संवेग संचालिका

क्वांटम यांत्रिकी में, संवेग संचालक रैखिक संवेग (भौतिकी) से जुड़ा संचालक (भौतिकी) है। गति संचालक, स्थिति प्रतिनिधित्व में, एक अंतर संचालक का एक उदाहरण है। एक स्थानिक आयाम में एक कण के स्थिति के लिए, परिभाषा है:

$${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$$

जहां ħ प्लैंक का घटा हुआ स्थिरांक है, i काल्पनिक इकाई है, x स्थानिक समन्वय है, और एक आंशिक व्युत्पन्न (d/dx) के बजाय एक कुल व्युत्पन्न ($\partial /\partial x$ द्वारा दर्शाया गया है ) का उपयोग किया जाता हैके स्थान पर चूँकि तरंग फलन भी समय का एक कार्य है। टोपी एक संचालक को इंगित करती है. भिन्न तरंग फलन पर संचालक का अनुप्रयोग इस प्रकार है:

$${\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}$$

हिल्बर्ट स्पेस के आधार पर जिसमें संवेग निरूपण में अभिव्यक्त संवेग आइजिनस्टेट सम्मिलित हैं, संचालक की कार्रवाई बस p से गुणा होती है, यानी यह एक गुणन संचालक है, जैसे स्थिति प्रतिनिधित्व में स्थिति संचालक एक गुणन संचालक है। ध्यान दें कि उपरोक्त परिभाषा विहित गति है, जो एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कणों के लिए गेज-अपरिवर्तनीय नहीं है और मापने योग्य भौतिक मात्रा नहीं है। उस स्थिति में, विहित गति गतिज गति के समान नहीं है।

1920 के दशक में क्वांटम यांत्रिकी विकसित होने के समय, गति संचालकको को कई सैद्धांतिक भौतिकविदों द्वारा पाया गया था, जिनमें नील्स बोह्र, अर्नोल्ड सोमरफेल्ड, इरविन श्रोडिंगर और यूजीन विग्नर सम्मिलित थे। इसके अस्तित्व और स्वरूप को कभी-कभी क्वांटम यांत्रिकी के मूलभूत सिद्धांतों में से एक के रूप में लिया जाता है।

डी ब्रॉगली समतल तरंगों से उत्पत्ति

संवेग और ऊर्जा संचालकों का निर्माण निम्नलिखित तरह से किया जा सकता है।

एक आयाम

एक आयाम में शुरू करते हुए, श्रोडिंगर के एकल मुक्त कण के समीकरण के लिए समतल तरंग समाधान का उपयोग करते हुए,

$$\psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)},$$

जहां p को x- दिशा में गति के रूप में व्याख्या किया जाता है और E कण ऊर्जा है। अंतरिक्ष के संबंध में पहला क्रम आंशिक व्युत्पन्न

$${\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {ip}{\hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}={\frac {ip}{\hbar }}\psi .$$

है। यह संचालक तुल्यता

$${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$$

का सुझाव देता है, इसलिए कण का संवेग और वह मान जो तब मापा जाता है जब कोई कण समतल तरंग अवस्था में होता है, उपरोक्त संचालक का इवोल्यूशन होता है।

चूंकि आंशिक व्युत्पन्न एक रैखिक संचालक है, इसलिए गति संचालक भी रैखिक है, और क्योंकि किसी भी तरंग फलन को अन्य राज्यों के जितना कि सुपरइम्पोज़िशन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जब यह गति संचालक संपूर्ण सुपरइम्पोज़्ड तरंग पर कार्य करता है, तो यह प्रत्येक विमान तरंग घटक के लिए गति आइगेनवैल्यू उत्पन्न करता है। ये नए घटक फिर नई स्थिति बनाने के लिए सुपरइम्पोज़ करते हैं, सामान्य तौर पर पुराने तरंग फलन का एक गुणक नहीं।

तीन आयाम

तीन आयामों में व्युत्पत्ति समान है, सिवाय इसके कि एक आंशिक व्युत्पन्न के बजाय ग्रेडिएंट संचालक डेल का उपयोग किया जाता है। तीन आयामों में, श्रोडिंगर के समीकरण का समतल तरंग समाधान है:

$$\psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}$$

और ढाल

$${\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \psi \end{aligned}}$$

है, जहां e_x, e_y, और e_z तीन स्थानिक आयामों के लिए इकाई वैक्टर हैं,

$$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$$

यह गति संचालक स्थिति स्थान में है क्योंकि आंशिक व्युत्पन्न स्थानिक चर के संबंध में लिया गया था।

परिभाषा (स्थिति स्थान)

See also: स्थिति और गति स्थान

बिना विद्युत आवेश और बिना स्पिन (भौतिकी) वाले एक कण के लिए, संवेग संचालक को स्थिति के आधार पर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$$

जहां ∇ ग्रेडियेंट संचालक है, ħ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है, और i काल्पनिक इकाई है।

एक स्थानिक आयाम में, यह

$${\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.$$

बन जाता है।

यह विहित संवेग की अभिव्यक्ति है। एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कण q के लिए, गेज परिवर्तन के दौरान, स्थिति अंतरिक्ष तरंग फलन एक स्थानीय यू (1) समूह परिवर्तन से गुजरता है, और ${\textstyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$ इसका मूल्य बदल देगा। इसलिए, विहित गति गेज अपरिवर्तनीय नहीं है, और इसलिए मापने योग्य भौतिक मात्रा नहीं है।

गतिज गति, एक गेज अपरिवर्तनीय भौतिक मात्रा, विहित गति, अदिश क्षमता φ और