सहसंयोजन विधि

गणित में, सहसंयोजन विधि मुख्य रूप से साधारण अंतर वाले समीकरणों के लिए आंशिक अंतर समीकरणों और अभिन्न समीकरणों के संख्यात्मक विश्लेषण को हल के लिए उपयोग की जाने वाली प्रमुख विधि है। यहाँ पर विचार किया गया हैं कि कोई उम्मीदवार इसे हल करने के लिए इसके परिमित-आयामी स्थान को सामान्यतः निश्चित डिग्री तक बहुपद और डोमेन में कई बिंदु जिन्हें कोलोकेशन पॉइंट कहा जाता है, इसके द्वारा चुनता है, और उस समाधान का चयन करना है, जो कोलोकेशन बिंदुओं पर दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है।

साधारण अवकल समीकरण

मान लीजिए कि साधारण अवकल समीकरण

$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},$

जिसका अंतराल $[t_{0},t_{0}+c_{k}h]$ पर हल किया जाना है, इसके लिए $c_{k}$ 0 ≤ c t₁< c₂< … < c_n ≤ 1 को चुनते हैं।

संगत (बहुपद) संयोजन विधि डिग्री n के बहुपद p द्वारा समाधान y का अनुमान लगाती है, जो प्रारंभिक स्थिति $p(t_{0})=y_{0}$ को संतुष्ट करती है, और विभेदक समीकरण $p'(t_{k})=f(t_{k},p(t_{k}))$ के लिए सभी सहसंयोजन बिंदुओं पर $t_{k}=t_{0}+c_{k}h$ के लिए $k=1,\ldots ,n$ पर n + 1 स्थितियाँ देती है, जो डिग्री n के बहुपद को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक n + 1 मापदंडों से मेल खाता है।

ये सभी संयोजन विधियाँ वास्तव में अंतर्निहित रंज-कुट्टा विधियाँ हैं। इसके गुणांकों के लिए C_k रनगे पद्धति के इस प्रारूप में सहसंयोजन बिंदु का उपयोग करता हैं। चूंकि यहाँ पर सभी अंतर्निहित रंज विधियाँ सह-संयोजन विधियाँ नहीं हैं।

उदाहरण: समलम्बाकार नियम

उदाहरण के लिए, दो सहसंयोजन बिंदु c₁ = 0 और c₂ = 1, इसलिए n = 2 के लिए सहसंयोजन स्थितियाँ इस प्रकार हैं-

$p(t_{0})=y_{0},\,$

$p'(t_{0})=f(t_{0},p(t_{0})),\,$

$p'(t_{0}+h)=f(t_{0}+h,p(t_{0}+h)).\,$

यहाँ पर ये प्रमुख तीन शर्तें हैं, इसलिए p को घात 2 का बहुपद होना चाहिए। इसके लिए फॉर्म में p लिखें-

$p(t)=\alpha (t-t_{0})^{2}+\beta (t-t_{0})+\gamma \,$

गणनाओं को सरल बनाने के लिए. फिर गुणांक देने के लिए संयोजन स्थितियों को हल किया जा सकता है, जो इस प्रकार हैं-

$\begin{array}{rl}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}& =\frac{1}{}\end{array}$