वोटर मॉडल

संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत में, वोटर मॉडल एक प्रकार का अंतःक्रियात्मक कण प्रणाली है। और यह प्रणाली 1975 में रिचर्ड ए. होली और थॉमस एम. लिगेट द्वारा प्रांरम्भ की गई थीl

आप यह कल्पना कर सकता है कि कनेक्टेड ग्राफ़ पर प्रत्येक बिंदु पर ''वोटर'' है, जहां कनेक्शन इंगित करते हैं कि वोटर की एक जोड़ी (नोड्स) के बीच किसी प्रकार की अन्तःक्रिया होती है। किसी मुद्दे पर किसी भी वोटर की राय उसके निकटवर्ती की राय के प्रभाव में यादृच्छिक समय पर बदल जाती है। किसी भी समय एक वोटर की राय 0 और 1 लेबल वाले दो मानों में से एक ले सकती है। यादृच्छिक समय पर, एक यादृच्छिक व्यक्ति का चयन किया जाता है और उस वोटर की राय को स्टोकेस्टिक नियम के अनुसार बदल दिया जाता है। विशेष रूप से, चुने गए वोटर के निकटवर्ती में से एक को संभावनाओं के दिए गए सेट के अनुसार चुना जाता है और उस निकटवर्ती की राय चुने हुए वोटर को अंतरित कर दी जाती है।

एक वैकल्पिक व्याख्या स्थानिक संघर्ष के संदर्भ में है। मान लीजिए कि दो राष्ट्र 0 या 1 लेबल वाले क्षेत्रों (नोड्स के सेट) को नियंत्रित करते हैं। किसी दिए गए स्थान पर 0 से 1 तक का फ्लिप दूसरे राष्ट्र द्वारा उस साइट पर आक्रमण का संकेत देता है।

ध्यान दें कि हर बार केवल एक फ्लिप होता है। वोटर मॉडल से जुड़ी समस्याओं को प्रायः दोहरी प्रणाली के संदर्भ में पुनर्गठित किया जाएगा एकजुट होने का मार्कोव चेन है। प्रायः ये समस्याएं स्वतंत्र मार्कोव श्रृंखलाओं से जुड़ी अन्य समस्याओं तक कम हो जाती हैl

परिभाषा

वोटर मॉडल एक (निरंतर समय) मार्कोव प्रक्रिया है $\eta _{t}$ राज्य स्थान के साथ $S=\{0,1\}^{Z^{d}}$ और संक्रमण दरें कार्य करती हैं $c(x,\eta )$, जहाँ $Z^{d}$ एक डी-आयामी पूर्णांक जाली है, और $c($•,•$)$ के एक फलन के रूप में गैर-ऋणात्मक, समान रूप से परिबद्ध और सतत माना जाता है $\eta$ उत्पाद टोपोलॉजी में $S$. प्रत्येक घटक $\eta \in S$ कॉन्फ़िगरेशन कहा जाता हैl यह स्पष्ट करने के लिए कि $\eta (x)$ कॉन्फ़िगरेशन में साइट x का मान दर्शाता है $\eta (.)$; जबकि $\eta _{t}(x)$ इसका तात्पर्य है कॉन्फ़िगरेशन में साइट x का मान है $\eta (.)$ समय पर $t$.

प्रक्रिया की गतिशीलता संक्रमण दरों के संग्रह द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। वोटर मॉडल के लिए, जिस दर पर परिवर्तन होता है $\scriptstyle x$ 0 से 1 तक या इसके विपरीत एक फलन $c(x,\eta )$ साइट के $x$ द्वारा दिया जाता हैl इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

1. $c(x,\eta )=0$ प्रत्येक के लिए $x\in Z^{d}$ अगर $\eta \equiv 0$ या अगर $\eta \equiv 1$
2. $c(x,\eta )=c(x,\zeta )$ प्रत्येक के लिए $x\in Z^{d}$ अगर $\eta (y)+\zeta (y)=1$ सभी के लिए $y\in Z^{d}$
3. $c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )$ अगर $\eta \leq \zeta$ और $\eta (x)=\zeta (x)=0$
4. $c(x,\eta )$ में बदलाव के तहत अपरिवर्तनीय है $\scriptstyle Z^{d}$

गुण (1) ऐसा कहती है $\eta \equiv 0$ और $\eta \equiv 1$ विकास के लिए निश्चित बिंदु हैं। (2) इंगित करता है कि 0 और 1 की भूमिकाओं को बदलने से विकास अपरिवर्तित है। गुण (3), में $\eta \leq \zeta$ तात्पर्य है $\forall x,\eta (x)\leq \zeta (x)$, और $\eta \leq \zeta$ तात्पर्य $c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )$ अगर $\eta (x)=\zeta (x)=0$, और इसका तात्पर्य है $c(x,\eta )\geq c(x,\zeta )$ अगर $\eta (x)=\zeta (x)=1$.

क्लस्टरिंग और सह-अस्तित्व

क्लस्टरिंग और सह-अस्तित्व, रुचि मॉडलों के सीमित व्यवहार में हैl चूँकि किसी साइट की फ्लिप दरें उसके निकटवर्ती पर निर्भर करती हैं, इसलिए यह स्पष्ट है कि जब सभी साइट समान मूल्य लेती हैं, तो पूरी प्रणाली सदैव के लिए बदलना बंद कर देती है। इसलिए, एक वोटर मॉडल में दो साधारण चरम स्थिर वितरण होते हैं, बिंदु-द्रव्यमान