा सुपरफील्ड्स का प्रारंभ किया गया था। कुछ माह पश्चात् सर्जियो फेरारा, जूलियस वेस और ब्रूनो ज़ुमिनो द्वारा सुपरफ़ील्ड पर संचालन और आंशिक वर्गीकरण प्रस्तुत किया गया था।

नामकरण और वर्गीकरण

सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सुपरमल्टीप्लेट्स सदिश मल्टीप्लेट्स, चिरल मल्टीप्लेट्स (उदाहरण के लिए $d=4,{\mathcal {N}}=1$ सुपरसिममेट्री में), हाइपरमल्टीप्लेट्स (उदाहरण के लिए $d=4,{\mathcal {N}}=2$ सुपरसिममेट्री में), टेंसर मल्टीप्लेट्स और गुरुत्व मल्टीप्लेट्स हैं। सदिश मल्टीप्लेट का उच्चतम घटक एक गेज बोसॉन है, चिरल या हाइपरमल्टीप्लेट का उच्चतम घटक एक स्पिनर है, गुरुत्वाकर्षण मल्टीप्लेट का उच्चतम घटक एक ग्रेविटॉन है। नामों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि वह आयामी कमी के अनुसार अपरिवर्तनीय रहें, चूँकि लोरेंत्ज़ समूह के निरूपण के रूप में क्षेत्रों का संगठन परिवर्तित हो जाता है।

इस प्रकार भिन्न-भिन्न मल्टीप्लेट्स के लिए इन नामों का उपयोग साहित्य में भिन्न-भिन्न हो सकता है। एक चिरल मल्टीप्लेट (जिसका उच्चतम घटक एक स्पिनर है) को प्रायः अदिश मल्टीप्लेट के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, और $d=4,{\mathcal {N}}=2$ सूसी, एक सदिश मल्टीप्लेट (जिसका उच्चतम घटक एक सदिश है) को प्रायः चिरल मल्टीप्लेट के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

d = 4, N = 1 सुपरसिममेट्री में सुपरफ़ील्ड

इस खंड में कन्वेंशन फिगुएरोआ-ओ'फैरिल (2001) के नोट्स का पालन करते हैं।

एक सामान्य सम्मिश्र सुपरफ़ील्ड $\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})$ में $d=4,{\mathcal {N}}=1$ सुपरसिममेट्री का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है

$\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+\theta \chi (x)+{\bar {\theta }}{\bar {\chi }}'(x)+{\bar {\theta }}\sigma ^{\mu }\theta V_{\mu }(x)+\theta ^{2}F(x)+{\bar {\theta }}^{2}{\bar {F}}'(x)+{\bar {\theta }}^{2}\theta \xi (x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\xi }}'(x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D(x)$,

जहाँ $\phi ,\chi ,{\bar {\chi }}',V_{\mu },F,{\bar {F}}',\xi ,{\bar {\xi }}',D$ विभिन्न सम्मिश्र क्षेत्र हैं. यह एक अपरिवर्तनीय निरूपण सुपरमल्टीप्लेट नहीं है, और इसलिए अपरिवर्तनीय निरूपण को भिन्न करने के लिए विभिन्न अवरोधओं की आवश्यकता होती है।

चिरल सुपरफ़ील्ड

एक (एंटी-)चिरल सुपरफ़ील्ड $d=4,{\mathcal {N}}=1$ सुपरसिममेट्री का एक सुपरमल्टीप्लेट है।

चार आयामों में, सुपरस्पेस की धारणा का उपयोग करके न्यूनतम ${\mathcal {N}}=1$ सुपरसिममेट्री लिखी जा सकती है। सुपरस्पेस में सामान्य स्पेस-टाइम निर्देशांक $x^{\mu }$,$\mu =0,\ldots ,3$ और चार अतिरिक्त फर्मिओनिक निर्देशांक $\theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}$ के साथ $\alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2$ सम्मिलित हैं, जो दो-घटक (वेइल) स्पिनर और उसके संयुग्म के रूप में परिवर्तित होते हैं।

इस प्रकार $d=4,{\mathcal {N}}=1$ सुपरसिममेट्री में, एक चिरल सुपरफ़ील्ड, चिरल सुपरस्पेस पर एक फलन है। सुपरस्पेस से चिरल सुपरस्पेस तक एक प्रक्षेपण उपस्थित है। तो, चिरल सुपरस्पेस पर एक फलन को पूर्ण सुपरस्पेस पर वापस खींचा जा सकता है। ऐसा फलन $\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})$ सहसंयोजक अवरोध ${\overline {D}}\Phi =0$ को संतुष्ट करता है, जहां ${\bar {D}}$ सहसंयोजक व्युत्पन्न है, जो सूचकांक संकेतन में दिया गया है

${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{D}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}=-<!--\; -\; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}-<!--\; -\; -->i{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$