वीक़ ऑर्डरिंग

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Partial order ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Total order ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Well-ordering ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Lattice ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ Join-semilattice ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY Strict total order ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
File:Green check.svgY indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

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समुच्चय पर कमज़ोर ऑर्डर $\{a,b,c,d\}$ कहाँ $a$ नीचे रैंक किया गया है $b$ और $c,b$ और $c$ समान रैंक के हैं, और $d$ ऊपर समष्टि दिया गया है $b$ और $c$
I) एक स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर के रूप में प्रतिनिधित्व $\,<\,$ कहाँ $x<y$ से एक तीर के रूप में दिखाया गया है $x$ को $y$;
II) कुल प्रीऑर्डर के रूप में प्रतिनिधित्व $\,\leq ,$ तीरों का उपयोग करके दिखाया गया;
III) एक क्रमबद्ध विभाजन के रूप में प्रतिनिधित्व, विभाजन के समुच्चय को बिंदीदार दीर्घवृत्त के रूप में और इन समुच्चयों पर कुल ऑर्डरिंग को तीरों के साथ दिखाया गया है।

तीन तत्वों के समुच्चय पर 13 संभावित स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर $\{a,b,c\}.$ केवल कुल ऑर्डर काले रंग में दिखाए गए हैं। यदि दो ऑर्डरिंग एक ही द्वंद्व द्वारा भिन्न होते हैं तो वे एक किनारे से जुड़े होते हैं।

गणित में, विशेष रूप से ऑर्डर सिद्धांत में, एक वीक़ ऑर्डरिंग एक समुच्चय (गणित) की रैंकिंग की सहज धारणा का गणितीय औपचारिकीकरण है, जिसके कुछ सदस्य एक दूसरे के साथ टाई (ड्रा) हो सकते हैं। वीक़ ऑर्डर पूरे प्रकार से ऑर्डर किए गए समुच्चय (संबंधों के बिना रैंकिंग) का सामान्यीकरण है और बदले में पार्शियल रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय और पूर्व ऑर्डर द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है।

वीक़ ऑर्डर्स को औपचारिक बनाने की कई सामान्य विधि हैं, जो क्रिप्टोमोर्फिज्म (जानकारी की हानि के बिना अंतर-परिवर्तनीय) के अतिरिक्त एक-दूसरे से भिन्न हैं: उन्हें स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर्स के रूप में स्वयंसिद्ध किया जा सकता है (स्ट्रिक्टी से पार्शियल रूप से ऑर्डरित समुच्चय जिसमें अतुलनीयता एक सकर्मक संबंध है), जैसे कुल प्रीऑर्डर (सकर्मक द्विआधारी संबंध जिसमें तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के बीच दो संभावित संबंधों में से कम से कम एक उपस्तिथ होता है), या क्रमित विभाजन के रूप में (तत्वों के एक समुच्चय को असंयुक्त उपसमुच्चय में विभाजित करना, उपसमुच्चय पर कुल ऑर्डरिंग के साथ) तथा कई स्थितियों में यह भी संभव है की एक अन्य प्रतिनिधित्व जिसे उपयोगिता फ़ंक्शन के आधार पर अधिमान्य ऑर्डरिंग कहा जाता है।

वीक़ ऑर्डरों की गणना ऑर्डर किए गए बेल नंबरों द्वारा की जाती है। इनका उपयोग कंप्यूटर विज्ञान में विभाजन शोधन कलन विधि के भाग के रूप में और C++ मानक लाइब्रेरी में किया जाता है।

उदाहरण

घुड़दौड़ में, फोटो फ़िनिश के उपयोग ने कुछ, लेकिन सभी को नहीं, बंधनों या (जैसा कि उन्हें इस संदर्भ में कहा जाता है) मृत गर्मी को समाप्त कर दिया है, इसलिए घुड़दौड़ का परिणाम वीक़ ऑर्डरिंग के आधार पर तैयार किया जा सकता है। 2007 में मैरीलैंड हंट कप स्टीपलचेज़ के एक उदाहरण में, ब्रूस स्पष्ट विजेता था, लेकिन दो घोड़े बग रिवर और लियर चार्म दूसरे समष्टि पर रहे, जबकि शेष घोड़े पीछे थे; तीन घोड़े ख़त्म नहीं हुए है। इस परिणाम का वर्णन करने वाले वीक़ ऑर्डरिंग में, द ब्रूस पहले समष्टि पर होगा, बग रिवर और लियर चार्म को ब्रूस के पश्चात समष्टि दिया जाएगा, लेकिन समाप्त होने वाले अन्य सभी घोड़ों से पहले, और जो तीन घोड़े समाप्त नहीं हुए, उन्हें ऑर्डरिंग में अंतिम समष�