संवेग मानचित्र

गणित में, विशेष रूप से सिंपलेक्टिक ज्यामिति में, संवेग मानचित्र (या, गलत व्युत्पत्ति विज्ञान द्वारा, संवेग मानचित्र) सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर लाई समूह के हैमिल्टनियन कार्रवाई से जुड़ा उपकरण है, जिसका उपयोग एक्शन के लिए संरक्षित मात्राओं का निर्माण करने के लिए किया जाता है। संवेग मानचित्र रैखिक और कोणीय संवेग की मौलिक धारणाओं को सामान्यीकृत करता है। यह सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड के विभिन्न निर्माणों में आवश्यक घटक है, जिसमें सिंपलेक्टिक (मार्सडेन-वेनस्टीन) भागफल, नीचे चर्चा की गई है, और सिंपलेक्टिक कटस और सिंपलेक्टिक योग सम्मिलित हैं।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि M सहानुभूतिपूर्ण रूप ω वाला मैनिफोल्ड है। इस प्रकार मान लीजिए कि लाई समूह G, M पर सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के माध्यम से कार्य करता है (अर्थात, G में प्रत्येक G की क्रिया ω को संरक्षित करती है)। होने देना ${\mathfrak {g}}$ G का लाई बीजगणित हो, ${\mathfrak {g}}^{*}$ इसका दोहरा स्थान, और

$\langle \,\cdot ,\cdot \rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R}$

दोनों के मध्य जोड़ी. कोई भी ξ में ${\mathfrak {g}}$ M पर सदिश क्षेत्र ρ(ξ) प्रेरित करता है जो ξ की अतिसूक्ष्म क्रिया का वर्णन करता है। त्रुटिहीन होने के लिए, M सदिश में बिंदु x पर $\rho (\xi )_{x}$ है

$\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,$

कहाँ $\exp :{\mathfrak {g}}\to G$ घातीय मानचित्र (लाई सिद्धांत) और है $\cdot$ M पर G -क्रिया को दर्शाता है। होने देना $\iota _{\rho (\xi )}\omega \,$ इस सदिश क्षेत्र के आंतरिक उत्पाद को ω से निरूपित करें। चूँकि G लक्षणात्मकता द्वारा कार्य करता है, यह उसी का अनुसरण करता है $\iota _{\rho (\xi )}\omega \,$ बंद और त्रुटिहीन अंतर रूप है (सभी ξ के लिए)। ${\mathfrak {g}}$).

लगता है कि $\iota _{\rho (\xi )}\omega \,$ न केवल बंद है किंतु त्रुटिहीन भी है, इसलिए $\iota _{\rho (\xi )}\omega =dH_{\xi }$ किसी फलन के लिए $H_{\xi }:M\to \mathbb {R}$. यदि यह बात कायम रहती है, तब कोई इसे चुन सकता है $H_{\xi }$ नक्शा बनाने के लिए $\xi \mapsto H_{\xi }$ रैखिक. (M, ω) पर G-क्रिया के लिए संवेग मानचित्र मानचित्र है $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ ऐसा है कि

$d(\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega$

सभी के लिए ξ में ${\mathfrak {g}}$. यहाँ $\langle \mu ,\xi \rangle$ M से 'R' तक का फलन परिभाषित है $\langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle$. संवेग मानचित्र को एकीकरण के योगात्मक स्थिरांक (प्रत्येक जुड़े घटक पर) तक विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।

एक $G$-एक सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर कार्रवाई $(M,\omega )$ यदि यह सहानुभूतिपूर्ण है और यदि कोई संवेग मानचित्र उपस्तिथ है तब इसे हैमिल्टनियन कहा जाता है।

एक गति मानचित्र की भी अधिकांशतः आवश्यकता होती है $G$-समतुल्य, जहां G कार्य करता है ${\mathfrak {g}}^{*}$ सहसंयुक्त क्रिया के माध्यम से, और कभी-कभी इस आवश्यकता को हैमिल्टनियन समूह क्रिया की परिभाषा में सम्मिलित किया जाता है। यदि समूह सघन या अर्धसरल है, तब संवेग मानचित्र को सहसंयुक्त समतुल्य बनाने के लिए एकीकरण के स्थिरांक को सदैव चुना जा सकता है। चूँकि, सामान्यतः मानचित्र को समतुल्य बनाने के लिए सह-संयुक्त क्रिया को संशोधित किया जाना चाहिए (उदाहरण के लिए यूक्लिडियन समूह के लिए यह मामला है)। यह संशोधन 1-समूह सह-समरूपता द्वारा समूह पर मूल्यों के साथ किया गया है ${\mathfrak {g}}^{*}$, जैसा कि सबसे पहले सौरियाउ (1970) द्वारा वर्णित है।

संवेग मानचित्रों के उदाहरण

सर्कल की हैमिल्टनियन कार्रवाई के स्थितियोंमें $G=U(1)$, लाई बीजगणित द्वैत ${\mathfrak {g}}^{*}$ स्वाभाविक रूप से पहचाना जाता है $\mathbb {R}$, और संवेग मानचित्र केवल हैमिल्टनियन फलन है जो वृत्त क्रिया उत्पन्न करता है।

एक और मौलिक मामला तब घटित होता है जब $M$ का कोटैंजेंट बंडल है $\mathbb {R} ^{3}$ और $G$ घूर्णन और अनुवाद द्वारा उत्पन्न यूक्लिडियन समूह है। वह है, $G$ छह-आयामी समूह है, जिसका अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है $SO(3)$ और $\mathbb {R} ^{3}$. संवेग मानचित्र के छह घटक तीन कोणीय संवेग और तीन रैखिक संवेग हैं।

होने देना $N$ चिकनी अनेक गुना हो और चलो $T^{*}N$ प्रक्षेपण मानचित्र के साथ इसका कोटैंजेंट बंडल बनें $\pi :T^{*}N\rightarrow N$. होने देना $\tau$ टॉटोलॉजिकल एक-रूप को निरूपित करें $T^{*}N$. कल्पना करना $G$ पर कार्य करता है $N$. की प्रेरित कार्रवाई $G$