सदिश बीजगणित संबंध

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सदिश बीजगणित में निम्नलिखित महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ हैं। वे सर्वसमिकाएं जिनमें सदिश का परिमाण सम्मिलित होता है, या दो सदिश A·B का डॉट गुणनफल (अदिश गुणनफल), किसी भी आयाम में सदिशों पर प्रयुक्त होता है। क्रॉस गुणनफल (सदिश गुणनफल) A×B का उपयोग करने वाली पहचान केवल तीन आयामों में परिभाषित की जाती है।[nb 1][1]


परिमाण

डॉट गुणनफल का उपयोग करके सदिश A का परिमाण व्यक्त किया जा सकता है:

त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में, सदिश का परिमाण पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसके तीन घटकों से निर्धारित किया जाता है:


असमानताएं

  • कॉची-श्वार्ज़ असमानता:
  • त्रिभुज असमानता:
  • विपरीत त्रिकोण असमानता:


कोण

सदिश गुणनफल और दो सदिशों के अदिश गुणनफल उनके बीच के कोण को परिभाषित करते हैं, और θ कहते हैं:[1][2]

दाहिने हाथ के नियम को संतुष्ट करने के लिए, सकारात्मक θ के लिए, सदिश B, A से वामावर्त है, और ऋणात्मक θ के लिए यह दक्षिणावर्त है।

पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान तब प्रदान करती है:

यदि सदिश A = (Ax, Ay, Az) x-, y- और z-अक्षों के लंबकोणीय समुच्चय के साथ α, β, γ कोण बनाता है, तब:

और समान रूप से कोण β, γ के लिए। फलस्वरूप:

अक्ष दिशाओं के साथ इकाई सदिश है।

क्षेत्र और आयतन

भुजाओं A और B वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल Σ जिसमें कोण θ है:

जिसे समांतर चतुर्भुज के किनारों पर स्थित सदिश A और B के सदिश क्रॉस गुणनफल के परिमाण के रूप में पहचाना जाएगा। वह है:

(यदि A, B द्वि-आयामी सदिश हैं, तो यह पंक्तियों A, B के साथ 2 × 2 आव्यूह के निर्धारक के बराबर है।) इस अभिव्यक्ति का वर्ग है:[3]

जहां Γ (A, B) A और B के ग्राम निर्धारक द्वारा परिभाषित किया गया है:

इसी तरह से, तीन सदिशों 'A', 'B', 'C' द्वारा फैले समांतर चतुर्भुज का वर्गित आयतन तीन सदिशों के ग्राम निर्धारक द्वारा दिया जाता है:[3]:

चूंकि 'A', 'B', 'C' त्रि-आयामी सदिश हैं, यह स्केलर ट्रिपल गुणनफल के वर्ग के बराबर है;

इस प्रक्रिया को n-आयामों तक बढ़ाया जा सकता है।

सदिशों का योग और गुणन

  • जोड़ की क्रमविनिमेयता: .
  • अदिश गुणनफल की क्रमविनिमेयता: .
  • क्रॉस गुणनफल की एंटीकम्यूटेटिविटी: .
  • जोड़ पर अदिश द्वारा गुणन का वितरण: .
  • अतिरिक्त पर स्केलर गुणनफल का वितरण: .
  • सदिश गुणनफल का वितरण योग से अधिक: .
  • स्केलर ट्रिपल गुणनफल:
  • सदिश ट्रिपल गुणनफल: .
  • जैकोबी पहचान:
  • बिनेट-कॉची पहचान:
  • लैग्रेंज की पहचान: .
  • सदिश चौगुनी गुणनफल:[4][5]
  • पिछले समीकरण का परिणाम:[6]
  • 3 आयामों में, सदिश D को आधार सदिश {A', 'B', 'C'} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:[7]


यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. There is also a seven-dimensional cross product of vectors that relates to multiplication in the octonions, but it does not satisfy these three-dimensional identities.


संदर्भ

  1. 1.0 1.1 Lyle Frederick Albright (2008). "§2.5.1 Vector algebra". अलब्राइट की केमिकल इंजीनियरिंग हैंडबुक. CRC Press. p. 68. ISBN 978-0-8247-5362-7.
  2. Francis Begnaud Hildebrand (1992). Methods of applied mathematics (Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd ed.). Courier Dover Publications. p. 24. ISBN 0-486-67002-3.
  3. 3.0 3.1 Richard Courant, Fritz John (2000). "Areas of parallelograms and volumes of parallelepipeds in higher dimensions". कलन और विश्लेषण का परिचय, खंड II (Reprint of original 1974 Interscience ed.). Springer. pp. 190–195. ISBN 3-540-66569-2.
  4. Vidwan Singh Soni (2009). "§1.10.2 Vector quadruple product". यांत्रिकी और सापेक्षता. PHI Learning Pvt. Ltd. pp. 11–12. ISBN 978-81-203-3713-8.
  5. This formula is applied to spherical trigonometry by Edwin Bidwell Wilson, Josiah Willard Gibbs (1901). "§42 in Direct and skew products of vectors". Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics. Scribner. pp. 77ff.
  6. "रैखिक बीजगणित - क्रॉस-उत्पाद पहचान". Mathematics Stack Exchange. Retrieved 2021-10-07.
  7. Joseph George Coffin (1911). Vector analysis: an introduction to vector-methods and their various applications to physics and mathematics (2nd ed.). Wiley. p. 56.