विमीय विश्लेषण

अभियांत्रिकी और विज्ञान में, विमीय विश्लेषण विभिन्न भौतिक राशियों के बीच उनके आधार राशियों और माप की इकाइयों का विश्लेषण करता है। जैसे लंबाई, द्रव्यमान, समय और विद्युत प्रवाह माप की इकाइयों जैसे मील बनाम किलोमीटर, या पाउंड बनाम किलोग्राम होता है। और गणना या तुलना के रूप में इस विमा का अनुसरण करता है। और सभी इकाइयों में नियमित 10-आधार होने के कारण, मीट्रिक प्रणाली या इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली के अंदर इकाइयों को एक विमीय से दूसरी इकाइयों में रूपांतरण करना प्राय:आसान होता है।

आनुपातिक भौतिक राशियाँ एक प्रकार की होती हैं और उनका एक ही विमीय होता है, इनकी तुलना सीधे-सीधे एक-दूसरे से की जा सकती है, चाहे ये माप की विभिन्न इकाइयों में व्यक्त की गई हों। उदाहरण गज, मीटर, पाउंड (द्रव्यमान) को किलोग्राम, सेकंड को वर्ष के रूप में व्यक्त करते है। अतुलनीय भौतिक राशियाँ विभिन्न प्रकार की होती हैं और उनके अलग-अलग विमीय होते हैं, और सीधे एक दूसरे से तुलना नहीं की जा सकती, चाहे वे किसी भी इकाई में व्यक्त की गई हों, उदाहरण, मीटर और किलोग्राम, सेकंड और किलोग्राम, मीटर और सेकंड। उदाहरण के लिए, यह पूछना कि क्या एक किलोग्राम एक घंटे से बड़ा है, अर्थहीन है।

किसी भी भौतिक रूप से अर्थपूर्ण समीकरण, या असमानता के बाएँ और दाएँ पक्ष में समान विमीय होने चाहिए, इस गुण को विमीय समरूपता के रूप में जाना जाता है। विमीय समरूपता की जाँच विमीय विश्लेषण का सामान्य अनुप्रयोग होता है, जो व्युत्पन्न समीकरणों और संगणनाओं पर व्यवहार्यता जाँच के रूप में कार्य करता है। जो अधिक कठोर व्युत्पत्ति के अभाव में यह एक मार्गदर्शक तथा समीकरणों को प्राप्त करने में बाधक है।

1822 में जोसेफ फूरियर द्वारा भौतिक विमीय और विमीय विश्लेषण की अवधारणा पेश की गई थी।

सूत्रीकरण

"विमीय (भौतिकी)" redirects here. For भौतिक विमीय, see आकार.

बकिंघम π प्रमेय वर्णन करता है कि किस प्रकार n चर वाले भौतिक रूप से अर्थपूर्ण समीकरण को एक समीकरण के रूप में समान रूप से फिर से लिखा जा सकता है। n − m विमीय रहित मापदण्ड, जहां m विमीय मैट्रिक्स का रैंक है। इसके अतिरिक्त, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि दिए गए चरों से इन विमीय रहित मापदण्डों की गणना करने के लिए एक विधि का उपयोग करता है।

एक विमीय समीकरण में विमीय को कम या समाप्त किया जा सकता है, जो विमीय विश्लेषण से शुरू होता है, और इस प्रणाली की विशिष्ट इकाइयों या प्राकृतिक इकाइयों द्वारा प्रवर्धन राशियाँ सम्मिलित की जाती है। यह प्रणाली में उपास्थित मौलिक गुणों की जानकारी दे सकता है, जैसा कि नीचे उदाहरण में दिखाया गया है।  

भौतिक राशियो के विमीय को आधार भौतिक के विमा जैसे लंबाई, द्रव्यमान और समय के परिणाम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, प्रत्येक को एक पूर्णांक और कभी-कभी तर्क संगत संख्या शक्ति तक बढ़ाया जाता है। भौतिक मात्रा का विमीय उस भौतिक राशियों को व्यक्त करने के लिए उपयोग किए जाने वाले माप के कुछ पैमाने या इकाइयों की तुलना में अधिक मौलिक है। उदाहरण के लिए, द्रव्यमान एक विमीय है, जबकि किलोग्राम द्रव्यमान की मात्रा को व्यक्त करने के लिए चुनी गई एक विशेष संदर्भ मात्रा है। इकाई का विकल्प यादृच्छिक है, और इसका विकल्प मुख्यता ऐतिहासिक विकल्पों पर आधारित होता है। प्राकृतिक इकाइयां, केवल सार्वभौमिक नियतांकों पर आधारित होने वाली प्राकृतिक इकाइयों को कम स्वेच्छाचारी माना जा सकता है।

आधार भौतिक विमा के कई संभावित विकल्प हैं। इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली निम्नलिखित विमा और संबंधित प्रतीकों का चयन करती है, समय (T), लंबाई (L), द्रव्यमान (M), विद्युत प्रवाह (I), पूर्ण तापमान (Θ), पदार्थ की मात्रा (N) और दीप्त तीव्रता (J)। और इनके प्रतीकों को अधिकांशता रोमन सैन्स सेरिफ़ टाइपफेस में लिखा जाता है। गणितीय रूप से, विमीय राशि Q द्वारा दी गई है  

$\operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}^{a}{\mathsf {L}}^{b}{\mathsf {M}}^{c}{\mathsf {I}}^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}$

जहाँ a, b, c, d, e, f, g विमीय घातांक हैं। अन्य भौतिक राशियों को आधार मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जब तक कि वे एक रैखिक रूप से स्वतंत्र आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं, उदाहरण के लिए, कोई एसआई आधार के विद्युत प्रवाह के विमीय (I) को एक विमीय (क्यू) के साथ बदल सकता है। आवेश, चूंकि Q = TI.

उदाहरण के तौर पर, भौतिक मात्रा गति v का विमीय है

$\operatorname {dim} v={\frac {\text{length}}{\text{time}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}$

तथा भौतिक राशियाँ बल (भौतिकी) F के विमीय है।

$\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}$

भौतिक मात्रा और उसके विमीय को व्यक्त करने के लिए चुनी गई इकाई संबंधित हैं, लेकिन समान अवधारणाएं नहीं हैं। एक भौतिक मात्रा की इकाइयाँ रूपांतरण द्वारा परिभाषित की जाती हैं और कुछ मानक से संबंधित होती हैं, उदाहरण के लिए, लंबाई में मीटर, फीट, इंच, मील या माइक्रोमीटर की इकाइयाँ हो सकती हैं, लेकिन किसी भी लंबाई में सदैव एल का विमीय होता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि लंबाई की इकाइयों को इसे व्यक्त करने के लिए चुना जाता है। एक ही भौतिक मात्रा की दो अलग-अलग इकाइयों में उन इकाइयों का रूपांतरण होता है जो उनसे संबंधित होती हैं। उदाहरण के लिए, इस सन्दर्भ में 2.54 सेमी/इंच रूपांतरण कारक है, जो स्वयं विमीयहीन होते है। इसलिए, उस रूपांतरण खंड से गुणा करने से भौतिक राशियों के विमीय नहीं बदलते हैं।

ऐसे भौतिक विज्ञानी, जिन्होंने भौतिक राशि के असंगत मौलिक विमा के अस्तित्व पर ही संदेह व्यक्त किया, चूँकि, यह विमीय विश्लेषण की उपयोगिता को अमान्य नहीं करता है।

रेलेय (Rayleigh's) की विधि

विमीय विश्लेषण में, रेलेय की विधि भौतिकी, रसायन विज्ञान और अभियान्त्रिकी में उपयोग किया जाने वाला एक वैचारिक उपकरण है। यह एक घातीय समीकरण के रूप में कुछ चर (गणित) के कार्यात्मक संबंध को व्यक्त करता है। इसका नाम लॉर्ड रेलेय के नाम पर रखा गया था।

विधि में निम्नलिखित चरण सम्मिलित हैं।

1. उन सभी स्वतंत्र चरो को एकत्रित करते है और जो आश्रित चर को प्रभावित कर सकते हैं।
2. यदि R एक चर है जो स्वतंत्र चर R पर निर्भर करते है। R₁, R₂, R₃, ..., R_n, तो कार्यात्मक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है R = F(R₁, R₂, R₃, ..., R_n).
3. उपरोक्त समीकरण के रूप में लिखते है R = C R₁^a R₂^b R₃^c ... R_n^m, जहाँ C एक विमाहीन नियतांक है और a, b, c, ..., m स्वेच्छ घातांक हैं।
4. समीकरण में प्रत्येक राशि को किसी आधार इकाई (माप) में व्यक्त करते है जिसमें समाधान की आवश्यकता होती है।
5. विमीय विश्लेषण का उपयोग करके विमीय समरूपता, समीकरणों का एक साथ समुच्चय (गणित) प्राप्त करते है जिसमें घातांक a, b, c, ..., m सम्मिलित हैं।
6. घातांक a, b, c, ..., m का मान ज्ञात करने के लिए इन समीकरणों को हल करते है
7. मुख्य समीकरण में घातांकों के मानों को प्रतिस्थापित करते है और समान घातांक वाले चरों को समूहीकृत करके गैर-विमीय मापदण्ड बनाते हैं।

इससे भी कमी के रूप में, रेलेच की पद्धति विमीय विश्लेषण के परिणामस्वरूप प्राप्त किए जाने वाले विमीयहीन समूहों की संख्या के बारे में कोई सूचना उपलब्ध नहीं कराती है।

ठोस संख्याएँ और आधार इकाइयाँ

भौतिक विज्ञान और अभियान्त्रिकी में कई मापदंडों और मापों को एक ठोस संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है - एक संख्यात्मक राशि और एक समरूपी विमीय इकाई के रूप में व्यक्त किया जाता है। मुख्यता मात्रा को कई अन्य राशियों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए, गति लंबाई और समय का एक संयोजन है। उदाहरण, 60 किलोमीटर प्रति घंटा या 1.4 किलोमीटर प्रति सेकंड है। और यौगिक संबंध प्रति विभाजन द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, उदाहरण, 60 किमी/1 घंटे। अन्य संबंधों में गुणन सम्मिलित हो सकता है मुख्यता एक केंद्रित बिंदु या जुक्सपोज़िशन गणित के साथ दिखाया जाता है, शक्तियां जैसे मी² वर्ग मीटर के लिए, या उसके संयोजन के साथ है।

मापन प्रणाली के लिए आधार इकाइयों का समुच्चय इकाइयों का एक पारंपरिक रूप से चुना हुआ समुच्चय होता है, इनमे से किसी को भी अन्य इकाइयों के संयोजन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है और इस संदर्भ में प्रणाली की सभी शेष इकाइयों को व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लंबाई और समय की इकाइयों को अधिकांशता आधार इकाइयों के रूप में चुना जाता है। चूँकि, आयतन की इकाइयों को लंबाई की आधार इकाइयों (m³) में विभाजित किया जाता है, इस प्रकार उन्हें व्युत्पन्न या मिश्रित इकाइयाँ माना जाता है।

कभी-कभी इकाइयों के नाम इस तथ्य को अस्पष्ट कर देते हैं कि वे व्युत्पन्न इकाइयाँ हैं। उदाहरण के लिए न्यूटन (इकाई (एन) बल का मात्रक है, जिसे यूनिट किलो और त्वरण के साथ द्रव्यमान केपरिणाम के रूप में व्यक्त किया जाता है. न्यूटन के रूप में परिभाषित किया गया है 1 N = 1 kg⋅m⋅s⁻².

प्रतिशत, व्युत्पन्न और समाकल

प्रतिशत मात्रा विमीयरहित राशियाँ होती है, क्योंकि समान विमा वाली दो राशियों के अनुपात होता हैं। दूसरे शब्दों में, % चिह्न को सौवें के रूप में पढ़ा जा सकता है, क्योंकि 1% = 1/100.

मात्रा के संबंध में व्युत्पन्न होने से विमीय को उस चर के विमीय से विभाजित किया जाता है जिसके चर राशि के साथ विभेद किया जाता है। ये इस प्रकार है

• स्थिति (x) का विमीय L (लंबाई) है।
• समय के संबंध में स्थिति का व्युत्पन्न (dx/dt, वेग ) वेग की स्थिति से विमीय T⁻¹L है लंबाई, ढाल के कारण समय है।
• दूसरा व्युत्पन्न (d²x/dt² = d(dx/dt) / dt, त्वरण का विमीय T⁻²L है

इसी प्रकार एक एकीकृत रूप में चर का विमीय जुड़ जाता है पर वह अंश में भी जुड़ जाता है।

• बल का विमीय है T⁻²LM (द्रव्यमान त्वरण से गुणा)
• वस्तु द्वारा तय की गई दूरी (s) के संबंध में बल का समाकलन ($\textstyle \int F\ ds$, कार्य ) भौतिकी गणितीय गणना का विमीय T⁻²L²M.है। .

अर्थशास्त्र में, स्टॉक और प्रवाह के बीच अंतर एक स्टॉक की एक इकाई होती है विगेट्स या डॉलर कहते हैं, जबकि एक प्रवाह एक स्टॉक का व्युत्पन्न होता है, और थीइस इकाई के रूप की एक इकाई होती है जिसे एक समय से विभाजित किया जाता है डॉलर/वर्ष कहते हैं)।

कुछ संदर्भों में, विमीय राशियों को कुछ विमा को छोड़ कर विमीयरहित मात्रा या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, ऋण-से-जीडीपी अनुपात सामान्तया प्रतिशत के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, मुद्रा के सकल घरेलूपरिणाम की कुल बकाया मुद्रा को मुद्रा के प्रवाह से विभाजित किया जाता है, लेकिन कोई तर्क दे सकता है कि किसी स्टॉक की तुलना करते समय सकल घरेलूपरिणाम का आकार मुद्रा/समय के विमीय हैं। (उदाहरण के लिए, डॉलर/वर्ष) और इस प्रकार ऋण से प्रति वर्ष सकल घरेलूपरिणाम होना चाहिए, जिसमें ऋण का भुगतान करने के लिए निरंतर जीडीपी के लिए आवश्यक वर्षों की संख्या होनी चाहिए, यदि सभी जीडीपी ऋण पर खर्च किया जाता है और ऋण अन्यथा अपरिवर्तित होता है।

विमीय एकरूपता

See also: सेब और संतरे

विमीय विश्लेषण का सबसे मौलिक नियम विमीय एकरूपता का है।

केवल आनुपातिक मात्राएँ भौतिक मात्राएँ के समान विमीय होने की तुलना में, जोड़ी या घटाई जा सकती है।

चूँकि, विमीय गुणन के अनुसार एक एबेलियन समूह का निर्माण करती है, इसलिए

विभिन्न विमा के साथ अपर्याप्त मात्रा के अनुपात को ले सकते हैं और उन्हें गुणा या विभाजित कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, इसका कोई अर्थ नहीं है कि 1 घंटा अधिक है, या 1 किलोमीटर से कम, क्योंकि इनके अलग-अलग विमाएँ हैं, और न ही 1 घंटे 1 किलोमीटर जोड़ना है। चूँकि, यह पूछना सही है कि एक मील अधिक है या एक किलोमीटर से कम, यह भौतिक मात्रा एक विमीय है चूँकि इकाइयां भिन्न हैं। और दूसरी ओर, यदि कोई वस्तु 2 घंटे में 100 किमी की यात्रा करती है, तो उसे विभाजित करके यह निष्कर्ष निअवधिा जा सकता है कि वस्तु की औसत गति 50 किमी प्रति घंटा थी।

इस नियम का तात्पर्य यह है कि भौतिक रूप से सार्थक अभिव्यक्ति में केवल समान विमाओ की राशियों को जोड़ा,घटाया या तुलना किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि m_man, m_rat और L_man निरूपित, क्रमशः किसी व्यक्ति का द्रव्यमान, चूहे के द्रव्यमान और उस व्यक्ति की लंबाई, विमीय रूप से सजातीय अभिव्यक्त करता है। m_man + m_rat ये सार्थक है, लेकिन विषम अभिव्यक्ति m_man + L_man ये अर्थहीन है। चूँकि, m_man/L²_man नियम सत्य है। इस प्रकार, विमीय विश्लेषण का प्रयोग भौतिक समीकरणों की विवेकपूर्ण जांच के रूप में किया जाता है। किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को संगत होना चाहिए या उनका एक ही व्यास होना चाहिए।

इसका तात्पर्य यह है कि अधिकांश गणितीय कार्यों, विशेष रूप से अनुवांशिक कार्यों में एक विमीयहीन मात्रा, एक शुद्ध संख्या, तर्क के रूप में अवश्य होनी चाहिए और एक परिणाम के रूप में परिमाप रहित संख्या वापस करनी चाहिए।.इससे यह स्पष्ट है कि कई अनुवांशिक कार्यों को विमीयहीन गुणांक वाले अनंत शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots$$

शर्तों के अनुरूप होने के लिए x की सभी पावर में समान विमा होना चाहिए। लेकिन यदि x विमीयहीन नहीं है, तो x की विभिन्न पावर के अलग-अलग, अतुलनीय विमा होना चाहिए। चूँकि, वर्गमूल सहित घातांक पावर फलन में एक विमीय तर्क हो सकते हैं और परिणाम वाला विमीय लौटाएगा जो तर्क विमीय वही पावर होती है। इसका कारण यह है कि पावर के रूप में कार्य करने वाले और मूल कार्य, धीमी गति से, राशियों के गुणन की अभिव्यक्ति मात्र होते हैं।

भले ही दो भौतिक राशियों के विमीय समान हों, फिर भी उनकी तुलना करना या जोड़ना अर्थहीन हो सकता है। उदाहरण के लिए, बल आघूर्ण और ऊर्जा विमीय T⁻²L²M हैं, वे मौलिक रूप से भिन्न भौतिक राशियाँ हैं।

विभिन्न इकाइयों में अभिव्यक्त किंतु समान विमा से तुलना करने, जोड़ने या राशियों को घटाने के लिए मानक प्रक्रिया पहले इन सबको एक ही इकाई में परिवर्तित करती है।। उदाहरण के लिए 32 मीटर की दूरी 35 गज के साथ तुलना करने के लिए 1 यार्ड = 0.9144 मी. का प्रयोग 35 गज से 32.004 मी.तक करते है।

भौतिक नियम से संबंधित सिद्धांत यह है कि कोई भी, जो यथार्थ रूप से वास्तविक जगत् का सटीक वर्णन करने वाला कोई भी, भौतिक चर को मापने के लिए प्रयुक्त इकाइयों से स्वतंत्र होना चाहिए। उदाहरण के लिए, न्यूटन के गति नियमों की अच्छी समझ होनी चाहिए जैसा कि दूरी को मील या किलोमीटर में मापा जाता है। यह सिद्धांत इस रूप को जन्म देता है कि समान विमीय को मापने वाली इकाई के बीच रूपांतरण कारक को आवश्यक रूप में लिया जाना चाहिए यह समानता भी सुनिश्चित करता है। उदाहरण के लिए, यदि दो भवन फ़ीट में समान ऊँचाई के हैं, तो उनकी ऊँचाई मीटर में समान होनी चाहिए।

रूपांतरण कारक

Main article: रूपांतरण कारक

विमीय विश्लेषण में, वह अनुपात जो माप की एक इकाई को मात्रा में परिवर्तन किए बिना दूसरी इकाई में परिवर्तित करता है, रूपांतरण कारक कहलाता है। उदाहरण के लिए, केपीए और बीएआर (bar) दोनों दाब की इकाइयाँ हैं, और 100 केपीए = 1 बीएआर।.बीजगणित के नियम किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही व्यंजक से विभाजित करने की अनुमति देते हैं।

बीजगणित के नियम किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही अभिव्यक्ति से भाग करने की अनुमति देते हैं, इसलिए यह इसके बराबर है। 100 केपीए / 1 बीएआर = 1. चूँकि किसी भी मात्रा को बिना बदले 1 से गुणा किया जा सकता है, व्यंजक 100 केपीए / 1 बीएआर इकाई सहित, परिवर्तित की जाने वाली मात्रा से गुणा करके बीएआर से केपीए में परिवर्तित करने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 5 बीएआर × 100 केपीए / 1 बार = 500 केपीए, इसलिये 5 × 100 / 1 = 500, और बीएआर/बीएआर को रद्द कर देता है, इसलिए 5 बीएआर = 500 केपीए हैं।

अनुप्रयोग

विमीय विश्लेषण का उपयोग सदैव भौतिकी और रसायन विज्ञान और उसके गणित में किया जाता है, लेकिन इसका प्रयोग उन क्षेत्रों से बाहर भी किया जाता है।

गणित

गणित के लिए विमीय विश्लेषण का एक सरल अनुप्रयोग n विमीय में एक ठोस गेंद के आयतन के रूप की गणना करना है या इसकी सतह का क्षेत्रफल n गोला एक n विमीय होता है। आकृति में, आयतन का परिमाण$x^{n},$ है, जबकि सतह क्षेत्र, ${\displaystyle }$