सतही अवस्थाएँ

सतह अवस्था पदार्थ की सतह (सांस्थिति) पर पाए जाने वाले इलेक्ट्रॉनिक अवस्था हैं। वे ठोस पदार्थ से तेज संक्रमण के कारण बनते हैं जो एक सतह के साथ समाप्त होते हैं और सतह के निकटतम परमाणु परतों पर ही पाए जाते हैं। एक सतह के साथ एक पदार्थ की समाप्ति विस्तृत पदार्थ से निर्वात तक इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना के परिवर्तन की ओर ले जाती है। सतह पर दुर्बल विभव में, नए इलेक्ट्रॉनिक अवस्थाों का निर्माण किया जा सकता है जिन्हें सतह अवस्था कहते हैं।

संघनित पदार्थ अंतराफलक पर उत्पत्ति

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चित्रा 1. एक आदर्श सतह पर समाप्त होने वाली आवधिक क्रिस्टल विभव का सरलीकृत एक-आयामी मॉडल। सतह पर, मॉडल की विभव निर्वात स्तर (ठोस रेखा) पर अचानक सम्मिलित होजाती है। असतत रेखा एक अधिक यथार्थवादी तस्वीर का प्रतिनिधित्व करती है, जहां कुछ दूरी पर संभावित निर्वात स्तर तक पहुंच जाता है।

File:Solution1.PNG

चित्रा 2. विस्तृत अवस्थाों के अनुरूप एक-आयामी श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के प्रकार का वास्तविक हिस्सा। इन अवस्थाों में विस्तृत में बलोच संकेत होता है, जबकि निर्वात में तेजी से क्षय होता है।

चित्र 3. एक-आयामी श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के प्रकार का वास्तविक भाग जो सतह की अवस्थाओं से अनुरूप है। ये अवस्थाएँ निर्वात और विस्तृत क्रिस्टल दोनों में क्षय होती हैं और इस प्रकार क्रिस्टल सतह पर स्थानीयकृत अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करती हैं।

जैसा कि बलोच तरंगें द्वारा कहा गया है। बलोच प्रमेय, एक पूर्ण आवधिक विभव वाले एकल-इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण, एक क्रिस्टल, के आइजेन-अवस्था, बलोच तरंगें हैं।

${\begin{aligned}\Psi _{n{\boldsymbol {k}}}&=\mathrm {e} ^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}u_{n{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}}).\end{aligned}}$

यहाँ $u_{n{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})$ क्रिस्टल के समान आवधिकता वाला एक फलन है, और n बैंड सूचकांक है और 'k' तरंग संख्या है। किसी दिए गए विभव के लिए अनुमत तरंग संख्या सामान्य बोर्न-वॉन कर्मन चक्रीय सीमा स्थितियों को प्रयुक्त करके पाई जाती है। एक क्रिस्टल की समाप्ति, अर्थात एक सतह का निर्माण, स्पष्ट रूप से पूर्ण आवधिकता से विचलन का कारण बनता है। परिणामस्वरूप, यदि चक्रीय सीमा स्थितियों को सतह के सामान्य दिशा में छोड़ दिया जाता है तो इलेक्ट्रॉनों का व्यवहार विस्तृत में व्यवहार से विचलित हो जाएगा और इलेक्ट्रॉनिक संरचना के कुछ संशोधनों की अपेक्षा की जानी चाहिए।

चित्र 1 में दिखाए गए अनुसार एक आयाम में क्रिस्टल विभव का एक सरलीकृत मॉडल स्थूल वर्णन किया जा सकता है। क्रिस्टल में, विभव में आवधिकता a लेटिस की होती है, जबकि सतह के समीप इसे किसी तरह निर्वात स्तर का मान प्राप्त करना होता है। 'चित्र 1' में दिखाई गई चरण विभव (ठोस रेखा) एक अत्यधिक सरलीकरण है जो साधारण मॉडल गणनाओं के लिए अधिकतम सुविधाजनक है। एक वास्तविक सतह पर विभव छवि आवेशों और सतह द्विध्रुवों के निर्माण से प्रभावित होती है और यह असतत रेखा द्वारा संकेतित दिखती है।

'चित्र 1' में विभव को देखते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि एक-आयामी एकल-इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण दो गुणात्मक रूप से भिन्न प्रकार के समाधान देता है।

• पहले प्रकार की अवस्थाएँ (चित्र 2 देखें) क्रिस्टल में विस्तृत हुई हैं और वहाँ बलोच संकेत है। इस प्रकार के समाधान विस्तृत अवस्थाओ के अनुरूप होते हैं जो निर्वात में पहुंचने वाली एक घातीय रूप से क्षयमान वाले अंतिम भाग में समाप्त हो जाते हैं।
• दूसरे प्रकार के अवस्था (चित्र 3 देखें) निर्वात और विस्तृत क्रिस्टल दोनों में तेजी से घटते हैं। इस प्रकार के समाधान क्रिस्टल सतह के समीप स्थानीय तरंग फलनों के साथ सतह अवस्थाों के अनुरूप होते हैं।

धातु और अर्धचालक दोनों के लिए पहले प्रकार का समाधान प्राप्त किया जा सकता है। हालांकि अर्धचालकों में, संबंधित ईजेन-ऊर्जा को अनुमत ऊर्जा बैंडों में से एक से संबंधित होना चाहिए। दूसरे प्रकार का समाधान अर्ध-चालकों के ऊर्जा अंतराल के साथ-साथ धातुओं के अनुमानित बैंड संरचना के स्थानीय अंतराल में सम्मिलित है। यह दिखाया जा सकता है कि इन सभी अवस्थाओं की ऊर्जा ऊर्जा-अंतराल के अंदर है। एक परिणाम के रूप में, क्रिस्टल में इन अवस्थाों को एक काल्पनिक तरंग संख्या द्वारा चित्रित किया जाता है, जो विस्तृत में एक घातीय क्षय के लिए अग्रणी होता है।

शॉक्ली अवस्थाओ और टैम अवस्थाओ

सतही अवस्थाओं की चर्चा में, सामान्य रूप से अमेरिकी भौतिक विज्ञानी विलियम शॉक्ले और रूसी भौतिक विज्ञानी इगोर टैम के नाम पर शॉकली अवस्थाओ और टैम अवस्थाओ, के बीच अंतर किया जाता है। दो प्रकार के अवस्थाों के बीच कोई स्थायी भौतिक भेद नहीं है, लेकिन गुणात्मक संकेत और उनका वर्णन करने में प्रयुक्त गणितीय दृष्टिकोण अलग है।

• ऐतिहासिक रूप से, सतही अवस्थाएँ जो स्पष्ट और आदर्श सतहों के लिए लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के रूपरेखा में श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के रूप में उत्पन्न होती हैं, उन्हें शॉक्ली अवस्थाओ कहा जाता है। शॉक्ले अवस्थाओ इस प्रकार हैं जो केवल क्रिस्टल समाप्ति के साथ जुड़े इलेक्ट्रॉन विभव में परिवर्तन के कारण उत्पन्न होते हैं। यह दृष्टिकोण सामान्य धातुओं और कुछ संकीर्ण अंतर वाले अर्धचालकों का वर्णन करने के लिए अनुकूल है। चित्र 3 शॉकली अवस्था का एक उदाहरण दिखाता है, जो लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन का उपयोग करके प्राप्त किया गया है। क्रिस्टल के अंदर, शॉक्ले अवस्थाओ घातीय रूप से क्षयमान वाली बलोच तरंगों के समान हैं।
• सतह अवस्थाओ जिनकी गणना एक दृढ बंधन मॉडल के रूपरेखा में की जाती है, उन्हें प्रायः टैम अवस्थाओ कहा जाता है। तंग बाध्यकारी दृष्टिकोण में, इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलनों को सामान्य रूप से परमाणु कक्षाओं (एलसीएओ) के रैखिक संयोजनों के रूप में व्यक्त किया जाता है। शॉकले अवस्थाों का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के विपरीत, टैम अवस्था भी संक्रमण धातुओं और व्यापक अंतर वाले अर्धचालकों का वर्णन करने के लिए उपयुक्त हैं। गुणात्मक रूप से, टैम अवस्था सतह पर स्थानीयकृत परमाणु या आणविक कक्षा के समान हैं।

सांस्थितिकीय सतह अवस्थाएं

See also: सांस्थितिक विद्युत-रोधी

सभी पदार्थों को एक संख्या, एक सामयिक अपरिवर्तनीय द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है; इसका निर्माण विस्तृत इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलन से किया गया है, जो ब्रिलुवां क्षेत्र में एकीकृत हैं, इसी तरह से जीनस (गणित) की गणना ज्यामितीय सांस्थिति में की जाती है। कुछ पदार्थों में सांस्थितिक निश्चर को तब बदला जा सकता है जब प्रबल प्रचक्रण-कक्षीय युग्मन के कारण कुछ विस्तृत एनर्जी बैंड प्रतिवर्त हो जाते हैं। गैर-सामान्य सांस्थिति के साथ एक विद्युत-रोधी के बीच अंतराफलक पर, एक तथाकथित सांस्थितिक विद्युत-रोधी, और एक सामान्य सांस्थिति के साथ, अन्तराफलक को धात्विक होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, सतह की स्थिति में एक परिच्छेद बिंदु के साथ रैखिक डायराक जैसा विस्तारित होना चाहिए जो समय उत्क्रमण समरूपता द्वारा संरक्षित है। इस तरह की स्थिति को अव्यवस्था के अंतर्गत प्रबल होने की भविष्यवाणी की जाती है, और इसलिए इसे आसानी से स्थानीयकृत नहीं किया जा सकता है।

शॉक्ली अवस्थाओ

धातुओं में सतह की स्थिति

धातु की सतह पर अवस्थाों के मूल गुणों की व्युत्पत्ति के लिए एक सरल मॉडल समान परमाणुओं की अर्ध-अनंत आवधिक श्रृंखला है। इस मॉडल में, श्रृंखला की समाप्ति सतह का प्रतिनिधित्व करती है, जहां विभव V₀ मान प्राप्त करती है फलन की ओर बढ़ने के रूप में निर्वात का चित्र 1 क्रिस्टल के अंदर विभव को लेटिस की आवधिकता के साथ आवधिक माना जाता है। शॉकली अवस्थाों को तब a आयामी एकल इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के रूप में पाया जाता है

${\begin{aligned}\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+V(z)\right]\Psi (z)&=&E\Psi (z),\end{aligned}}$

आवधिक विभव के साथ

${\begin{aligned}V(z)=\left\{{\begin{array}{cc}P\delta (z+la),&{\textrm {for}}\quad z<0\\V_{0},&{\textrm {for}}\quad z>0\end{array}}\right.,\end{aligned}}$

जहाँ l एक पूर्णांक है, और P सामान्यीकरण कारक है। समाधान दो प्रक्षेत्र z<0 और z>0 के लिए स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया जाना चाहिए, जहां प्रक्षेत्र सीमा (z=0) पर तरंग फलन की निरंतरता और इसके अवकल पर सामान्य शर्तें प्रयुक्त होती हैं। चूंकि विभव क्रिस्टल के अंदर आवधिक रूप से गहन होती है, इसलिए यहां इलेक्ट्रॉनिक तरंग कार्य बलोच तरंगें होनी चाहिए। क्रिस्टल में समाधान तब आने वाली तरंग और सतह से परावर्तित तरंग का एक रैखिक संयोजन होता है। और Z> 0 के लिए निर्वात में तेजी से कम होने के लिए समाधान की आवश्यकता होगी

${\begin{aligned}\Psi (z)&=&\left\{{\begin{array}{cc}Bu_{-k}e^{-ikz}+Cu_{k}e^{ikz},&{\textrm {for}}\quad z<0\\A\exp \left[-{\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\frac {z}{\hbar }}\right],&{\textrm {for}}\quad z>0\end{array}}\right.,\end{aligned}}$

एक धातु की सतह पर एक अवस्था के लिए तरंग फलन गुणात्मक रूप से चित्र 2 में दिखाया गया है। यह क्रिस्टल के अंदर एक विस्तारित बलोच तरंग है जो सतह के बाहर एक घातीय रूप से क्षयमान वाले अंतिम भाग के साथ है। अंतिम भाग का परिणाम क्रिस्टल के अंदर ऋणात्मक आवेशित घनत्व की कमी है और सतह के परिशुद्ध रूप से बाहर ऋणात्मक आवेशित घनत्व में वृद्धि हुई है, जिससे एक द्विध्रुवीय दोहरी परत (अंतराफलक) का निर्माण होता है। द्विध्रुव सतह की ओर ले जाने वाली विभव को प्रभावित करता है, उदाहरण के लिए, धातु के काम के फलन में बदलाव के लिए होता है।

अर्धचालकों में सतह की स्थिति

File:BandstructureNFE.PNG

चित्रा 4. लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन चित्र में इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना। ब्रिलॉइन क्षेत्र की सीमा से दूर इलेक्ट्रॉन तरंग फलन में समतल तरंग वर्ण होता है और विस्तारित संबंध परवलयिक होता है। ब्रिलॉइन क्षेत्र की सीमा पर तरंग फलन एक आने वाली तरंग है जो एक आने वाली और एक ब्रैग-परावर्तित तरंग से बना है। यह अंततः एक ऊर्जा-अंतराल के निर्माण की ओर ले जाता है।

लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन का उपयोग संकीर्ण अंतराल अर्धचालकों के लिए सतह अवस्थाों के मूल गुणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। अर्ध-अनंत रैखिक श्रृंखला मॉडल भी इस स्थितियों में उपयोगी है। हालाँकि, अब परमाणु श्रृंखला के साथ विभव को कोसाइन फलन के रूप में भिन्न माना जाता है

$\begin{array}{rl}V(z)& =V[\exp <!--\; \; -->(i\frac{}{}\end{array}$