सदिशीकरण (गणित)

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गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित और आव्यूह (गणित) में, आव्यूह (गणित) का सदिशीकरण रैखिक परिवर्तन है जो आव्यूह को सदिश (गणित और भौतिकी) में परिवर्तित करता है। विशेष रूप से a m × n आव्यूह A का सदिशीकरण, जिसे vec(A) कहा जाता है, mn × 1 स्तंभ सदिश है जो आव्यूह A के स्तंभों को एक दूसरे के ऊपर रखकर प्राप्त किया जाता है:

$$\operatorname {vec} (A)=[a_{1,1},\ldots ,a_{m,1},a_{1,2},\ldots ,a_{m,2},\ldots ,a_{1,n},\ldots ,a_{m,n}]^{\mathrm {T} }$$

यहां, $a_{i,j}$ A की i-वीं पंक्ति और j-वें स्तंभ में अवयव का प्रतिनिधित्व करता है, और सुपरस्क्रिप्ट ${}^{\mathrm {T} }$ ट्रांसपोज़ को दर्शाता है। सदिशीकरण, इनके (अर्थात्, आव्यूहों और सदिशों के) मध्य समरूपता $\mathbf {R} ^{m\times n}:=\mathbf {R} ^{m}\otimes \mathbf {R} ^{n}\cong \mathbf {R} ^{mn}$ को सदिश स्थानों के रूप में समन्वयित करके व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए, 2×2 आव्यूह $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$,के लिए सदिशीकरण $\operatorname {vec} (A)={\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}}$ है .

सदिशकृत जोड़ का चित्रण वीडियो

A के सदिशीकरण और उसके स्थानान्तरण के सदिशीकरण के मध्य संबंध कम्यूटेशन आव्यूह द्वारा दिया गया है।

क्रोनकर उत्पाद के साथ संगतता

आव्यूह गुणन को आव्यूह पर रैखिक परिवर्तन के रूप में व्यक्त करने के लिए क्रोनेकर उत्पाद के साथ सदिशीकरण का अधिकांशतः उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से,

$$\operatorname {vec} (ABC)=(C^{\mathrm {T} }\otimes A)\operatorname {vec} (B)$$

आयाम k×l, l×m, और m×n के आव्यूह A, B, और C के लिए। उदाहरण के लिए, (समष्टि प्रविष्टियों वाले सभी n×n आव्यूहों के $\operatorname {ad} _{A}(X)=AX-XA$ ली बीजगणित gl(n, C) का संयुक्त एंडोमोर्फिज्म), फिर $\operatorname {vec} (\operatorname {ad} _{A}(X))=(I_{n}\otimes A-A^{\mathrm {T} }\otimes I_{n}){\text{vec}}(X)$, जहां $I_{n}$ n×n पहचान आव्यूह है।

दो अन्य उपयोगी सूत्रीकरण हैं:

$${\begin{aligned}\operatorname {vec} (ABC)&=(I_{n}\otimes AB)\operatorname {vec} (C)=(C^{\mathrm {T} }B^{\mathrm {T} }\otimes I_{k})\operatorname {vec} (A)\\\operatorname {vec} (AB)&=(I_{m}\otimes A)\operatorname {vec} (B)=(B^{\mathrm {T} }\otimes I_{k})\operatorname {vec} (A)\end{aligned}}$$

अधिक सामान्यतः, यह दिखाया गया है कि सदिशीकरण किसी भी श्रेणी के आव्यूह की मोनोइडल संवृत संरचना में स्व-एडजंक्शन है।

हैडामर्ड उत्पादों के साथ संगतता

सदिशीकरण एक बीजगणित समरूपता है जो हैडामर्ड (एंट्रीवाइज) उत्पाद के साथ n × n आव्यूह के स्थान से लेकर हैडामर्ड उत्पाद के साथ Cⁿ² तक है:

$$\operatorname {vec} (A\circ B)=\operatorname {vec} (A)\circ \operatorname {vec} (B).$$

आंतरिक उत्पादों के साथ संगतता

सदिशीकरण आव्यूह मानदंड फ्रोबेनियस मानदंड (या हिल्बर्ट-श्मिट) आंतरिक उत्पाद के साथ n×n आव्यूह के स्थान से 'Cⁿ²' तक एकात्मक परिवर्तन है।:

$$\mathrm{tr}<!--\; \; -->(A^{†<!--\; †\; -->}B)=\mathrm{vec}<!--\; \; -->{}^{}$$