सुनहरा रोम्बस

स्वर्णिम समचतुर्भुज।

ज्यामिति में, स्वर्णिम समचतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है जिसके विकर्ण स्वर्णिम अनुपात में होते हैं:

${D \over d}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1.618~034$

समतुल्य रूप से, यह एक स्वर्णिम आयत के कोर के मध्यबिंदुओं से बना वैरिग्नन समांतर चतुर्भुज है। इस आकृति के साथ समचतुर्भुज कई उल्लेखनीय बहुकोणीय आकृति के फलक बनाते हैं। स्वर्णिम समचतुर्भुज को पेनरोज़ टाइलिंग के दो समचतुर्भुज से अलग किया जाना चाहिए, जो दोनों अन्य तरीकों से स्वर्णिम अनुपात से संबंधित हैं, लेकिन स्वर्णिम समचतुर्भुज की तुलना में अलग-अलग आकार हैं।

कोण

कोण गुणों के लिए समचतुर्भुज और सामान्य समचतुर्भुज का समचतुर्भुज देखें।

स्वर्णिम समचतुर्भुज के आंतरिक संपूरक कोण हैं:

• न्यून कोण: $\alpha =2\arctan {1 \over \varphi }$ ;

चापस्पर्शज्या जोड़ सूत्र का उपयोग करके (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनो को देखें):

$\alpha =\arctan {{2 \over \varphi } \over {1-({1 \over \varphi })^{2}}}=\arctan {{2 \over \varphi } \over {1 \over \varphi }}=\arctan 2\approx 63.43495^{\circ }.$

• अधिक कोण: $\beta =2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116.56505^{\circ },$

जो द्वादशफलक का द्वितल कोण भी है।

ध्यान दे: एक वास्तविक समानता: $\pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3~.$

कोर और विकर्ण

समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करके सामान्य समचतुर्भुज के मूल गुणों को देखें:

विकर्ण लंबाई के संदर्भ में स्वर्णिम समचतुर्भुज के कोर की लंबाई $d$ है:

• $a={1 \over 2}{\sqrt {d^{2}+(\varphi d)^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}~d={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~d={1 \over 4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}~d\approx 0.95106~d~.~$ इस तरह:

स्वर्णिम समचतुर्भुज की विकर्ण लंबाई कोर की लंबाई के संदर्भ में $a$ हैं:*$d={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2-{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.05146~a~.$

• $D={2\varphi a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2+{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.70130~a~.$

क्षेत्र

• इसकी विकर्ण लंबाई D और d के संदर्भ में सामान्य समचतुर्भुज के क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके:

इसकी विकर्ण लंबाई के संदर्भ में स्वर्णिम समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $d$ होता है::$A={{(\varphi d)\cdot d} \over 2}={{\varphi } \over 2}~d^{2}={{1+{\sqrt {5}}} \over 4}~d^{2}\approx 0.80902~d^{2}~.$

• इसके कोर की लंबाई $a$ के संदर्भ में सामान्य समचतुर्भुज के क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके :

इसके कोर की लंबाई के स्थिति में स्वर्णिम समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $a$ है:

$A=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443~a^{2}~.$

ध्यान दे : $\alpha +\beta =\pi$, इस तरह: $\sin \alpha =\sin \beta ~.$

बहुकोणीय आकृति के फलकों के रूप में

कई उल्लेखनीय बहुकोणीय आकृति में उनके फलक के रूप में स्वर्णिम समचतुर्भुज होते हैं। इनमें दो स्वर्णिम समांतरषट्फलक (प्रत्येक छह फलकों के साथ), बिलिंस्की द्वादशफलक (12 फलकों के साथ), समचतुर्भुज समद्धिबाहु चतुष्फ़लक (20 फलकों के साथ), समचतुर्भुज ट्राईकॉन्टाहेड्रोन (30 फलकों के साथ), और गैर-उत्तल समचतुर्भुज हेक्सेकोन्टाहेड्रोन (60 फलकों के साथ) सम्मिलित हैं। इनमें से पहले पांच स्वर्णिम समचतुर्भुज वाले फलक वाले एकमात्र उत्तल बहुकोणीय आकृति हैं, लेकिन उनके सभी फलकों के लिए इस आकार के अत्यधिक गैर-उत्तल बहुकोणीय आकृति सम्मिलित हैं।

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  न्यून स्वर्णिम समांतरषट्फलक

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  न्यून स्वर्णिम समांतरषट्फलक

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  बिलिंस्की द्वादश फलक

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  समचतुर्भुज समद्धिबाहु चतुष्फ़लक

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  समचतुर्भुज ट्राईकॉन्टाहेड्रोन

• Index.php?title=File:Rhombic hexecontahedron.png

  समचतुर्भुज हेक्सेकोंटाहेड्रोन

यह भी देखें

• स्वर्णिम त्रिभुज (गणित)