सममित घटक

विद्युत अभियन्त्रण में, सममित घटकों की विधि सामान्य और असामान्य दोनों स्थितियों के अंतर्गत असंतुलित तीन-फ़ेज विद्युत प्रणालियों के विश्लेषण को सरल बनाती है। मूल सिद्धांत यह है कि समिश्र संख्या रैखिक रूपांतरण के माध्यम से N फ़ेज के एक असममित समुच्चय को फ़ेज N के सममित समुच्चयों के एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। फोर्टेस्क्यू की प्रमेय (सममित घटक) अध्यारोपण सिद्धांत पर आधारित है इसलिए यह केवल रैखिक विद्युत प्रणालियों पर प्रयुक्त होती है या गैर-रैखिक विद्युत प्रणालियों के रैखिक अनुमानों पर प्रयुक्त होती है।

तीन-फ़ेज प्रणालियों की सबसे सामान्य स्थिति में, परिणामी सममित घटकों को प्रत्यक्ष या धनात्मक, उत्क्रमित या ऋणात्मक और शून्य या एकाधिक के रूप में संदर्भित किया जाता है। सममित घटकों के क्षेत्र में ऊर्जा प्रणाली का विश्लेषण बहुत सरल होता है क्योंकि, यदि परिपथ स्वयं संतुलित है तो परिणामी समीकरण पारस्परिक रूप से एकघाततः स्वतंत्र होते हैं।

विवरण

1918 में चार्ल्स लेगेट फोर्टेस्क्यू ने एक पेपर प्रस्तुत किया जिसमें दिखाया गया कि N असंतुलित फ़ेज के किसी भी समुच्चय (अर्थात, ऐसा कोई पॉलीपेज़ संकेत) N के मानों के लिए संतुलित फ़ेज N के सममित समुच्चयों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो फ़ेज द्वारा केवल एकल आवृत्ति घटक का प्रतिनिधित्व करता है।

1943 में एडिथ क्लार्क ने तीन-फ़ेज प्रणालियों के लिए सममित घटकों के उपयोग की एक विधि देते हुए एक पाठ्यपुस्तक प्रकाशित किया। जिसने मूल फोर्टेस्क पेपर की तुलना में गणनाओं को बहुत सरल बना दिया था। तीन-फ़ेज प्रणाली में, फ़ेज के एक समुच्चय में अध्ययन के अंतर्गत प्रणाली मे समान फ़ेज अनुक्रम होता है जिसे धनात्मक abc अनुक्रम कहते हैं, दूसरे समुच्चय में निश्चित फ़ेज अनुक्रम को ऋणात्मक abc अनुक्रम कहा जाता है और तीसरे समुच्चय में फ़ेज a, b और c एक दूसरे के साथ फ़ेज में होते हैं जिसे शून्य अनुक्रम या सामान्य-मोड संकेत अनुक्रम कहा जाता है। अनिवार्य रूप से, यह विधि तीन असंतुलित फ़ेज को तीन स्वतंत्र स्रोतों में परिवर्तित करती है जो असममित त्रुटि विश्लेषण को अधिक सरल बनाती है।

धनात्मक अनुक्रम, ऋणात्मक अनुक्रम और विद्युत जनित्र, परिवर्तक और ओवरहेड लाइनों और केबलों सहित अन्य उपकरणों के शून्य अनुक्रम प्रतिबाधा को दिखाने के लिए एक-पंक्ति आरेख का विस्तार करके, इस तरह की असंतुलित स्थितियों का विश्लेषण स्थिर लघु-परिपथ त्रुटि के लिए एक पंक्ति के रूप में बहुत अधिक सरलीकृत होता है। तकनीक को उच्च क्रम फ़ेज प्रणालियों तक भी विस्तृत किया जा सकता है।

भौतिक रूप से तीन-फ़ेज प्रणाली में, धाराओं का एक धनात्मक अनुक्रम समुच्चय एक सामान्य घूर्णन क्षेत्र उत्पन्न करता है और ऋणात्मक अनुक्रम समुच्चय के विपरीत घूर्णन के साथ एक क्षेत्र को उत्पन्न करता है और शून्य अनुक्रम समुच्चय एक ऐसा क्षेत्र उत्पन्न करता है जो दोलन करता है लेकिन फ़ेज कुंडली के बीच घूर्णन नहीं करता है। चूंकि इन प्रभावों को भौतिक रूप से अनुक्रम फ़ेज के साथ यह पता लगाया जा सकता है कि गणितीय उपकरण सुरक्षात्मक रिले की संरचना का मूल आधार है, जो ऋणात्मक-अनुक्रम वोल्टेज और धाराओं को त्रुटि की स्थिति के विश्वसनीय संकेतक के रूप में उपयोग करता है। इस प्रकार के रिले का उपयोग परिपथ वियोजक का खंडन करने या विद्युत प्रणाली की सुरक्षा करने के लिए किया जा सकता है।

विश्लेषणात्मक तकनीक को सामान्य विद्युत और वेस्टिंगहाउस में इंजीनियरों द्वारा स्वीकृत और प्रस्तुत किया गया था जो द्वितीय विश्व युद्ध के बाद से यह असममित त्रुटि विश्लेषण के लिए एक स्वीकृत तरीका बन गया है।

जैसा कि ऊपर दाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है कि सममित घटकों के तीन समुच्चय (धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य अनुक्रम) तीन असंतुलित फ़ेजों को प्रणाली बनाने के लिए जोड़ते हैं जैसा कि आरेख के निचले भाग में चित्रित किया गया है। सदिश के समुच्चय के बीच परिमाण और फ़ेज परिवर्तन में अंतर के कारण फ़ेज के बीच असंतुलन उत्पन्न होता है। ध्यान दें कि अलग-अलग अनुक्रम सदिश के रंग (लाल, नीला और पीला) तीन अलग-अलग फ़ेज (उदाहरण के लिए ए, बी और सी) के अनुरूप हैं। अंतिम आलेख पर अभिगमन के लिए, प्रत्येक फ़ेज के सदिशों के योग की गणना की जाती है। यह परिणामी सदिश उस विशेष फ़ेज का प्रभावी फ़ेजर प्रतिनिधित्व होता है। यह प्रक्रिया, बार-बार तीन-फ़ेजों में से प्रत्येक के लिए फ़ेजर का निर्माण करती है।

तीन-फ़ेज की स्थिति

तीन-फ़ेज विद्युत ऊर्जा प्रणालियों के विश्लेषण के लिए सममित घटकों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। किसी बिंदु पर तीन-फ़ेज प्रणाली के वोल्टेज या धारा को तीन-फ़ेज द्वारा इंगित किया जा सकता है जिसे वोल्टेज या धारा के तीन फ़ेज घटक के रूप मे जाना जाता है।

यह लेख वोल्टेज पर चर्चा करता है हालाँकि, ये निर्धारित धारा पर भी प्रयुक्त होते हैं। और पूर्ण रूप से संतुलित तीन-फ़ेज विद्युत प्रणाली में, वोल्टेज फ़ेजर घटकों के समान परिमाण मे होते हैं लेकिन 120 डिग्री अलग होते हैं। एक असंतुलित प्रणाली में, वोल्टेज फ़ेजर घटकों के परिमाण और फ़ेज भिन्न होते हैं। वोल्टेज फ़ेजर घटकों को सममित घटकों के एक समुच्चय में विघटित करने से प्रणाली का विश्लेषण और साथ-साथ किसी भी असंतुलन की कल्पना करने में सहायता प्राप्त होती है। यदि तीन वोल्टेज घटकों को फ़ेज (जो समिश्र संख्याएं हैं) के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो एक समिश्र सदिश बनाया जा सकता है जिसमें तीन-फ़ेज घटक सदिश के मुख्य घटक होते हैं। तीन-फ़ेज वोल्टेज घटकों को एक समिश्र सदिश के रूप में लिखा जा सकता है।

$\mathbf {v} _{abc}={\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}$

यह सदिश को तीन सममित घटकों में विघटित कर देता है

${\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{a,0}\\V_{b,0}\\V_{c,0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,1}\\V_{b,1}\\V_{c,1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,2}\\V_{b,2}\\V_{c,2}\end{bmatrix}}$

जहां 0, 1 और 2 क्रमशः शून्य, धनात्मक और ऋणात्मक अनुक्रम घटकों को संदर्भित करते हैं। अनुक्रम घटक केवल उनके फ़ेज कोणों से भिन्न होते हैं, जो सममित हैं और इसलिए $\scriptstyle {\frac {2}{3}}\pi$ रेडियंस या 120° के होते हैं।

आव्यूह

फ़ेजर घूर्णन संचालक $\alpha$ को परिभाषित करें, जो फ़ेजर सदिश को इसके द्वारा गुणा किए जाने पर वामावर्त 120 डिग्री पर घुमाता है:

$\alpha \equiv e^{{\frac {2}{3}}\pi i}$.

ध्यान दें कि $\alpha ^{3}=1$ ताकि $\alpha ^{-1}=\alpha ^{2}$

जिनका शून्य अनुक्रम घटकों में समान परिमाण होता है और एक दूसरे के साथ फ़ेज में होते हैं, इसलिए:

$V_{0}\equiv V_{a,0}=V_{b,0}=V_{c,0}$

और अन्य अनुक्रम घटकों का परिमाण समान होता है, लेकिन उनके फ़ेज कोणों में 120° का अंतर होता है। यदि वोल्टेज फ़ेज के मूल असंतुलित समुच्चय में धनात्मक या abc फ़ेज अनुक्रम होते है, तो:

${\begin{aligned}V_{1}&\equiv V_{a,1}=\alpha V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{c,1}\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}V_{2}&\equiv V_{a,2}=\alpha ^{2}V_{b,2}=\alpha V_{c,2}\end{aligned}}$,

जिसका अर्थ है कि

${\begin{aligned}V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{1}\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}V_{c,1}=\alpha V_{1}\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}V_{b,2}=\alpha V_{2}\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}V_{c,2}=\alpha ^{2}V_{2}\end{aligned}}$.

इसी प्रकार,

$\begin{array}{rl}{\mathbf{v}}_{abc}& =[\begin{array}{c}{}_{}\end{array}\end{array}$