समय अवकलन

एक समय अवकलन समय के संबंध में एक फलन का अवकलन है, जिसकी आमतौर पर फलन के मान के परिवर्तन की दर के रूप में व्याख्या कि जाती है। चर निरूपण समय को आमतौर पर $t$ के रूप में लिखा जाता है।

संकेतन

समय अवकलन को निरूपित करने के लिए विभिन्न प्रकार के संकेतन का उपयोग किया जाता है। सामान्य (लीबनिज संकेतन) संकेतन के अतिरिक्त,

${\frac {dx}{dt}}$

विशेष रूप से भौतिकी में उपयोग किया जाने वाला एक बहुत ही सामान्य छोटी-भुजा संकेतन 'शेष-बिंदु' है। अर्थात।

${\dot {x}}$

(इसे न्यूटन का संकेतन कहते हैं)

उच्च समय अवकलन का भी उपयोग किया जाता है, समय के संबंध में दूसरा अवकलन

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

के रूप में लिखा जाता है, जिसमें ${\ddot {x}}$ की संगत संक्षिप्त लिपि होती है।

इसे एक सामान्यीकरण के रूप में, सदिश का समय अवकलन,कहते हैं,

$\mathbf {v} =\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\ldots \right]$

इस समीकरण को सदिश के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके घटक मूल सदिश के घटकों के अवकलन हैं। जोकि है,

${\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\ldots \right].$

भौतिकी में प्रयोग

भौतिक विज्ञान में समय अवकलन एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। उदाहरण के लिए, एक बदलती स्थिति $x$ के लिए , इसका समय अवकलन ${\dot {x}}$ इसका वेग है, और समय के संबंध में इसका दूसरा अवकलन, ${\ddot {x}}$ इसका त्वरण है। यहां तक ​​कि कभी-कभी उच्च अवकलन स्थिति का भी उपयोग किया जाता है, और समय के संबंध में का तीसरे अवकलन को जर्क के रूप में जाना जाता है। जिसके लिए गति रेखांकन और अवकलन देखें।

भौतिकी में बड़ी संख्या में मौलिक समीकरणों में मात्राओं का पहली या दूसरी बार अवकलन सम्मिलित होता है। विज्ञान में कई अन्य मौलिक मात्राएँ एक दूसरे की समय अवकलन हैं,

• बल संवेग का समय अवकलन है
• शक्ति ऊर्जा का समय अवकलन है
• विद्युत धारा विद्युत आवेश का समय अवकलन है।

और इसी तरह,

वेग या विस्थापन जैसी सामान्य घटनाए, भौतिकी में एक सामान्य घटनाओ की तरह एक सदिश का समय अवकलन है। इस तरह के अवकलन से निपटने में परिमाण और अभिविन्यास दोनों समय पर निर्भर हो सकते हैं।

उदाहरण, वृत्तीय गति

See also: एकसमान वृत्तीय गति and केन्द्राभिमुख शक्ति

File:Polar rectangular.svg

कार्तीय निर्देशांक (x, y) और ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) के बीच संबंध।

उदाहरण के लिए, एक कण को ​​एक वृत्ताकार पथ में गतिमान माना जाता है। इसकी स्थिति विस्थापन सदिश $r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}$ द्वारा दी गई है , जो कोण, θ, और त्रिज्यीय दूरी, r से संबंधित है, जैसा कि चित्र में परिभाषित किया गया है,

${\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}$

इस उदाहरण के लिए, हम मानते हैं कि θ = t । इसलिए, किसी समय t पर विस्थापन (स्थिति)

$\mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {\imath }}+r\sin(t){\hat {\jmath }}$

द्वारा दिया जाता है।

यह रूप दर्शाता है कि r(t) द्वारा वर्णित गति त्रिज्या r के एक वृत्त में है क्योंकि r(t) का परिमाण नीचे दिए गए समीकरण द्वारा दिया गया है

$|\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r$

जहाँ पर त्रिकोणमितीय पहचान sin²(t) + cos²(t) = 1 का उपयोग करके दिया जाता है, और जहाँ $\cdot$ (बिन्दु) सामान्य यूक्लिडियन बिन्दु उत्पाद है।

विस्थापन के इस रूप से अब वेग को ज्ञात किया जा सकता है। विस्थापन सदिश का समय अवकलन वेग सदिश है। सामान्य तौर पर, एक सदिश का अवकलन एक सदिश होता है जो घटकों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक मूल सदिश के संबंधित घटक का अवकलन होता है। इस प्रकार, इस स्थिति में वेग सदिश है,

$\begin{array}{rl}\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}& =r\left[\frac{d\cos <!--\; \; -->(t)}{dt},\frac{d\sin <!--\; \; -->(t)}{dt}\right]\\ & =r[-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->(t),\cos <!--\; \; -->(t)]\\ & \end{array}$