वैन कम्पेन आरेख

ज्यामितीय समूह सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, एक वान कम्पेन आरेख (कभी-कभी इसे लिंडन-वान कम्पेन आरेख भी कहा जाता है) ) एक समतल आरेख है जो इस तथ्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि समूह प्रस्तुति द्वारा दिए गए समूह जेनरेटर में एक विशेष शब्द उस समूह में पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है।

इतिहास

1933 में एगबर्ट वैन कम्पेन द्वारा वैन कम्पेन आरेख की धारणा प्रस्तुत की गई थी। यह पेपर अमेरिकन जर्नल ऑफ मैथमेटिक्स के उसी अंक में वैन कम्पेन के एक अन्य पेपर के रूप में दिखाई दिया, जहां उन्होंने सिद्ध किया कि अब सीफर्ट-वैन कैम्पेन प्रमेय के रूप में जाना जाता है। वान कम्पेन आरेखों पर पेपर का मुख्य परिणाम, जिसे अब वैन कम्पेन लेम्मा के रूप में जाना जाता है, को सेफ़र्ट-वैन कैम्पेन प्रमेय से बाद में एक समूह के प्रस्तुति परिसर में प्रयुक्त करके प्राप्त किया जा सकता है। चूंकि , वैन कम्पेन ने उस समय इस पर ध्यान नहीं दिया और यह तथ्य केवल बहुत बाद में स्पष्ट किया गया (देखें, उदा।). 1960 के दशक में छोटे रद्दीकरण सिद्धांत के आगमन तक वैन कम्पेन आरेख समूह सिद्धांत में लगभग तीस वर्षों तक एक कम उपयोग किया जाने वाला उपकरण बना रहा, जहाँ वैन कम्पेन आरेख एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। वर्तमान में वैन कम्पेन आरेख ज्यामितीय समूह सिद्धांत में एक मानक उपकरण हैं। उनका उपयोग, विशेष रूप से, समूहों में आइसोपेरिमेट्रिक कार्यों के अध्ययन के लिए किया जाता है, और उनके विभिन्न सामान्यीकरण जैसे कि आइसोडायमेट्रिक कार्य, भरने वाले लंबाई कार्यों और इसी तरह है।

औपचारिक परिभाषा

नीचे दी गई परिभाषाएँ और संकेतन काफी हद तक लिंडन और शूप का अनुसरण करते हैं।

माना

$G=\langle A|R\,\rangle$(†)

एक समूह प्रस्तुति हो जहां सभी r∈R मुक्त समूह F(A) में चक्रीय रूप से कम किए गए शब्द हैं। वर्णमाला A और परिभाषित संबंधों के समुच्चय को अधिकांशतः परिमित माना जाता है, जो एक परिमित समूह प्रस्तुति से मेल खाता है, किन्तु वैन कम्पेन आरेख की सामान्य परिभाषा के लिए यह धारणा आवश्यक नहीं है। R∗ R का सममित समापन होना है, अर्थात R को छोड़ दें_∗ R के तत्वों और उनके व्युत्क्रमों के सभी चक्रीय क्रमपरिवर्तनों को जोड़कर R से प्राप्त किया जा सकता है।

प्रस्तुति पर एक वैन कम्पेन आरेख (†) एक प्लानर परिमित कोशिका परिसर है ${\mathcal {D}}\,$, एक विशिष्ट एम्बेडिंग के साथ दिया गया है ${\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$ निम्नलिखित अतिरिक्त डेटा के साथ और निम्नलिखित अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करना:

1. जटिल ${\mathcal {D}}\,$ जुड़ा हुआ है और बस जुड़ा हुआ है।
2. ${\mathcal {D}}\,$ के प्रत्येक किनारे (एक-कोशिका) को एक तीर और अक्षर a∈A द्वारा नाम किया गया है।
3. कुछ शीर्ष (शून्य-कोशिका) जो ${\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$की स्थलाकृतिक सीमा से संबंधित है बेस-वर्टेक्स के रूप में निर्दिष्ट किया गया है।
4. ${\mathcal {D}}$ के प्रत्येक क्षेत्र (दो-कक्ष) के लिए, उस क्षेत्र के सीमा चक्र पर प्रत्येक शीर्ष के लिए, और दिशा के दो विकल्पों में से प्रत्येक के लिए (दक्षिणावर्त या वामावर्त), क्षेत्र के सीमा चक्र का नाम उस शीर्ष से पढ़ें और उस दिशा में F(A) में एक स्वतंत्र रूप से घटाया गया शब्द है जो R∗ से संबंधित है।

इस प्रकार ${\mathcal {D}}\,$ का 1-कंकाल एक परिमित जुड़ा हुआ समतलीय ग्राफ $\mathbb {R} ^{2}\,$ में सन्निहित है और ${\mathcal {D}}\,$ की दो-कोशिकाएँ हैं इस ग्राफ के लिए निश्चित रूप से परिबद्ध पूरक क्षेत्र हैं।।

R∗ स्थिति 4 की पसंद से यह आवश्यक है कि ${\mathcal {D}}\,$ के प्रत्येक क्षेत्र के लिए उस क्षेत्र का कुछ सीमा शीर्ष है और दिशा का कुछ विकल्प (घड़ी की दिशा में या विपरीत दिशा में) ऐसा है कि सीमा लेबल क्षेत्र उस शीर्ष से पढ़ा जाता है और उस दिशा में स्वतंत्र रूप से घटाया जाता है और R से संबंधित होता है।

एक वैन कम्पेन आरेख ${\mathcal {D}}\,$ सीमा चक्र भी दर्शाया गया है $\partial {\mathcal {D}}\,$, जो ग्राफ में एक किनारे-पथ है Γ चारों ओर जाने के लिए संगत है ${\mathcal {D}}\,$ Γ के असीमित पूरक क्षेत्र की सीमा के साथ दक्षिणावर्त दिशा में एक बार, ${\mathcal {D}}\,$ के आधार-शीर्ष पर प्रारंभ और समाप्त होता है. उस सीमा चक्र का लेबल अक्षर A ∪ A⁻¹ में एक शब्द w है (जो आवश्यक रूप से स्वतंत्र रूप से कम नहीं किया गया है) जिसे ${\mathcal {D}}\,$ की सीमा लेबल कहा जाता है .

आगे की शब्दावली

• एक वैन कम्पेन आरेख ${\mathcal {D}}\,$को डिस्क आरेख कहा जाता है यदि ${\mathcal {D}}\,$ एक सामयिक डिस्क है, जिससे जब ${\mathcal {D}}\,$का प्रत्येक किनारा ${\mathcal {D}}\,$ के किसी क्षेत्र की सीमा किनारा होता है और जब ${\mathcal {D}}\,$में कोई कटा हुआ शीर्ष नहीं है।
• एक वैन कम्पेन आरेख ${\mathcal {D}}\,$ गैर-कम किया हुआ कहा जाता है यदि ${\mathcal {D}}\,$ में कमी जोड़ी उपस्थित है जो कि ${\mathcal {D}}\,$वह अलग-अलग क्षेत्रों की एक जोड़ी है जैसे कि उनके सीमा चक्र एक सामान्य किनारे को साझा करते हैं और इस तरह कि उनके सीमा चक्र, उस किनारे से प्रारंभ होकर पढ़ते हैं, एक क्षेत्र के लिए घड़ी की दिशा में और दूसरे के लिए विपरीत दिशा में, A ∪ A⁻¹ में शब्दों के बराबर हैं. यदि क्षेत्र का ऐसा कोई युग्म उपस्थित नहीं है, ${\mathcal {D}}\,$ को अपचयित कहा जाता है।
• ${\mathcal {D}}\,$ के क्षेत्रों (दो-कोशिकाएँ) की संख्या को ${\mathcal {D}}\,$ चिह्नित क्षेत्र का ${\rm {Area}}({\mathcal {D}})\,$ क्षेत्र कहा जाता है.

सामान्यतः , एक वैन कम्पेन आरेख में कैक्टस जैसी संरचना होती है, जहां एक या अधिक डिस्क-घटक (संभवतः पतित) चाप से जुड़ते हैं, नीचे चित्र देखें:

उदाहरण

निम्नलिखित आंकड़ा पद दो के मुक्त एबेलियन समूह के लिए वैन कम्पेन आरेख का एक उदाहरण दिखाता है

$G=\langle a,b|aba^{-1}b^{-1}\rangle .$

इस आरेख का सीमा लेबल शब्द है

$w=b^{-1}b^{3}a^{-1}b^{-2}ab^{-1}ba^{-1}ab^{-1}ba^{-1}a.$

इस आरेख का क्षेत्रफल 8 के बराबर है।

वैन कम्पेन लेम्मा

सिद्धांत में एक प्रमुख मूल परिणाम तथाकथित वान कम्पेन लेम्मा है जो निम्नलिखित बताता है:

1. मान लीजिए ${\mathcal {D}}\,$ प्रस्तुतीकरण (†) पर सीमा लेबल w के साथ एक वैन कम्पेन आरेख बनें जो वर्णमाला A ∪ A⁻¹ में एक शब्द है (आवश्यक रूप से मुक्त रूप से कम नहीं किया गया है). फिर w=1 G में है।
2. मान लीजिए w अक्षर A ∪ A⁻¹ में स्वतंत्र रूप से घटाया गया शब्द है ऐसा है कि w=1 G में है। फिर प्रस्तुतीकरण (†) पर एक घटा हुआ वैन कम्पेन आरेख ${\mathcal {D}}\,$ उपस्थित है, जिसकी सीमा लेबल स्वतंत्र रूप से कम हो गई है और डब्ल्यू के बराबर है।

प्रमाण का रेखाचित्र

पहले ध्यान दें कि एक तत्व w ∈ F(A) के लिए हमारे पास G में w = 1 है यदि और केवल यदि w F(A) में R के सामान्य संवरण (समूह सिद्धांत) से संबंधित है, यदि और केवल यदि w को इस रूप में दर्शाया जा सकता है

$w=u_{1}s_{1}u_{1}^{-1}\cdots u_{n}s_{n}u_{n}^{-1}{\text{ in }}F(A),$(♠)

जहाँ n ≥ 0 और जहाँ s_i ∈ R_∗ = 1, ..., n के लिए।

वैन कम्पेन के लेम्मा का भाग 1${\mathcal {D}}\,$ के क्षेत्र पर प्रेरण द्वारा सिद्ध किया गया है . आगमनात्मक कदम में सीमा w के साथ एक वैन कम्पेन आरेख ${\mathcal {D}}\,$ प्राप्त करने के लिए ${\mathcal {D}}'\,$ के सीमा क्षेत्रों में से एक को "छीलने" में सम्मिलित है और यह देखते हुए कि F(A) में हमारे पास है

$w=usu^{-1}w',\,$

जहां s∈R_∗ क्षेत्र का सीमा चक्र है जिसे ${\mathcal {D}}'\,$ से ${\mathcal {D}}\,$