श्रेणी सहसंबंध

आंकड़ों में, श्रेणी सहसंबंध कई आँकड़ों में से एक है जो क्रमिक संघ को मापता है - विभिन्न क्रमिक आंकड़े चर की श्रेणी या एक ही चर की विभिन्न श्रेणी के बीच संबंध, जहां "श्रेणी" किसी विशेष चर के विभिन्न अवलोकनों के लिए क्रम वर्गीकरण "प्रथम", "दूसरा", "तीसरा" आदि का समनुदेशन है। श्रेणी सहसंबंध गुणांक दो श्रेणी के बीच समानता की घात को मापता है, और इसका उपयोग उनके बीच संबंध के सांख्यिकीय महत्व का आकलन करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, श्रेणी सहसंबंध का उपयोग करने वाले महत्व के दो सामान्य गैर-पैरामीट्रिक तरीके मैन-व्हिटनी यू परीक्षण और विलकॉक्सन हस्ताक्षरित-श्रेणी परीक्षण हैं।

संदर्भ

यदि, उदाहरण के लिए, एक चर कॉलेज बास्केटबॉल कार्यक्रम की पहचान है और दूसरा चर कॉलेज फुटबॉल कार्यक्रम की पहचान है, तो कोई दो प्रकार के कार्यक्रम की पोल श्रेणी के बीच संबंध का परीक्षण कर सकता है: क्या उच्च श्रेणी वाले बास्केटबॉल कार्यक्रम वाले कॉलेज में उच्च श्रेणी वाले फुटबॉल कार्यक्रम होते हैं? एक श्रेणी सहसंबंध गुणांक उस रिश्ते को माप सकता है, और श्रेणी सहसंबंध गुणांक के महत्व का माप यह दिखा सकता है कि क्या मापा गया संबंध एक संयोग होने के लिए काफी छोटा है।

यदि केवल एक ही चर है, एक कॉलेज फुटबॉल कार्यक्रम की पहचान, लेकिन यह दो अलग-अलग पोल श्रेणी (जैसे, एक प्रशिक्षक द्वारा और एक खेल लेखकों द्वारा) के अधीन है, तो दो अलग-अलग पोल की श्रेणी की समानता को श्रेणी सहसंबंध गुणांक के साथ मापा जा सकता है।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, कम आय, मध्यम आय, और पंक्ति चर में उच्च आय और शैक्षिक स्तर के साथ एक आसंग सारणी में - कॉलम चर में कोई हाई स्कूल, हाई स्कूल, विश्वविद्यालय नहीं),^[1] श्रेणी सहसंबंध आय और शैक्षिक स्तर के बीच संबंध को मापता है।

सहसंबंध गुणांक

कुछ अधिक प्रचलित श्रेणी सहसंबंध आँकड़े सम्मिलित हैं

स्पीयरमैन का श्रेणी सहसंबंध गुणांक
केंडल का ताउ श्रेणी सहसंबंध गुणांक
गुडमैन और क्रुस्कल का गामा
सोमर्स डी

बढ़ते श्रेणी सहसंबंध गुणांक का तात्पर्य श्रेणी के बीच बढ़ते समझौते से है। गुणांक अंतराल [−1, 1] के अंदर है और मान मानता है:

1 यदि दोनों श्रेणी के बीच समझौता सही है; दोनों श्रेणी समान हैं।
0 यदि श्रेणी पूरी तरह से स्वतंत्र है।
−1 यदि दो श्रेणी के बीच असहमति सही है; एक श्रेणी दूसरे से उलट है।

अगले डायकोनिस (1988), श्रेणी को वस्तुओं के एक सम्मुच्चय (गणित) के क्रमपरिवर्तन के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार हम प्रेक्षित श्रेणी को उस आंकड़े के रूप में देख सकते हैं जब प्रतिरूप स्थान एक सममित समूह (के साथ पहचाना जाता है) प्राप्त होता है। फिर हम एक आव्यूह (गणित) का परिचय दे सकते हैं, जिससे सममित समूह को एक मीट्रिक स्थान में बदल दिया जा सकता है। अलग-अलग आव्यूह अलग-अलग श्रेणी सहसंबंधों के अनुरूप होंगे।

सामान्य सहसंबंध गुणांक

केंडल 1970 ^[2] दिखाया कि उसका $\tau$ (तउ) और स्पीयरमैन का $\rho$ (आरएचओ) सामान्य सहसंबंध गुणांक की विशेष स्तिथि हैं।

मान लीजिए हमारे पास एक सम्मुच्चय $n$ है जिन वस्तुओं पर दो गुणों के संबंध में विचार किया जा रहा है, उनका प्रतिनिधित्व $x$ और $y$ द्वारा किया जाता है, जो $\{x_{i}\}_{i\leq n}$ और $\{y_{i}\}_{i\leq n}$ मूल्यों के सम्मुच्चय का निर्माण करता है। वैयक्तिक व्यक्तियों के किसी भी जोड़े को, मान लें कि i-वें और j-वें को हम एक x-स्कोर निर्दिष्ट करते हैं, जिसे $a_{ij}$ द्वारा दर्शाया जाता है, और एक y-स्कोर, जिसे $b_{ij}$ द्वारा दर्शाया जाता है। इन कार्यों के लिए एकमात्र आवश्यकता यह है कि वे सममित-विरोधी हों, इसलिए $a_{ij}=-a_{ji}$ और $b_{ij}=-b_{ji}$ है (ध्यान दें कि विशेष रूप से $a_{ij}=b_{ij}=0$ अगर $i=j$ ।) फिर सामान्यीकृत सहसंबंध गुणांक $\Gamma$ परिभाषित किया जाता है

\Gamma ={\frac {\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}^{2}\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}^{2}}}}

समान रूप से, यदि सभी गुणांक आव्यूह $A=(a_{ij})$ और $B=(b_{ij})$ , साथ $A^{\textsf {T}}=-A$ और $B^{\textsf {T}}=-B$ में एकत्र किए जाते हैं, तब

\Gamma ={\frac {\langle A,B\rangle _{\rm {F}}}{\|A\|_{\rm {F}}\|B\|_{\rm {F}}}}

जहाँ $\langle A,B\rangle _{\rm {F}}$ फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद है और $\|A\|_{\rm {F}}={\sqrt {\langle A,A\rangle _{\rm {F}}}}$ फ्रोबेनियस मानदंड है। विशेष रूप से, सामान्य सहसंबंध गुणांक आव्यूह $A$ और $B$ के बीच के कोण की कोज्या है।