सजातीय बीजगणित

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साँप लेम्मा में प्रयुक्त एक आरेख, सजातीय बीजगणित में एक मूल परिणाम।

सजातीय बीजगणित गणित की वह शाखा है जो सामान्य बीजीय सेटिंग में समरूपता का अध्ययन करती है। यह अपेक्षाकृत युवा अनुशासन है, जिसकी उत्पत्ति 19वीं सदी के अंत में मुख्य रूप से हेनरी पोनकारे और डेविड हिल्बर्ट द्वारा सांयोगिक टोपोलॉजी (बीजगणितीय टोपोलॉजी का पूर्ववर्ती) और अमूर्त बीजगणित (मॉड्यूल और सिज़ीजी का सिद्धांत) में परीक्षण से पता लगाया जा सकता है।

सजातीय बीजगणित, सजातीय फ़नकारकों और उनसे जुड़ी सम्मिश्र बीजीय संरचनाओं का अध्ययन है; इसके विकास का श्रेणी सिद्धांत के उद्भव के साथ घनिष्ठ संबंध था। केंद्रीय अवधारणा श्रृंखला परिसरों की है, जिनका अध्ययन उनकी समरूपता और सहसंबद्धता दोनों के माध्यम से किया जा सकता है।

सजातीय बीजगणित इन परिसरों में निहित जानकारी को निकालने और इसे वलयों, मॉड्यूल, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान और अन्य 'मूर्त' गणितीय वस्तुओं के सजातीय अपरिवर्तनीय के रूप में प्रस्तुत करने का साधन प्रदान करता है। ऐसा करने के लिए एक प्रभावशाली उपकरण वर्णक्रमीय अनुक्रम द्वारा प्रदान किया गया है।

इसने बीजीय टोपोलॉजी में बहुत बड़ी भूमिका निभाई है। इसके प्रभाव का धीरे-धीरे विस्तार हुआ है और वर्तमान में इसमें क्रमविनिमेय बीजगणित, बीजगणितीय ज्यामिति, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, प्रतिनिधित्व सिद्धांत, गणितीय भौतिकी, संचालिका बीजगणित, सम्मिश्र विश्लेषण और आंशिक अंतर समीकरणों का सिद्धांत सम्मिलित है। K-सिद्धांत स्वतंत्र अनुशासन है जो सजातीय बीजगणित के विधियों पर आधारित है, जैसा कि एलेन कोन्स की गैर-अनुवांशिक ज्यामिति पर होता है।

इतिहास

सजातीय बीजगणित का अध्ययन 1800 के दशक में टोपोलॉजी की शाखा के रूप में अपने सबसे बुनियादी रूप में किया जाने लगा, लेकिन ऐसा तब तक नहीं हुआ था जब तक 1940 के दशक में यह एक्सट फंक्टर और टोर फंक्टर जैसी अन्य वस्तुओं के अध्ययन के साथ एक स्वतंत्र विषय बन गया था।

श्रृंखला परिसर और समरूपता

Main article: श्रृंखला जटिल

श्रृंखला सम्मिश्रता की धारणा सजातीय बीजगणित में केंद्रीय है। अमूर्त श्रृंखला परिसर एबेलियन समूहों और समूह समरूपताओं का अनुक्रम $(C_{\bullet },d_{\bullet })$ है, इस संपत्ति के साथ कि किन्हीं दो लगातार मानचित्रों की संरचना शून्य है:

$C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.$

C_n के तत्वों को n-श्रृंखला कहा जाता है और समरूपताओं d_n को सीमा मानचित्र या अंतर कहा जाता है। श्रृंखला समूह C_n को अतिरिक्त संरचना से संपन्न किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, वे एक निश्चित वलय r पर सदिश स्पेस या मॉड्यूल हो सकते हैं। यदि उपस्थित है तो अंतर को अतिरिक्त संरचना को संरक्षित करना होगा; उदाहरण के लिए, वे R-मॉड्यूल के रैखिक मानचित्र या समरूपताएँ होनी चाहिए। उल्लेखनीय सुविधा के लिए, एबेलियन समूहों पर ध्यान केंद्रित करें (अधिक सही ढंग से, एबेलियन समूहों की श्रेणी Ab तक); बैरी मिशेल द्वारा प्रसिद्ध प्रमेय का अर्थ है कि परिणाम किसी भी एबेलियन श्रेणी के लिए सामान्यीकृत होंगे। प्रत्येक श्रृंखला परिसर एबेलियन समूहों के दो और अनुक्रमों को परिभाषित करता है, चक्र Z_n = Ker d_n और सीमाएँ B_n = Im d_n+1, जहाँ Ker d औरIm d कर्नेल और d की छवि को दर्शाते हैं। चूँकि दो लगातार सीमा मानचित्रों की संरचना शून्य है, ये समूह दूसरे में अंतर्निहित हैं।

$B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.$

एबेलियन समूहों के उपसमूह स्वतः सामान्य हैं; इसलिए हम n-सीमाओं द्वारा n-चक्रों के कारक समूह के रूप में nवें समरूपता समूह H_n(C) को परिभाषित कर सकते हैं,

$H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}=\operatorname {Ker} \,d_{n}/\operatorname {Im} \,d_{n+1}.$

श्रृंखला परिसर को एसाइक्लिक या यथार्थ अनुक्रम कहा जाता है यदि इसके सभी समरूप समूह शून्य हैं।

अमूर्त बीजगणित और बीजगणितीय टोपोलॉजी में श्रृंखला कॉम्प्लेक्स बहुतायत में उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि X टोपोलॉजिकल स्पेस है तो एकवचन श्रृंखला C_n(X) मानक n-सिंप्लेक्स से X तक निरंतर मानचित्रों के औपचारिक रैखिक संयोजन हैं; यदि K सरल सम्मिश्र है तो श्रृंखला (बीजगणितीय टोपोलॉजी) C_n(K) K के n-सरलताओं के औपचारिक रैखिक संयोजन हैं; यदि A = F/R समूह की प्रस्तुति द्वारा एबेलियन समूह A की प्रस्तुति है, जहां F जनरेटर द्वारा फैलाया गया मुक्त एबेलियन समूह है और R संबंधों का उपसमूह है, तो C₁(A) = R, C₀(A) = F, और C_n(A) = 0 सभी n के लिए 0 एबेलियन समूहों के अनुक्रम को परिभाषित करता है। इन सभी मामलों में, प्राकृतिक अंतर हैं C_n बनाना श्रृंखला परिसर में, जिसकी समरूपता टोपोलॉजिकल स्पेस X, सरल कॉम्प्लेक्स के, या एबेलियन समूह A की संरचना को दर्शाती है। टोपोलॉजिकल स्पेस के मामले में, हम एकवचन समरूपता की धारणा पर पहुंचते हैं, जो परीक्षण में मौलिक भूमिका निभाता है ऐसे स्थानों के गुण, उदाहरण के लिए, कई गुना।

दार्शनिक स्तर पर, सजातीय बीजगणित हमें सिखाता है कि बीजगणितीय या ज्यामितीय वस्तुओं (टोपोलॉजिकल स्पेस, सरल कॉम्प्लेक्स, r-मॉड्यूल) से जुड़े कुछ श्रृंखला परिसरों में उनके बारे में बहुत सारी मूल्यवान बीजगणितीय जानकारी होती है, समरूपता केवल सबसे आसानी से उपलब्ध हिस्सा है . तकनीकी स्तर पर, सजातीय बीजगणित परिसरों में हेरफेर करने और इस जानकारी को निकालने के लिए उपकरण प्रदान करता है। यहां दो सामान्य उदाहरण दिए गए हैं.

• दो वस्तुएँ X और Y उनके बीच मानचित्र f द्वारा जुड़ी हुई हैं। सजातीय बीजगणित, X और Y से जुड़े श्रृंखला परिसरों और उनकी समरूपता के बीच, मानचित्र एफ द्वारा प्रेरित संबंध का अध्ययन करता है। इसे कई वस्तुओं और उन्हें जोड़ने वाले मानचित्रों के मामले में सामान्यीकृत किया जाता है। श्रेणी सिद्धांत की भाषा में वाक्यांशबद्ध, सजातीय बीजगणित श्रृंखला परिसरों के विभिन्न निर्माणों और इन परिसरों की समरूपता के कारक का अध्ययन करता है।
• ऑब्जेक्ट X कई विवरणों को स्वीकार करता है (उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में और सरल कॉम्प्लेक्स के रूप में) या कॉम्प्लेक्स $C_{\bullet }(X)$ X की कुछ 'प्रस्तुति' का उपयोग करके बनाया गया है, जिसमें गैर-विहित विकल्प सम्मिलित हैं। X से जुड़े श्रृंखला परिसरों पर X के विवरण में परिवर्तन के प्रभाव को जानना महत्वपूर्ण है। सामान्यतः, परिसर और इसकी समरूपता $H_{\bullet }(C)$ प्रस्तुतिकरण के संबंध में कार्यात्मक हैं; और समरूपता (हालाँकि स्वयं सम्मिश्र नहीं) वास्तव में चुनी गई प्रस्तुति से स्वतंत्र है, इस प्रकार यह X का अपरिवर्तनीय (गणित) है।

मानक उपकरण

यथार्थ अनुक्रम

Main article: सटीक क्रम

समूह सिद्धांत के संदर्भ में, एक अनुक्रम

$G_{0}\;\xrightarrow {f_{1}} \;G_{1}\;\xrightarrow {f_{2}} \;G_{2}\;\xrightarrow {f_{3}} \;\cdots \;\xrightarrow {f_{n}} \;G_{n}$

समूह (गणित) और समूह समरूपता को यथार्थ कहा जाता है यदि प्रत्येक समरूपता की छवि (गणित) अगले के कर्नेल (बीजगणित) के बराबर है:

$\mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1}).\!$

ध्यान दें कि समूहों और समरूपताओं का क्रम या तो परिमित या अनंत हो सकता है।

कुछ अन्य बीजीय संरचनाओं के लिए भी ऐसी ही परिभाषा बनाई जा सकती है। उदाहरण के लिए, किसी के पास सदिश रिक्त स्थान और रैखिक मानचित्र, या मॉड्यूल (गणित) और मॉड्यूल समरूपता का यथार्थ अनुक्रम हो सकता है। अधिक सामान्यतः यथार्थ अनुक्रम की धारणा कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और कोकर्नेल के साथ किसी भी श्रेणी (गणित) में समझ में आती है।

संक्षिप्त यथार्थ क्रम

यथार्थ अनुक्रम का सबसे सामान्य प्रकार संक्षिप्त यथार्थ अनुक्रम है। यह फॉर्म का यथार्थ क्रम है

$A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C$

जहां˒ समाकृतिकता है और जी अभिरूपी है। इस मामले में, A, B का उप-वस्तु है, और संबंधित भागफल C के लिए एकरूपता है:

$C\cong B/f(A).$ (जहाँ f(A) = im(f)).

एबेलियन समूहों का संक्षिप्त यथार्थ अनुक्रम पांच शब्दों के साथ यथार्थ अनुक्रम के रूप में भी लिखा जा सकता है:

$0\;\xrightarrow {} \;A\;\xrightarrow {f} \;B\;\xrightarrow {g} \;C\;\xrightarrow {} \;0$

जहां 0 प्रारंभिक और टर्मिनल वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करता है, जैसे कि तुच्छ समूह या शून्य-आयामी सदिश स्थान। 0 की शक्तियों का स्थान एकरूपता है और g अभिरूपी है (नीचे देखें)।

लंबा यथार्थ क्रम

एक लंबा यथार्थ अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित यथार्थ अनुक्रम है।

पांच लेम्मा

Main article: पांच लेम्मा

किसी भी एबेलियन श्रेणी (जैसे एबेलियन समूहों की श्रेणी या किसी दिए गए क्षेत्र (बीजगणित) पर सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी) या समूह (गणित) की श्रेणी में निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख पर विचार करें।

पांच लेम्मा में कहा गया है कि, यदि पंक्तियाँ यथार्थ अनुक्रम हैं, m और p समरूपता हैं, l एक अभिरूपी है, और q एक एकरूपता है, तो n भी एक समाकृतिकता है।

सर्प लेम्मा

Main article: सर्प लेम्मा

एबेलियन श्रेणी में (जैसे कि एबेलियन समूहों की श्रेणी या किसी दिए गए क्षेत्र (बीजगणित) पर सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी), एक क्रमविनिमेय आरेख पर विचार करें:

जहाँ पंक्तियाँ यथार्थ अनुक्रम हैं और 0 शून्य वस्तु है।

फिर A, B, और C के कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और कोकर्नेल से संबंधित एक यथार्थ अनुक्रम है:

$\ker <!--\; \; -->a\to <!--\; \to \; -->\ker <!--\; \; -->b\to <!--\; \to \; -->\ker <!--\; \; -->c\stackrel{d}{\to <!--\; \to \; -->}\mathrm{coker}<!--\; \; -->a\to <!--\; \to \; -->\mathrm{co}$