सजातीय विविधता

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घन समतल वक्र $y^{2}=x^{2}(x+1)$

बीजगणितीय ज्यामिति में, संवृत क्षेत्र k पर सजातीय विविधता, k में गुणांक वाले n चर के बहुपदों के कुछ परिमित समूह के सजातीय अंतरिक्ष kⁿ में शून्य-बिंदु होते है जो प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है। यदि अभाज्य गुणज उत्पन्न करने की स्थिति को हटा दिया जाता है, ऐसे समुच्चय को बीजगणितीय समुच्चय (सजातीय) कहा जाता है। सजातीय विविधता की जरिस्की सांस्थिति की उप-विविधता को अर्ध-सजातीय विविधता कहा जाता है।

कुछ ग्रंथों को प्रमुख आदर्श की आवश्यकता नहीं होती है, और प्रधान आदर्श द्वारा परिभाषित बीजगणितीय विविधता को अलघुकरणीय कहते हैं। यह लेख आवश्यक रूप से प्रमुख आदर्शों के शून्य-लोकस को संदर्भित नहीं करता है जैसे कि बीजगणितीय समुच्चय है।

कुछ संदर्भों में, बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र K (युक्त k) से भिन्न करना उपयोगी होता है जिसे गुणांक माना जाता है, जिस पर शून्य को लोकस माना जाता है (अर्थात् सजातीय विविधता के बिंदु Kⁿ में हैं)। इस स्तिथि में, विविधता को k पर परिभाषित किया जाता है, और k से संबंधित विविधता बिंदु k को तर्कसंगत कहा जाता है। सामान्य स्थिति में जहाँ k वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है, k- तर्कसंगत बिंदु को वास्तविक बिंदु कहते हैं। जब क्षेत्र k निर्दिष्ट नहीं होता है, तब परिमेय बिंदु वह बिंदु है जो परिमेय संख्याओं पर परिमित होती है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय है कि xⁿ + yⁿ − 1 = 0 द्वारा परिभाषित सजातीय बीजगणितीय विविधता (यह वक्र है) में दो से अधिक पूर्णांक n के लिए कोई परिमेय बिंदु नहीं है।

परिचय

सजातीय बीजगणितीय समुच्चय k में गुणांक वाले बहुपद समीकरणों की प्रणाली के बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र k में समाधान का समुच्चय है। यदि $f_{1},\ldots ,f_{m}$ में गुणांक वाले बहुपद है, वे सजातीय बीजगणितीय समुच्चय को परिभाषित करते हैं

$V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.$

सजातीय (बीजीय) विविधता बीजगणितीय समुच्चय है जो दो उचित सजातीय बीजगणितीय उपसमुच्चय का मिलन नहीं है। इस प्रकार के सजातीय बीजगणितीय समुच्चय को प्रायः अलघुकरणीय कहा जाता है।

यदि X सजातीय बीजगणितीय समुच्चय है, और I उन सभी बहुपदों की गुणजावली है जिन X पर शून्य है, तब भागफल वलय $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I$ को X का ऑर्डिनेट वलय कहा जाता है निर्देशांक वलय R के तत्वों को विविधता पर नियमित फलन या बहुपद फलन भी कहा जाता है। वे विविधता पर नियमित फलनों की वलय बनाते हैं, विविधता की वलय; दूसरे शब्दों में (संरचना शीफ देखें), यह X के संरचना बंड़ल के वैश्विक खंड का अंतरिक्ष है।

विविधता का आयाम प्रत्येक पूर्णांक से जुड़ा है, और प्रत्येक बीजगणितीय समुच्चय के लिए, बड़ी संख्या में इसकी समकक्ष परिभाषाओं पर निर्भर करता है (बीजगणितीय विविधता का आयाम देखें)।

उदाहरण

• सजातीय विविधता में X (जो कि कुछ बहुपद f के लिए X - { f = 0 } है) में हाइपरसफेस का पूरक सजातीय है। इसके परिभाषित समीकरणों को X के आदर्श f द्वारा संतृप्ति करके प्राप्त किया जाता है। समन्वय वलय का स्थानीयकरण $k[X][f^{-1}]$ है।
• विशेष रूप से, $\mathbb {C} -0$ (सजातीय रेखा जिसके मूल को हटा दिया गया है) सजातीय है।
• वहीं दूसरी ओर, $\mathbb {C} ^{2}-0$ (ऐफिन प्लेन जिसकी उत्पत्ति हटा दी गई है) सजातीय विविधता नहीं है।
• सजातीय अंतरिक्ष में कोडिमेंशन वन की उप-विविधता $k^{n}$ वास्तव में हाइपरसर्फएक्स हैं, जो कि बहुपद द्वारा परिभाषित विविधता हैं।
• अलघुकरणीय एफाइन विविधता का सामान्यीकरण एफाइन है; सामान्यीकरण का समन्वय वलय विविधता के समन्वय वलय का अभिन्न समापन है। (इसी प्रकार , प्रक्षेपी विविधता का सामान्यीकरण प्रक्षेपी विविधता है।)

तर्कसंगत बिंदु

वक्र के वास्तविक बिंदुओं का आरेखण y² = x³ − x² − 16x.

Main article: तर्कसंगत बिंदु

सजातीय विविधता के लिए $V\subseteq K^{n}$ बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र K पर, और k का उपक्षेत्र K, V का k-तार्किक बिंदु है $p\in V\cap k^{n}.$ अर्थात V का बिंदु जिसके निर्देशांक k के तत्व हैं। सजातीय विविधता V के k- तर्कसंगत बिंदुओं का संग्रह अधिकतर निरूपित किया जाता है $V(k).$ अधिकतर, यदि आधार क्षेत्र सम्मिश्र संख्याएँ C हैं, वे बिंदु जो R-तर्कसंगत हैं (जहां R वास्तविक संख्या है) विविधता के वास्तविक बिंदु कहलाते हैं, और Q-तर्कसंगतबिंदु(Q परिमेय संख्याएँ) अधिकतर परिमेय बिंदु कहलाते हैं।

उदाहरण के लिए, (1, 0) विविधता का Q-तर्कसंगत और R- तर्कसंगत बिंदु $V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},$ क्योंकि यह V में है और इसके सभी निर्देशांक पूर्णांक हैं। बिंदु (√2/2, √2/2) V का वास्तविक बिंदु है जो कि Q-तर्कसंगत नहीं है ,और $(i,{\sqrt {2}})$ V का बिन्दु है जो कि R-तर्कसंगत नहीं है। इस विविधता को वृत्त कहा जाता है, क्योंकि इसका R-तर्कसंगत बिंदुओं का समुच्चय इकाई वृत्त है। इसमें अपरिमित रूप से अनेक Q-तर्कसंगत बिंदु हैं

$\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)$

जहाँ t परिमेय संख्या है।

वृत्त $V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}$ डिग्री दो के बीजगणितीय वक्र का उदाहरण है जिसमें कोई Q-तर्कसंगत बिंदु नहीं है। यह इस तथ्य से निकाला जा सकता है, मॉड्यूलर 4, दो वर्गों का योग 3 नहीं हो सकता है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि Q तर्कसंगत बिंदु के साथ डिग्री दो का बीजगणितीय वक्र के अपरिमित रूप से कई अन्य Q तर्कसंगतबिंदुहोते हैं; ऐसा प्रत्येक बिंदु वक्र का दूसरा प्रतिच्छेदन बिंदु है और परिमेय बिंदु से गुजरने वाली परिमेय ढलान वाली रेखा है।

जटिल विविधता $V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}$ का कोई R-तर्कसंगत बिंदु नहीं हैं, किंतु कई जटिल बिंदु हैं।

यदि V जटिल संख्या C पर परिभाषित C² में सजातीय विविधता हैं V के R-तर्कसंगत बिंदु को कागज के समूह पर या रेखांकन सॉफ्टवेयर द्वारा खींचा जा सकता है। दाईं ओर का आंकड़ा R-तर्कसंगत बिंदु दर्शाता है$V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.$

एकवचन बिंदु और स्पर्शरेखा समिष्ट

मान लीजिए V बहुपदों द्वारा परिभाषित सजातीय विविधता हो $f_1,\dots <!--\; \dots \; -->,f_{}$