संयुक्त समष्टि

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, संयुक्त समष्टि टोपोलॉजिकल समष्टि है जिसे दो या दो से अधिक असंयुक्त अरिक्त विवृत उप-समुच्चय के संघ के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। कनेक्टेडनेस मुख्य टोपोलॉजिकल गुण है जिसका उपयोग टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि को पृथक करने के लिए किया जाता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ का उपसमुच्चय संयुक्त समुच्चय है, $X$ के उपसमष्टि के रूप में देखे जाने पर यह संयुक्त समष्टि है।

कुछ संबंधित किन्तु दृढ़ स्थितियाँ पथ से जुड़ी हुई हैं, बस जुड़ी हुई हैं, और $n$-कनेक्टेड हैं। अन्य संबंधित धारणा समष्टिय रूप से जुड़ी हुई है, जिसका न तो अर्थ है और न ही संबद्धता का यह अनुसरण करती है।

औपचारिक परिभाषा

टोपोलॉजिकल समष्टि $X$ को विभक्त करता है यदि दो अरिक्त विवृत समूहों का संयुग्मित है।अन्यथा, $X$ जुड़ा है तब टोपोलॉजिकल समष्टि, उप-समष्टि टोपोलॉजी के अंतर्गत संयुग्मित है। कुछ लेखक रिक्त समूह को जुड़े हुए समष्टि के रूप में बाहर करते हैं, लेकिन यह लेख उस अभ्यास का पालन नहीं करता है।

टोपोलॉजिकल समष्टि $X$ के लिए निम्नलिखित कारण हैं:

1. $X$ संयुग्मित है, इसे दो भिन्न -भिन्न अरिक्त विवृत समूहों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।
2. $X$ उप-समुच्चय विवृत और बंद (क्लोपेन समूह) दोनों प्रकार के होते हैं $X$ रिक्त समूह हैं।
3. रिक्त सीमा में उप-समुच्चय और रिक्त समूह भी $X$ हैं।
4. $X$ को अरिक्त भिन्न समूहों के संघ के रूप में नहीं लिखा जा सकता हैI
5. $X$ से $\{0,1\}$ तक सभी निरंतर कार्य स्थिर हैं, जहां $\{0,1\}$ असतत टोपोलॉजी से संपन्न दो-बिंदु समष्टि है|

ऐतिहासिक रूप से जुड़ाव की धारणा का यह आधुनिक सूत्रीकरण (दो भिन्न -भिन्न समूहों में $X$ के विभाजन के बिना) पहली बार (स्वतंत्र रूप से) 20वीं दशक की शुरुआत में एन. विवरण के लिए देखें |

जुड़े हुए घटक

टोपोलॉजिकल समष्टि $X,$ में कुछ बिंदु $x$ दिए गए हैं, जुड़े हुए उप-समुच्चयों के किसी भी संग्रह का संघ जैसे कि प्रत्येक में $x$ सम्मलित है| $X$ बिंदु में $x$ के जुड़े हुए घटक $X$ सभी उप-समूहों का संघ है जिसमें $x;$ सम्मलित है| सबसे बड़ा अद्वितीय (के संबंध में $\subseteq$) $X$ का उप-समुच्चयों जिसमे $x.$ सम्मिलित है | अरिक्त टोपोलॉजिकल समष्टि के अधिकतम तत्वों को उपसमुच्चय (समावेशी द्वारा आदेशित $\subseteq$) के समष्टि को घटक कहा जाता है। किसी भी टोपोलॉजिकल समष्टि के घटक $X$ का विभाजन भिन्न, अरिक्त और संपूर्ण समष्टि संयुग्मित है। प्रत्येक घटक मूल समष्टि का बंद उप-समुच्चय है। इसी प्रकार, इस स्थिति में संख्या परिमित है, प्रत्येक घटक भी खुला उप-समुच्चय है। चूंकि, यदि संख्या अनंत है, तो यह स्थिति नहीं हो सकती हैI उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं के समुच्चय से जुड़े घटक बिंदु समुच्चय (सिंगलटन ) हैं, जो विवृत नहीं हैं। उपपत्ति: कोई भी दो भिन्न परिमेय संख्याएँ $q_{1}<q_{2}$ विभिन्न घटकों में हैं। अपरिमेय संख्या $q_{1}<r<q_{2},$ लीजिए और फिर $A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}$ तथा $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.$ का $(A,B)$ का वियोग हैI $\mathbb {Q} ,$ तथा $q_{1}\in A,q_{2}\in B$. इस प्रकार प्रत्येक घटक बिंदु समुच्चय है।

मान लीजिए कि $x$ का टोपोलॉजिकल समष्टि $X,$ से जुड़ा हुआ है। क्लोपेन भी समुच्चय का प्रतिच्छेदन है(जिसे $x.$ का अर्ध-घटक कहा जाता है)I अर्थात $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$ में समानता होती है यदि $X$ कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ या समष्टिीय रूप से जुड़ा हुआ है।

पृथक किए गए रिक्त समष्टि

समष्टि जिसमें सभी घटक बिंदु उप-समुच्चय से पूरी तरह विभक्त हो जाते हैं। इस संपत्ति से संबंधित, समष्टि $X$ को पूरी तरह से विभक्त किया जाता है यदि, $x$ और $y$, $X$ के दो भिन्न -भिन्न तत्वों में, भिन्न -भिन्न विवृत समुच्चय में सम्मलित हैं | $U$ ऐसा युक्त है कि जिसमें $x$ , $y$ तथा $V$ का संघ हैI अर्थात $X$, $U$ तथा $V$ का संयुग्मित हैI स्पष्ट रूप से, कोई भी पूर्ण रूप से भिन्न समष्टि से विभक्त हो गया है, लेकिन विभक्त होने का कारण नहीं स्पष्ट है। उदाहरण के लिए परिमेय संख्याओं की दो प्रतियाँ लें $\mathbb {Q}$, और शून्य को छोड़कर सभी बिंदु पर उन्हें पहचानें। परिणामी समष्टि, विभाजित संसमष्टििक के साथ, पूरी तरह से विभक्त हो गया है। चूंकि, शून्य की दो प्रतियों पर विचार करने से, यह प्रदर्शित होता है कि समष्टि पूर्ण रूप से विभक्त नहीं हुआ है। वास्तव में, यह हॉसडॉर्फ समष्टि भी नहीं है, और पूर्ण रूप से विभक्त होने की स्थिति से अधिक शक्तिशाली है।

उदाहरण

• मानक उप-समष्टि टोपोलॉजी यूक्लिडियन समष्टि में $[0,2]$ बंद अंतराल में जुड़ा हुआ है| चूंकि, उदाहरण के लिए, इसे $[0,1]$ तथा $[1,2]$ संघ के रूप में लिखा जा सकता हैI $[0,2]$ चुने हुए दूसरे विवृत समुच्चय टोपोलॉजी में से नहीं है I
• $[0,1]$ तथा $[1,2]$ का संघ विभक्त हो गया है; इसके दोनों मानक टोपोलॉजिकल समष्टि अंतराल विवृत हैं $[0,1)\cup (1,2].$
• $(0,1)\cup \{3\}$ विभक्त किया गया है।
• $\mathbb {R} ^{n}$ का उत्तल उप-समुच्चय जुड़ा हुआहुआ है।
• यूक्लिडियन समष्टि मूल को छोड़कर, $(0,0)$ जुड़ा हुआ है, मूल के बिना त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि जुड़ा हुआ है, इसके विपरीत, मूल के बिना आयामी यूक्लिडियन समष्टि जुड़ा नहीं है।
• सीधी रेखा के कारण यूक्लिडियन समतल जुड़ा नहीं है क्योंकि इसमें दो अर्ध-समतल होते हैं।
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