समूह वलय

बीजगणित में वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर होता है जो वलय किसी समूह (गणित) में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। यह नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि में वलय पर स्थित होता है और इसके आधार पर दिए गए समूह के तत्वों का सेट भी स्थित होता है। जो वलय योग के नियम का मॉडुलेटर तत्व है और इसका गुणन रैखिकता द्वारा विस्तारित किया जाता है। औपचारिकता का वह रूप जो समूह में वलय के प्रत्येक तत्व में दिये गये वलय के भार को एकत्र कर समूह का सामान्यीकरण करता है।

यदि यहां वलय क्रमविनिमेय हो तो इसे वलय का बीजगणित भी कहा जाता है समूह वलय की संरचना कुछ तत्वों पर आधारित होती है जो बीजगणित (हॉफ बीजगणित) की एक संरचना होती है जिसे समूह हॉफ बीजगणित कहते हैं।

समूह के छल्ले का प्रयोग समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में किया जाता है।

परिभाषा

जहाँ जी एक वलय का समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जा सकता है और आर को एक समूह वलय होने का रूप दिया जा जाता है। तथा आर समूह व जी वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है एफ ,जी तथा आर का गणित में सामान्यीकरण होता है जहाँ जी जैसे बहुत से तत्वों को शून्य लिख सकते हैं तथा‌ आर स्केेैलर व एल्फा मैपिंग के रूप में परिभाषित करते हैं। एल्फा तथा एफ -एक्स कार्य करते हैं और एफ व जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इस प्रकार हैं-$x\mapsto f(x)+g(x)$योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।

$x\mapsto \sum _{uv=x}f(u)g(v)=\sum _{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).$

यहाँ एफ और जी परिमित समूह हैं और वलय को आसानी से सत्यापित कर सकता है।

जो इस प्रकार है जैसे एफ: जी -आर तथा जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप मेंते हैं।

यदि वलय आर एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।

उदाहरण

1. माना जी समूह वलय एक क्रमांक तथा चक्रीय समूह है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व सी तथा जी तत्व को आर के रूप में लिखते हैं।

$r=z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}\,$

जहां कठिन संख्यायें जेड1 और जेड2 हैं। तो यह चर में बहुपद समूह वलय के समान है ऐसा इसलिए है कि $a^{3}=a^{0}=1$ जो जी समूह वलय सी के लिए समरूपी है।

तत्व एस के रूप में उनका योग$s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}$

$r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}\,$

और उनका उत्पाद इस प्रकार है-

$rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}+(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{2}w_{0}+z_{1}w_{1})a^{2}.$

तत्व जी का गुणांक समूह वलय सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 हैं जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। जिसका योज्य पहचान तत्व शून्य होता है।

जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है तो शर्तों को गुणा करते समय समूह वलय में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें गिनना नहीं चाहिए।

2.उदाहरण एक वलय आर लॉरेंट बहुपद का है ये आर पर अनंत चक्रीय समूह जेड के वलय से ज्यादा या कम नहीं है।

3. क्यू तत्वों का चतुष्कोणीय समूह इस प्रकार है -$\{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}$ जहाँ आर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो समूह वलय का तत्व है।

$x_{1}\cdot e+x_{2}\cdot {\bar {e}}+x_{3}\cdot i+x_{4}\cdot {\bar {i}}+x_{5}\cdot j+x_{6}\cdot {\bar {j}}+x_{7}\cdot k+x_{8}\cdot {\bar {k}}$

जहाँ $x_{i}$ एक वास्तविक संख्या है।

गुणन किसी अन्य वलय में होता है जो समूह संचालन के आधार पर परिभाषित किया जाता है उदाहरण के लिए-

${\begin{aligned}{\big (}3\cdot e+{\sqrt {2}}\cdot i{\big )}\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)&=(3\cdot e)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)+({\sqrt {2}}\cdot i)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\big (}(e)({\bar {j}}){\big )}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\big (}(i)({\bar {j}}){\big )}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\bar {j}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot k\end{aligned}}.$

माना कि आर क्यू आर चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र के समान नहीं हैं। क्योंकि चतुष्कोणों का तिरछा क्षेत्र वलय के अतिरिक्त अन्य संबंधों को संतुष्ट करता है जैसे कि $-1\cdot i=-i$ जबकि समूह का वलय आर क्यू में $-1\cdot i$ के बराबर नहीं है $1\cdot {\bar {i}}$. को अधिक विशिष्ट होने के लिए समूह आर को क्यू के स्थान को वास्तविक रूप से सदिश रॉशि के स्थान आयाम को आठ के रूप में लिखा जाता है जबकि चतुष्कोणों को तिरछे क्षेत्र के वास्तविक सदिश स्थान के रूप में आयाम चार के रूप में रखा जाता है।

4. गैर-अबेलियन समूह वलय का उदाहरण है जहाँ जेड तीन अक्षरों पर सममित समूह है। यह एक अभिन्न डोमेन नहीं है क्योंकि हमारे पास$[1-(12)]*[1+(12)]=1-(12)+(12)-(12)(12)=1-1=0$ ये तत्व $(12)\in \mathbb {S} _{3}$ टॉंर्सपोजीशियन के क्रम हैं जो केवल एक और दो को फ्रिज करता है। इसलिए अंतर्निहित वलय एक अभिन्न डोमेन पर नहीं होना चाहिए।

कुछ बुनियादी गुण

वलय आर की गुणात्मक पहचान को दर्शाने के लिए एक संख्या का उपयोग करना चाहिए और समूह इकाई को एक जी द्वारा निरूपित किया जाना चाहिए तथा वलय आर और जी में आर के लिए एक सबरिंग आइसोमोर्फिक होता है और तत्वों के समूह में जी के लिए एक उपसमूह आइसोमोर्फिक होता है। जो एक संकेतक समारोह पर विचार करने के लिए एक सदिश एफ द्वारा परिभाषित करते हैं जो इस प्रकार है-

$f(g)=1\cdot 1_{G}+\sum _{g\not =1_{G}}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{1_{G}\}}(g)={\begin{cases}1&g=1_{G}\\0&g\neq 1_{G}\end{cases}},$

एफ के सभी स्केलर गुणकों का सेट आर है जी आइसोमोर्फिक में आर का एक सबरिंग है। यदि हम जी के प्रत्येक तत्व को {एस} सूचक समारोह में रखते हैं जो एफ द्वारा परिभाषित किया गया है

$f(g)=1\cdot s+\sum _{g\not =s}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{s\}}(g)={\begin{cases}1&g=s\\0&g\neq s\end{cases}}$

परिणामी मैपिंग एक इंजेक्शन समूह समरूपता है जो आर [जी] में गुणन के संबंध में नहीं है।

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