विभाज्यता के नियम

विभाज्यता नियम यह निर्धारित करने का एक आशुलिपि और उपयोगी तरीका है कि क्या कोई पूर्णांक एक निश्चित भाजक द्वारा विभाजन को निष्पादित किए बिना विभाज्य है, सामान्यतः इसके अंकों की जांच करके। हालांकि किसी भी मूलांक, या आधार में संख्याओं के लिए विभाज्यता परीक्षण हैं, और वे सभी अलग−अलग हैं, यह लेख केवल दशमलव, या आधार 10, संख्याओं के लिए नियम और उदाहरण प्रस्तुत करता है। मार्टिन गार्डनर ने सितंबर 1962 में साइंटिफिक अमेरिकन में अपने "मैथमेटिकल गेम्स" कॉलम में इन नियमों को समझाया और लोकप्रिय बनाया।^[1]

संख्या 1−30 के लिए विभाजन नियम

नीचे दिए गए नियम किसी दी गई संख्या को सामान्यतः स्वयं की इक्षा के भाजक द्वारा विभाज्यता को बनाए रखते हुए, छोटी संख्या में बदल देते हैं। इसलिए, जब तक कि अन्यथा उल्लेख न किया जाए, परिणामी संख्या का मूल्यांकन उसी भाजक द्वारा विभाज्यता के लिए किया जाना चाहिए। कुछ स्थितियों में विभाज्यता स्पष्ट होने तक प्रक्रिया को फिर से पुनरावृत्त किया जा सकता है, दूसरों के लिए (जैसे अंतिम n अंकों की जांच करना) परिणाम की जांच अन्य माध्यमों से की जानी चाहिए।

कई नियमों वाले भाजक के लिए, नियम सामान्यतः पहले कई अंकों वाली संख्याओं के लिए उपयुक्त होते हैं, फिर कम अंकों वाली संख्याओं के लिए उपयोगी होते हैं।

नोट: किसी भी संख्या से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए जिसे 2ⁿ या 5ⁿ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें n एक धनात्मक पूर्णांक है, बस अंतिम n अंक की जांच करें।

नोट: अभाज्य गुणनखंड $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किसी भी संख्या से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, हम प्रत्येक अभाज्य द्वारा उसकी उपयुक्त घात से विभाज्यता के लिए अलग से परीक्षण कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 24 से विभाज्यता का परीक्षण (24 = 8×3 = 2³×3) एक साथ 8 (2³) और 3 से विभाज्यता के परीक्षण के बराबर है, इस प्रकार हमें 24 से विभाज्यता प्रमाणित करने के लिए केवल 8 और 3 से विभाज्यता दिखाने की आवश्यकता है।


भाजक	विभाज्यता की स्थिति	उदाहरण
1	कोई विशेष स्थिति नहीं। कोई भी पूर्णांक 1 से विभाज्य होता है।	2, 1 से विभाज्य है।
2	अंतिम अंक सम (0, 2, 4, 6, या 8) है।^[2]^[3]	1294: 4 सम है।
3	अंकों का योग करें। परिणाम 3 से विभाज्य होना चाहिए।^[2]^[4]^[5]	405 → 4 + 0 + 5 = 9 और 636 → 6 + 3 + 6 = 15 जो दोनों स्पष्ट रूप से 3 से विभाज्य हैं। 16,499,205,854,376 → 1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6 का योग 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, जो स्पष्ट रूप 3 से विभाज्य हैं।
3	संख्या में अंक 1, 4 और 7 की राशि में से अंक 2, 5 और 8 की राशि घटाएँ। परिणाम 3 से विभाज्य होना चाहिए।	ऊपर दिए गए उदाहरण का उपयोग करते हुए: 16,499,205,854,376 में चार अंक 1, 4 और 7 और चार अंक 2, 5 और 8 हैं, ∴ चूँकि 4 − 4 = 0, 3 का गुणज है, संख्या 16,499,205,854,376, 3 से विभाज्य है।
4	अंतिम दो अंक एक संख्या बनाते हैं जो 4 से विभाज्य होती है।^[2]^[3]	40,832: 32, 4 से विभाज्य है।
	यदि दहाई का अंक सम है, तो इकाई का अंक 0, 4 या 8 होना चाहिए। यदि दहाई का अंक विषम है, तो इकाई का अंक 2 या 6 होना चाहिए।	40,832: 3 विषम है, और अंतिम अंक 2 है।
	दहाई के अंक का दुगुना, इकाई का अंक 4 से विभाज्य है।	40832: 2 × 3 + 2 = 8, जो 4 से विभाज्य है।
5	अंतिम अंक 0 या 5 है।^[2]^[3]	495: अंतिम अंक 5 है।
6	यह 2 और 3 से विभाज्य है।^[6]	1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, अतः यह 3 से विभाज्य है और अंतिम अंक सम है, अतः संख्या 6 से विभाज्य है।
6	इकाई के अंक, 10 अंकों का 4 गुना, 100 के अंक का 4 गुना, 1000 के अंक का 4 गुना आदि का योग करें। यदि परिणाम 6 से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी है। (कार्य करता है क्योंकि $10^{n}=4{\pmod {6}}$ के लिए $n>1$ ।)	1458: (4 × 1) + (4 × 4) + (4 × 5) + 8 = 4 + 16 + 20 + 8 = 48
7	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉकों का एक वैकल्पिक योग बनाने से 7 का गुणज प्राप्त होता है।^[5]^[7]	1,369,851: 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	शेष में अंतिम अंक का 5 गुना जोड़ने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है (काम करता है क्योंकि 49 7 से विभाज्य है।)	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9
	शेष से अंतिम अंक का 2 गुना घटाने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है (यह कार्य करता है क्योंकि 21, 7 से विभाज्य है।)	483: 48 − (3 × 2) = 42 = 7 × 6
	शेष से अंतिम अंक का 9 गुना घटाने पर 7 का गुणज मिलता है (यह काम करता है क्योंकि 91, 7 से विभाज्य है।)	483: 48 − (3 × 9) = 21 = 7 × 3
	अगले अंक में पहले अंक का 3 गुना जोड़ने और फिर शेष लिखने पर 7 का गुणज मिलता है। (यह काम करता है क्योंकि 10a + b − 7a = 3a + b, अंतिम संख्या में वही शेषफल होता है जो 10a + b होता है।)	483: 4×3 + 8 = 20, 203: 2×3 + 0 = 6, 63: 6×3 + 3 = 21
	अंतिम दो अंकों को शेष के दुगुने में जोड़ने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है (यह कार्य करता है क्योंकि 98, 7 से विभाज्य है।)	483,595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63
	प्रत्येक अंक (दाएं से बाएं) को इस पैटर्न में संबंधित स्थिति में अंक से गुणा करें (बाएं से दाएं): 1, 3, 2, −1, −3, −2 (सौ-हजारों स्थान से आगे के अंकों के लिए पुनरावर्ती) परिणामों को जोड़ने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है।	483,595: (4 × (−2)) + (8 × (−3)) + (3 × (−1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7
	प्रत्येक अंक जोड़ी के शेष (दाएं से बाएं) की गणना 7 से विभाजित होने पर करें। सौ−हजारों स्थान से परे अंकों के जोड़े के पैटर्न को दोहराते हुए, सबसे दाएं शेष को 1 से, बाएं से अगले को 2 से और अगले को 4 से गुणा करें। परिणामों को जोड़ने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है।	194,536: 19\|45\|36 ; (5x4) + (3x2) + (1x1) = 27, अतः यह 7 से विभाज्य नहीं है 204,540: 20\|45\|40 ; (6x4) + (3x2) + (5x1) = 35, अतः यह 7 से विभाज्य नहीं है
8	यदि सैकड़ा अंक सम है, तो अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिए।	624: 24
	यदि सैकड़ा अंक विषम है, तो अंतिम दो अंक जमा 4 से प्राप्त संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिए।	352: 52 + 4 = 56
	अंतिम अंक को शेष के दुगुने में जोड़ें। परिणाम 8 से विभाज्य होना चाहिए।	56: (5 × 2) + 6 = 16
	अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हैं।^[2]^[3]	34,152: सिर्फ 152: 19 × 8 की विभाज्यता की जांच करें
	इकाई के अंक में दहाई के अंक के दोगुने में सैकड़ों अंकों का चार गुना जोड़ें। परिणाम 8 बजे तक दिखना चाहिए।	34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
9	अंकों का योग करें। परिणाम 9 से विभाज्य होना चाहिए।^[2]^[4]^[5]	2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9
10	इकाई का अंक 0 है।^[3]	130: इकाई का अंक 0 होता है।
11	अंकों का वैकल्पिक योग, या समान रूप से योग (विषम) − योग (सम) बनाएं। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिए।^[2]^[5]	918,082: 9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22 = 2 × 11
	दाएं से बाएं दो के ब्लॉक में अंकों को जोड़ें। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिए।^[2]	627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11
	शेष से अंतिम अंक घटाएँ। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिए।	627: 62 − 7 = 55 = 5 × 11
	अंतिम अंक को सैकड़ा के स्थान पर जोड़ें (शेष अंक में अंतिम अंक का 10 गुना जोड़ें)। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिए।	627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11
	यदि अंकों की संख्या सम है, तो पहले अंक को जोड़ें और शेष से अंतिम अंक घटाएँ। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिए।	918,082: अंकों की संख्या सम है (6) → 1808 + 9 − 2 = 1815: 81 + 1 − 5 = 77 = 7 × 11
	यदि अंकों की संख्या विषम है, तो पहले और अंतिम अंक को शेष से घटाएँ। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिए।	14,179: अंकों की संख्या विषम होती है (5) → 417 − 1 − 9 = 407 = 37 × 11
12	यह 3 और 4 से विभाज्य है।^[6]	324: यह 3 और 4 से विभाज्य है।
12	अंतिम अंक को शेष के दुगुने से घटाएँ। परिणाम 12 से विभाज्य होना चाहिए।	324: 32 × 2 − 4 = 60 = 5 × 12
13	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं। परिणाम 13 से विभाज्य होना चाहिए।^[7]	2,911,272: 272 − 911 + 2 = −637
	शेष में अंतिम अंक का 4 गुना जोड़ें। परिणाम 13 से विभाज्य होना चाहिए।	637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13
	अंतिम दो अंकों को शेष चार गुणा से घटाएँ। परिणाम 13 से विभाज्य होना चाहिए।	923: 9 × 4 − 23 = 13
	शेष से अंतिम अंक का 9 गुना घटाएँ। परिणाम 13 से विभाज्य होना चाहिए।	637: 63 − 7 × 9 = 0
14	यह 2 और 7 से विभाज्य है।^[6]	224: यह 2 से और 7 से विभाज्य है।
14	अंतिम दो अंकों को शेष के दुगुने में जोड़ें। परिणाम 14 से विभाज्य होना चाहिए।	364: 3 × 2 + 64 = 70 1764: 17 × 2 + 64 = 98
15	यह 3 और 5 से विभाज्य है।^[6]	390: यह 3 और 5 से विभाज्य है।
16	यदि हजारों का अंक सम है, तो अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 16 से विभाज्य होनी चाहिए।	254,176: 176
	यदि हजारों का अंक विषम है, तो अंतिम तीन अंक जमा 8 से बनने वाली संख्या 16 से विभाज्य होनी चाहिए।	3408: 408 + 8 = 416
	अंतिम दो अंकों को शेष के चार गुना में जोड़ें। परिणाम 16 से विभाज्य होना चाहिए।	176: 1 × 4 + 76 = 80 1168: 11 × 4 + 68 = 112
	अंतिम चार अंक 16 से विभाज्य होने चाहिए।^[2]^[3]	157,648: 7,648 = 478 × 16
17	शेष से अंतिम अंक का 5 गुना घटाएँ। (काम करता है क्योंकि 51, 17 से विभाज्य है।)	221: 22 − 1 × 5 = 17
	अंतिम दो अंकों को शेष के दो गुना से घटाएँ। (काम करता है क्योंकि 102, 17 से विभाज्य है।)	4,675: 46 × 2 − 75 = 17
	अंतिम अंक का 2 गुना शेष के 3 गुना में जोड़ें। पश्चग शून्य छोड़ें। (काम करता है क्योंकि (10a + b) × 2 − 17a = 3a + 2b, अंतिम संख्या में वही शेषफल है जो 10a + b है।)	4,675: 467 × 3 + 5 × 2 = 1411; 238: 23 × 3 + 8 × 2 = 85
18	यह 2 और 9 से विभाज्य है।^[6]	342: यह 2 से और 9 से विभाज्य है।
19	शेष में अंतिम अंक का दुगना जोड़ें। (काम करता है क्योंकि (10a + b) × 2 − 19a = a + 2b, अंतिम संख्या में वही शेषफल है जो 10a + b है।)	437: 43 + 7 × 2 = 57
19	शेष में अंतिम दो अंकों का 4 गुना जोड़ें। (काम करता है क्योंकि 399, 19 से विभाज्य है।)	6935: 69 + 35 × 4 = 209
20	यह 10 से विभाज्य है, और दहाई का अंक सम है।	360: 10 से विभाज्य है, और 6 सम है।
	अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 20 से विभाज्य है।^[3]	480: 80, 20 से विभाज्य है।
	यह 4 और 5 से विभाज्य है।	480: यह 4 और 5 से विभाज्य है।
21	अंतिम अंक को शेष से दो बार घटाने पर 21 का गुणज प्राप्त होता है। (यह कार्य करता है क्योंकि (10a + b) × 2 − 21a = −a + 2b, अंतिम संख्या का शेषफल 10a + b के समान है।)	168: 16 − 8 × 2 = 0
21	यह 3 और 7 से विभाज्य है।^[6]	231: यह 3 से और 7 से विभाज्य है।
22	यह 2 और 11 से विभाज्य है।^[6]	352: यह 2 से और 11 से विभाज्य है।
23	अंतिम अंक का 7 गुना शेष में जोड़ें। (काम करता है क्योंकि 69, 23 से विभाज्य है।)	3128: 312 + 8 × 7 = 368. 36 + 8 × 7 = 92
	शेष में अंतिम दो अंकों का 3 गुना जोड़ें। (काम करता है क्योंकि 299, 23 से विभाज्य है।)	1725: 17 + 25 × 3 = 92
	अंतिम तीन अंकों को शेष से दो बार घटाएँ। (काम करता है क्योंकि 2,001, 23 से विभाज्य है।)	2,068,965: 2,068 − 965 × 2 = 138
24	यह 3 और 8 से विभाज्य है।^[6]	552: यह 3 और 8 से विभाज्य है।
25	अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 हैं।	134,250: 50, 25 से विभाज्य है।
26	यह 2 से और 13 से विभाज्य है।^[6]	156: यह 2 से और 13 से विभाज्य है।
26	अंतिम अंक का 5 गुना शेष संख्या के 2 गुना से घटाने पर 26 का गुणज प्राप्त होता है। (काम करता है क्योंकि 52 26 से विभाज्य है।)	1248 : (124 ×2) - (8×5) =208=26×8
27	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉक में अंकों का योग करें। (काम करता है क्योंकि 999 27 से विभाज्य है।)	2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918
	शेष से अंतिम अंक का 8 गुना घटाएँ। (काम करता है क्योंकि 81 27 से विभाज्य है।)	621: 62 − 1 × 8 = 54
	अंतिम दो अंकों को शेष के 8 गुना से घटाएँ। (काम करता है क्योंकि 108 27 से विभाज्य है।)	6507: 65 × 8 − 7 = 520 − 7 = 513 = 27 × 19
28	यह 4 और 7 से विभाज्य है।^[6]	140: यह 4 से और 7 से विभाज्य है।
29	अंतिम अंक का तीन गुना शेष में जोड़ें। (काम करता है क्योंकि (10a + b) × 3 − 29a = a + 3b, अंतिम संख्या में वही शेषफल है जो 10a + b है।)	348: 34 + 8 × 3 = 58
	अंतिम दो अंकों का 9 गुना शेष में जोड़ें। (काम करता है क्योंकि 899, 29 से विभाज्य है।)	5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29
	अंतिम तीन अंकों को शेष से दो बार घटाएँ। (काम करता है क्योंकि 2,001 29 से विभाज्य है।)	2,086,956: 2,086 − 956 × 2 = 174
30	यह 3 और 10 से विभाज्य है।^[6]	270: यह 3 और 10 से विभाज्य है।

चरण−दर−चरण उदाहरण

2 द्वारा विभाजन

सबसे पहले, कोई भी संख्या लें (इस उदाहरण के लिए यह 376 होगी) और अन्य अंकों को छोड़कर संख्या में अंतिम अंक नोट करें। फिर शेष संख्या को उपेक्षित करते हुए वह अंक (6) लें और निर्धारित करें कि क्या यह 2 से विभाज्य है, यदि यह 2 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 2 से विभाज्य है।

उदाहरण

376 (मूल संख्या)
37 6 (अंतिम अंक लें)
6 ÷ 2 = 3 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या अंतिम अंक 2 से विभाज्य है)
376 ÷ 2 = 188 (यदि अंतिम अंक 2 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 2 से विभाज्य है)

3 या 9 द्वारा विभाजन

सबसे पहले, कोई भी संख्या लें (इस उदाहरण के लिए यह 492 होगी) और संख्या में प्रत्येक अंक (4 + 9 + 2 = 15) को एक साथ जोड़ें। फिर वह योग (15) लें और निर्धारित करें कि क्या यह 3 से विभाज्य है। मूल संख्या 3 (या 9) से विभाज्य है यदि और केवल यदि उसके अंकों का योग 3 (या 9) से विभाज्य हो।

किसी संख्या के अंकों को ऊपर से जोड़ना, और फिर परिणाम के साथ प्रक्रिया को तब तक दोहराना जब तक कि केवल एक अंक शेष न रह जाए, मूल संख्या का शेष भाग देगा यदि इसे नौ से विभाजित किया जाता है (जब तक कि वह एकल अंक स्वयं नौ न हो, उस स्थिति में संख्या नौ से विभाज्य है और शेषफल शून्य है)।

इसे किसी भी मानक स्थितीय प्रणाली में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें विचाराधीन भाजक तब मूलांक से एक कम हो जाता है, इस प्रकार, आधार-बारह में, अंकों को ग्यारह से विभाजित करने पर मूल संख्या के शेष में जोड़ दिया जाएगा, और संख्याएँ ग्यारह से विभाज्य होंगी यदि अंकों का योग ग्यारह से विभाज्य है।

उदाहरण

492 (मूल संख्या)
4 + 9 + 2 = 15 (प्रत्येक एकाकी अंक को एक साथ जोड़ें)
15, 3 से विभाज्य है जिस बिंदु पर हम रुक सकते हैं। वैकल्पिक रूप से हम उसी विधि का उपयोग जारी रख सकते हैं यदि संख्या अभी भी बहुत बड़ी है:
1 + 5 = 6 (प्रत्येक एकाकी अंक को एक साथ जोड़ें)
6 ÷ 3 = 2 (यह देखने के लिए जांचें कि प्राप्त संख्या 3 से विभाज्य है या नहीं)
492 ÷ 3 = 164 (यदि नियम का उपयोग करके प्राप्त संख्या 3 से विभाज्य है, तो पूर्ण संख्या 3 से विभाज्य है)

4 द्वारा विभाजन

4 से विभाज्यता के लिए मूल नियम यह है कि यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य होगी,^[2]^[3] ऐसा इसलिए है क्योंकि 100, 4 से विभाज्य है और इसलिए सैकड़ों, हजारों, आदि को जोड़ने पर बस एक अन्य संख्या जोड़े जो 4 से विभाज्य है। यदि कोई संख्या दो अंकों की संख्या में समाप्त होती है जिसे आप जानते हैं कि 4 (जैसे 24, 04, 08, आदि) से विभाज्य है, तो पूर्ण संख्या 4 से विभाज्य होगी, भले ही अंतिम दो अंकों से पहले क्या हो।

वैकल्पिक रूप से, कोई भी केवल संख्या को 2 से विभाजित कर सकता है, और फिर परिणाम की जांच करके पता लगा सकता है कि क्या यह 2 से विभाज्य है। यदि यह है, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य है। इसके अलावा, इस परीक्षण का परिणाम समान है मूल संख्या को 4 से विभाजित किया जाता है।

उदाहरण
सामान्य नियम

2092 (मूल संख्या)
20 92 (किसी अन्य अंक को छोड़कर संख्या के अंतिम दो अंक लें)
92 ÷ 4 = 23 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या संख्या 4 से विभाज्य है)
2092 ÷ 4 = 523 (यदि प्राप्त संख्या 4 से विभाज्य हो, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य होगी)

वैकल्पिक उदाहरण

1720 (मूल संख्या)
1720 ÷ 2 = 860 (मूल संख्या को 2 से विभाजित करें)
860 ÷ 2 = 430 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या परिणाम 2 से विभाज्य है)
1720 ÷ 4 = 430 (यदि परिणाम 2 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य है)

5 द्वारा विभाजन

5 से विभाज्यता संख्या (475) में अंतिम अंक की जाँच करके और यह देख कर आसानी से निर्धारित की जाती है कि क्या यह 0 या 5 है। यदि अंतिम संख्या या तो 0 या 5 है, तो पूरी संख्या 5 से विभाज्य है।^[2]^[3]

यदि संख्या में अंतिम अंक 0 है, तो परिणाम शेष अंकों को 2 से गुणा किया जाएगा। उदाहरण के लिए, संख्या 40 एक शून्य में समाप्त होती है, इसलिए शेष अंक (4) लें और उसे दो से गुणा करें (4 × 2 = 8)। परिणाम वही है जो 40 के परिणाम को 5 (40/5 = 8) से विभाजित करता है।

यदि संख्या में अंतिम अंक 5 है, तो परिणाम शेष अंकों को दो से गुणा करके, एक के योग से प्राप्त होगा। उदाहरण के लिए, संख्या 125 एक 5 में समाप्त होती है, इसलिए शेष अंक (12) लें, उन्हें दो (12 × 2 = 24) से गुणा करें, फिर एक (24 + 1 = 25) जोड़ें। परिणाम 125 के परिणाम को 5 (125/5=25) से विभाजित करने के परिणाम के समान है।

उदाहरण

यदि अंतिम अंक 0 है

110 (मूल संख्या)
11 0 (संख्या का अंतिम अंक लें, और जांचें कि क्या यह 0 या 5 है)
11 0 (यदि यह 0 है, तो शेष अंक लें, अंतिम को छोड़ दें)
11 × 2 = 22 (परिणाम को 2 से गुणा करें)
110 ÷ 5 = 22 (परिणाम 5 द्वारा विभाजित मूल संख्या के समान है)

यदि अंतिम अंक 5 है

85 (मूल संख्या)
8 5 (संख्या का अंतिम अंक लें, और जांचें कि क्या यह 0 या 5 है)
8 5 (यदि यह 5 है, तो शेष अंक लें, अंतिम को छोड़ दें)
8 × 2 = 16 (परिणाम को 2 से गुणा करें)
16 + 1 = 17 (परिणाम में 1 जोड़ें)
85 ÷ 5 = 17 (परिणाम 5 द्वारा विभाजित मूल संख्या के समान है)

6 द्वारा विभाजन

6 द्वारा विभाजन मूल संख्या की जाँच करके निर्धारित की जाती है कि क्या यह एक सम संख्या (2 से विभाज्य) और 3 से विभाज्य है या नहीं।^[6] यह प्रयोग करने के लिए सर्वोत्तम परीक्षण है।

यदि संख्या छह से विभाज्य है, तो मूल संख्या (246) लें और इसे दो से विभाजित करें (246 ÷ 2 = 123)। फिर, वह परिणाम लें और उसे तीन (123 ÷ 3 = 41) से भाग दें। यह परिणाम मूल संख्या के छह (246 ÷ 6 = 41) से विभाजित होने के समान है।

उदाहरण

सामान्य नियम

324 (मूल संख्या)
324 ÷ 3 = 108 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या मूल संख्या 3 से विभाज्य है)
324 ÷ 2 = 162 या 108 ÷ 2 = 54 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या मूल संख्या या पिछले समीकरण का परिणाम 2 से विभाज्य है)
324 ÷ 6 = 54 (यदि अंतिम चरण में कोई भी परीक्षण सत्य है, तो मूल संख्या 6 से विभाज्य है। साथ ही, दूसरे परीक्षण का परिणाम वही परिणाम देता है जो मूल संख्या 6 से विभाजित होता है)

6 से भाग देने पर किसी संख्या का शेषफल ज्ञात करना

(1, −2, −2, −2, −2, और −2 शेष के लिए जारी है) कोई अवधि नहीं। −− न्यूनतम परिमाण अनुक्रम

(1, 4, 4, 4, 4, और 4 शेष के लिए जारी है) −− सकारात्मक क्रम

अनुक्रम में सबसे बाएं अंक से दाएं सबसे अंक को गुणा करें और क्रम में दूसरे बाएं सबसे अंक से दूसरे दाएं सबसे अंक को गुणा करें और इसी तरह।

इसके बाद, सभी मानों के योग की गणना करें और शेष को 6 से भाग देने पर लें।

उदाहरण: 1036125837 को 6 से विभाजित करने पर शेषफल क्या है?

सर्वाधिक दाहिने अंक का गुणन = 1 × 7 = 7

दूसरे सर्वाधिक दाहिने अंक का गुणन = 3 × −2 = −6

तीसरा सर्वाधिक दाहिने अंक = −16

चौथा सर्वाधिक दाहिने अंक = −10

पांचवां सर्वाधिक दाहिने अंक = −4

छठा सर्वाधिक दाहिने अंक = −2

सातवें सर्वाधिक दाहिने अंक = −12

आठवें सर्वाधिक दाहिने अंक = −6

नौवें सर्वाधिक दाहिने अंक = 0

दसवें सर्वाधिक दाहिने अंक = −2

योग = −51

−51 ≡ 3 (मॉड 6)

शेष = 3

7 द्वारा विभाजन

7 से विभाज्यता का परीक्षण पुनरावर्ती विधि द्वारा किया जा सकता है। 10x + y के रूप की कोई संख्या 7 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि x − 2y 7 से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में, शेष अंकों से बनी संख्या से अंतिम अंक का दोगुना घटाएँ। ऐसा तब तक करते रहें जब तक कि कोई संख्या प्राप्त न हो जाए जिसके लिए यह ज्ञात हो कि क्या यह 7 से विभाज्य है। मूल संख्या 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि इस प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, संख्या 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7, इस प्रकार, चूंकि −7, 7 से विभाज्य है, 371, 7 से विभाज्य है।

इसी प्रकार 10x + y के रूप की एक संख्या 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि x + 5y 7 से विभाज्य है।^[8] इसलिए शेष अंकों से बनी संख्या में अंतिम अंक का पांच गुना जोड़ें, और ऐसा तब तक करते रहें जब तक कि एक संख्या प्राप्त न हो जाए, जिसके लिए यह ज्ञात हो कि क्या यह 7 से विभाज्य है।^[9]

एक अन्य विधि 3 से गुणा है। 10x + y के रूप की किसी संख्या में 7 से 3x + y से विभाजित करने पर वही शेषफल प्राप्त होता है। किसी को मूल संख्या के सर्वाधिक बाएं अंक को 3 से गुणा करना होगा, अगला अंक जोड़ना होगा, शेष को 7 से विभाजित करने पर लेना होगा और शुरुआत से जारी रखना होगा: 3 से गुणा करना, अगला अंक जोड़ना, आदि। उदाहरण के लिए, संख्या 371: 3×3 + 7 = 16 शेष 2, और 2×3 + 1 = 7। इस विधि का उपयोग 7 से शेष भाग ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

7 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए एक अधिक जटिल कलन विधि (एल्गोरिदम) इस तथ्य का उपयोग करता है कि 10⁰ ≡ 1, 10¹ ≡ 3, 10² ≡ 2, 10³ ≡ 6, 10⁴ ≡ 4, 10⁵ ≡ 5, 10⁶ ≡ 1, ...(मॉड 7)। संख्या के प्रत्येक अंक (371) को प्रतिलोम क्रम (173) में लें, उन्हें क्रमिक रूप से अंक 1, 3, 2, 6, 4, 5 से गुणा करें, जब तक आवश्यक हो, गुणकों के इस क्रम के साथ दोहराते रहें (1, 3, 2 , 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...), और गुणनफल को (1×1 + 7×3 + 3×2 = 1 + 21 + 6 = 28) जोड़ते रहें। मूल संख्या 7 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि इस प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य है (इसलिए 371, 28 से 7 से विभाज्य है)।^[10]

गुणा करने की आवश्यकता को दूर करके इस विधि को सरल बनाया जा सकता है। इस सरलीकरण के साथ केवल उपरोक्त अनुक्रम (132645...) को याद रखना और जोड़ना और घटाना है, लेकिन हमेशा एक अंकों की संख्या के साथ काम करना है।

सरलीकरण इस प्रकार है:

उदाहरण के लिए संख्या 371 लें
7, 8 या 9 की सभी पुनरावृत्तियों को क्रमशः 0, 1 और 2 में बदलें। इस उदाहरण में, हम प्राप्त करते हैं: 301। यह दूसरा चरण छोड़ दिया जा सकता है, सर्वाधिक बाएं अंक को छोड़कर, लेकिन इसके बाद बाद में गणना की सुविधा हो सकती है।
अब क्रमांक 13264513... में पहले अंक (3) को निम्नलिखित अंक में बदलें हमारे उदाहरण में, 3, 2 में बदले जाता है।
परिणाम को पिछले चरण (2) में संख्या के दूसरे अंक में जोड़ें, और परिणाम को दोनों अंकों के लिए प्रतिस्थापित करें, शेष सभी अंकों को अपरिवर्तित छोड़ दें: 2 + 0 = 2। तो 301, 21 में बदल जाता है।
प्रक्रिया को तब तक दोहराए जब तक कि आपके पास 7 का एक पहचानने योग्य गुणक न हो, या सुनिश्चित करने के लिए, 0 और 6 के बीच की कोई संख्या हो। इसलिए, 21 से शुरू (जो कि 7 का एक पहचानने योग्य गुणक है), पहला अंक (2) लें और इसे उपरोक्त क्रम में निम्नलिखित में परिवर्तित करें: 2, 6 में बदले जाता है, फिर इसे दूसरे अंक में जोड़ें: 6 + 1 = 7।
यदि किसी भी बिंदु पर पहला अंक 8 या 9 है, तो ये क्रमशः 1 या 2 हो जाते हैं। लेकिन यदि यह 7 है तो यह 0 हो जाना चाहिए, केवल अगर कोई अन्य अंक का पालन न करें। अन्यथा, इसे बस छोड़ दिया जाना चाहिए। इसका कारण यह है कि 7, 0 में बदल गया होगा, और दशमलव बिंदु से पहले कम से कम दो अंकों वाली संख्याएं 0 से शुरू नहीं होती हैं, जो कि व्यर्थ है। इसके अनुसार 7, 0 में बदल जाता है।

यदि इस प्रक्रिया के माध्यम से आप एक 0 या 7 का कोई भी पहचानने योग्य गुणक प्राप्त करते हैं, तो मूल संख्या 7 का गुणज है। यदि आप 1 से 6 तक कोई संख्या प्राप्त करते हैं, तो यह इंगित करेगा कि आपको 7 का गुणज प्राप्त करने के लिए मूल संख्या से कितना घटाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, आप संख्या को 7 से विभाजित करने पर शेषफल प्राप्त करेंगे। उदाहरण के लिए, संख्या 186 लें:

सबसे पहले, 8 को 1:116 में बदलें।
अब, अनुक्रम (3) में निम्नलिखित अंक में 1 को बदलें, इसे दूसरे अंक में जोड़ें, और दोनों के बजाय परिणाम 3 + 1 = 4 लिखें। तो 116 अब 46 में बदल जाता है।
प्रक्रिया को दोहराए, क्योंकि संख्या 7 से बड़ी है। अब, 4, 5 में बदल जाता है, जिसे 6 में जोड़ा जाना चाहिए। अर्थात 11।
प्रक्रिया को एक बार और दोहराए: 1, 3 में बदल जाता है, जो दूसरे अंक (1): 3 + 1 = 4 में जुड़ जाता है।

अब हमारे पास 7 से छोटी एक संख्या है और यह संख्या (4) 186/7 को विभाजित करने का शेषफल है। अत: 186 − 4, जो कि 182 है, 7 का गुणज होना चाहिए।

नोट: इसका कारण यह है कि यदि हमारे पास: a+b=c और b किसी भी दी गई संख्या n का गुणज है, तो a और c अनिवार्य रूप से n से विभाजित करने पर समान शेष उत्पन्न करेंगे। दूसरे शब्दों में, 2 + 7 = 9 में, 7, 7 से विभाज्य है। अतः 2 और 9 का शेष समान होना चाहिए, जब 7 से विभाजित किया जाता है। शेष 2 हो।

इसलिए, यदि कोई संख्या n, 7 का गुणज है (अर्थात: n/7 का शेषफल 0 है), तो 7 के गुणजों को जोड़ने (या घटाने) से वह गुण नहीं बदल सकता।

यह प्रक्रिया क्या करती है, जैसा कि अधिकांश विभाज्यता नियमों के लिए ऊपर बताया गया है, बस मूल संख्या से 7 के छोटे−छोटे गुणकों को घटाना है, जब तक कि एक ऐसी संख्या तक न पहुंच जाए जो हमारे लिए यह याद रखने के लिए पर्याप्त हो कि क्या यह 7 का गुणज है। यदि 1 निम्नलिखित दशमलव स्थिति में 3 बन जाता है, तो यह 10×10ⁿ को 3×10ⁿ में परिवर्तित करने जैसा ही है। और यह वास्तव में 10×10ⁿ से 7×10ⁿ (स्पष्ट रूप से 7 का गुणज) घटाने के समान है।

इसी प्रकार, जब आप निम्न दशमलव स्थिति में 3 को 2 में बदलते हैं, तो आप 30×10ⁿ को 2×10ⁿ में बदल रहे हैं, जो 30×10ⁿ−28×10ⁿ घटाने के समान है, और यह फिर से 7 का गुणज घटा रहा है। यही कारण शेष सभी रूपांतरणों के लिए लागू होता है:

20 × 10ⁿ − 6×10ⁿ=14×10ⁿ
60 × 10ⁿ − 4×10ⁿ=56×10ⁿ
40 × 10ⁿ − 5×10ⁿ=35×10ⁿ
50 × 10ⁿ − 1×10ⁿ=49×10ⁿ

पहली विधि उदाहरण

1050 → 105 − 0 = 105 → 10 − 10 = 0। उत्तर: 1050, 7 से विभाज्य है।

दूसरी विधि उदाहरण

1050 → 0501 (विपरीत) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (गुणा करें और जोड़ें)। उत्तर: 1050 7 से विभाज्य है।

आश्लिष्टता द्वारा विभाजन की वैदिक विधि

सात से विभाज्यता का परीक्षण एकधिका द्वारा गुणा करके किया जा सकता है। भाजक सात को सात से गुणा करके नौ परिवार में परिवर्तित करें। 7×7=49. एक जोड़ें, इकाइयों के अंक को छोड़ दें और, 5, एक्हादिका को गुणक के रूप में लें। दाईं ओर से शुरू करें। 5 से गुणा करें, उत्पाद को बाईं ओर के अगले अंक में जोड़ें। उस परिणाम को उस अंक के नीचे एक पंक्ति पर सेट करें। इकाई के अंक को पांच से गुणा करने और उस गुणनफल को दहाई की संख्या में जोड़ने की उस विधि को दोहराए। परिणाम को अगले अंक में बाईं ओर जोड़ें। उस परिणाम को अंक के नीचे लिखिए। अंत तक जारी रखें। यदि परिणाम शून्य है या सात का गुणज है, तो हाँ, वह संख्या सात से विभाज्य है। अन्यथा ऐसा नहीं है। यह वैदिक आदर्श, एक−पंक्ति अंकन का अनुसरण करता है।^[11]^{[unreliable source?]}

वैदिक विधि उदाहरण:

क्या 438,722,025 सात से विभाज्य है? गुणक = 5।
 4  3  8  7  2  2  0  2  5
42 37 46 37  6 40 37 27
हां

7 से विभाज्यता की पोहलमैन−द्रव्यमान विधि

पोहलमैन−मास विधि एक शीघ्र हल प्रदान करती है जो यह निर्धारित कर सकती है कि अधिकांश पूर्णांक तीन चरणों में सात या उससे कम हैं। यह विधि गणित प्रतियोगिता जैसे मैथकाउंट्स में उपयोगी हो सकती है, जहां स्प्रिंट राउंड में परिगणक (कैलकुलेटर) के बिना हल निर्धारित करने के लिए समय एक कारक है।

चरण A: यदि पूर्णांक 1000 या उससे कम है, तो शेष अंकों से बनी संख्या से अंतिम अंक का दोगुना घटाएँ। यदि परिणाम सात का गुणज है, तो मूल संख्या भी है (और इसके विपरीत)। उदाहरण के लिए:

112 −> 11 −(2 × 2) = 11 −4 = 7 हां
98 −> 9 −(8 × 2) = 9 −16 = −−7 हां
634 −> 63 −(4 × 2) = 63 −8 = 55 नहीं

क्योंकि 1001 सात से विभाज्य है, 1, 2, या 3 अंकों के दोहराए जाने वाले सेटों के लिए एक रोचक पैटर्न विकसित होता है जो 6−अंकीय संख्याएँ (अग्रणी शून्य की अनुमति है) बनाते हैं, जिसमें ऐसी सभी संख्याएँ सात से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए:

001 001 = 1,001 / 7 = 143
010 010 = 10,010 / 7 = 1,430
011 011 = 11,011 / 7 = 1,573
100 100 = 100,100 / 7 = 14,300
101 101 = 101,101 / 7 = 14,443
110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443
10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15,873
222,222 / 7 = 31,746
999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

उपरोक्त सभी उदाहरणों के लिए, अंतिम तीन में से पहले तीन अंकों को घटाकर सात के गुणज में परिणाम प्राप्त करें। ध्यान दें कि अग्रणी शून्यों को 6 अंकों का पैटर्न बनाने की अनुमति है

यह घटना B और C के चरणों के लिए आधार बनाती है।

चरण B: यदि पूर्णांक 1001 और एक मिलियन के बीच है, तो 1, 2, या 3 अंकों का एक पुनरावृत्ति पैटर्न खोजें जो पूर्णांक के करीब एक 6−अंकीय संख्या बनाता है (अग्रणी शून्य की अनुमति है और आपको पैटर्न की कल्पना करने में मदद कर सकता है) ) यदि धनात्मक अंतर 1000 से कम है, तो चरण A लागू करें। यह अंतिम तीन अंकों में से पहले तीन अंक घटाकर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए

341,355 −341,341 = 14 −> 1 −(4 × 2) = 1 −8 = −−7 हां
 67,326 −067,067 = 259 −> 25 −(9 × 2) = 25 −18 = 7 हां

तथ्य यह है कि 999,999 7 का गुणज है, जिसका उपयोग एक मिलियन से बड़े पूर्णांकों की विभाज्यता को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, पूर्णांक को 6−अंकीय संख्या तक कम करके जिसे चरण B का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। यह आसानी से शेष अंकों को जोड़कर किया जा सकता है पहले छह से अंतिम छह तक और चरण A के साथ अनुसरण करें

चरण C: यदि पूर्णांक एक मिलियन से बड़ा है, तो 999,999 के निकटतम गुणज को घटाएं और फिर चरण B लागू करें। इससे भी बड़ी संख्याओं के लिए, 12−अंकों (999,999,999,999) जैसे बड़े सेटों का उपयोग करें और इसी तरह। फिर, पूर्णांक को छोटी संख्या में तोड़ें जिसे चरण B का उपयोग करके हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

22,862,420 −(999,999 × 22) = 22,862,420 −21,999,978 −> 862,420 + 22 = 862,442
   862,442 −> 862 −442 (चरण B) = 420 −> 42 −(0 × 2) (चरण A) = 42 हां

यह सात से विभाज्यता निर्धारित करने के लिए तीन अंकों के एकांतर सेट को जोड़ने और घटाने की अनुमति देता है। इन पैटर्नों को समझने से आप सात की विभाज्यता की शीघ्र गणना कर सकते हैं जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों में देखा गया है:

7 से विभाज्यता की पोहलमैन−द्रव्यमान विधि, उदाहरण:

क्या 98 सात से विभाज्य है?
98  -> 9  − (8×2) = 9  − 16 = −7  हां (चरण A)

क्या 634 सात से विभाज्य है?
634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8  = 55 नहीं (चरण A)

355,341 सात से विभाज्य है?
355,341 −341,341 = 14,000 (चरण B) −> 014 −000 (चरण B) −> 14 = 1 −(4 × 2) (चरण A) = 1 −8 = −−7 हां

क्या 42,341,530 सात से विभाज्य है?
42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (चरण C)
341,572 − 341,341 = 231 (चरण B)
231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 हां (चरण A)

शीघ्र वैकल्पिक जोड़ और घटाव का उपयोग करना:
 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 हां

7 द्वारा विभाजन की 3 द्वारा गुणा विधि, उदाहरण:

क्या 98 सात से विभाज्य है?
98  -> 9 शेष 2 -> 2×3 + 8 = 14 हाँ

क्या 634 सात से विभाज्य है?
634 -> 6×3 + 3 = 21 -> शेष 0 -> 0×3 + 4 = 4 नहीं

क्या 355,341 सात से विभाज्य है?
3 × 3 + 5 = 14 -> शेष 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> शेष 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> शेष 2 -> 2×3 + 1 = 7 हाँ

1036125837 के शेषफल को 7 से विभाजित करने पर ज्ञात कीजिए
1×3 + 0 = 3
3×3 + 3 = 12 शेष 5
5×3 + 6 = 21 शेष 0
0×3 + 1 = 1
1×3 + 2 = 5
5×3 + 5 = 20 शेष 6
6×3 + 8 = 26 शेष 5
5×3 + 3 = 18 शेष 4
4×3 + 7 = 19 शेष 5
उत्तर 5 है

7 से भाग देने पर किसी संख्या का शेषफल ज्ञात करना

7 − (1, 3, 2, −1, −3, −2, चक्र अगले छह अंकों के लिए पुनरावृत्ति है) अवधि: 6 अंक। आवर्ती संख्याएं: 1, 3, 2, −1, −3, −2
न्यूनतम परिमाण अनुक्रम
(1, 3, 2, 6, 4, 5, अगले छह अंकों के लिए चक्र पुनरावृत्ति है) अवधि: 6 अंक। आवर्ती संख्या: 1, 3, 2, 6, 4, 5
धनात्मक अनुक्रम

क्रम में सबसे बाएं अंक से दाएं सबसे अंक को गुणा करें और अनुक्रम में दूसरे बाएं सबसे अंक से दूसरे दाएं सबसे अंक को गुणा करें और इसी तरह और इसी तरह के लिए। इसके बाद, सभी मानों के योग की गणना कीजिए और 7 का मापांक लीजिए।
उदाहरण: 1036125837 को 7 से विभाजित करने पर शेषफल क्या है?

सबसे दाहिने अंक का गुणन = 1 × 7 = 7

दूसरे सबसे दाहिने अंक का गुणन = 3 × 3 = 9

तीसरा सबसे दाहिना अंक = 8 × 2 = 16

चौथा सबसे दाहिना अंक = 5 × −1 = −5

पांचवां सबसे दाहिना अंक = 2 × −3 = −6

छठा सबसे दाहिना अंक = 1 × −2 = −2

सातवां सबसे दाहिना अंक = 6 × 1 = 6

आठवां सबसे दाहिना अंक = 3 × 3 = 9

नौवां सबसे दाहिना अंक = 0

दसवां सबसे दाहिना अंक = 1 × −1 = −1

योग = 33

33 मापांक 7 = 5

शेष = 5

7 से विभाज्यता की अंक जोड़ी विधि

इस विधि में अंकों के जोड़े पर 1, −3, 2 पैटर्न का उपयोग किया जाता है। अर्थात्, किसी भी संख्या की सात से विभाज्यता का परीक्षण पहले संख्या को अंकों के जोड़े में विभाजित करके और फिर तीन अंकों के जोड़े (छह अंक) पर एल्गोरिथ्म को लागू करके किया जा सकता है। जब संख्या छह अंकों से छोटी हो, तब शून्य को दाईं ओर तब तक भरें जब तक कि छह अंक न हो जाएं। जब संख्या छह अंकों से बड़ी हो, तो चक्र को अगले छह अंकों के समूह पर दोहराएं और फिर परिणाम जोड़ें। जब तक परिणाम एक छोटी संख्या न हो तब तक एल्गोरिथ्म को दोहराएं। मूल संख्या सात से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि इस एल्गोरिथम का उपयोग करके प्राप्त संख्या सात से विभाज्य है। यह विधि बड़ी संख्या के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है।

उदाहरण 1:
परीक्षण की जाने वाली संख्या 157514 है। पहले हम संख्या को तीन अंकों के जोड़े में विभाजित करते हैं: 15, 75 और 14।
फिर हम एल्गोरिथम लगाते है: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
चूंकि परिणामी 182 छह अंकों से कम है, इसलिए हम शून्य को दाईं ओर तब तक जोड़ते हैं जब तक कि यह छह अंक न हो जाए।
फिर हम अपना एल्गोरिथम फिर से लगाते है: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42
परिणाम −42 सात से विभाज्य है, इस प्रकार मूल संख्या 157514 सात से विभाज्य है।

उदाहरण 2:
परीक्षण की जाने वाली संख्या 15751537186 है।
(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77
परिणाम −77 सात से विभाज्य है, इस प्रकार मूल संख्या 15751537186 सात से विभाज्य है।

7 से विभाज्यता की एक अन्य अंक जोड़ी विधि

विधि

यह एक अनावर्ती विधि है जिसे 7 से विभाजित करने पर किसी संख्या से शेषफल प्राप्त करने के लिए:

इकाई के स्थान से शुरू करके अंकों के जोड़े में संख्या को अलग करें। यदि आवश्यक हो तो अंतिम जोड़ी को पूरा करने के लिए संख्या को 0 के साथ जोड़ें।
प्रत्येक अंक जोड़ी द्वारा 7 से विभाजित करने पर शेषफलों की गणना करें।
अनुक्रम 1, 2, 4, 1, 2, 4, ... से शेष को उपयुक्त गुणक से गुणा करें: इकाई स्थान और दहाई के स्थान वाले अंकों के युग्म में से शेष को 1, सैकड़ों और हजारों को 2 से गुणा किया जाना चाहिए, दस हज़ार और सौ हज़ार गुणा 4, मिलियन और दस लाख फिर 1 से और इसी तरह।
प्रत्येक उत्पाद द्वारा 7 से भाग देने पर शेषफल की गणना करें।
इन शेषफलों को जोड़ें।
योग का शेष जब 7 से विभाजित किया जाता है, तो दी गई संख्या का शेषफल 7 से विभाजित होने पर प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए:

संख्या 194,536 7 से विभाजित करने पर 6 शेष छोड़ती है।

संख्या 510,517,813 7 से भाग देने पर 1 शेष बचता है।

विधि की शुद्धता का प्रमाण

यह विधि इस प्रेक्षण पर आधारित है कि 7 से विभाजित करने पर 100 के बाद 2 शेष बचता है और चूंकि हम संख्या को अंकों के जोड़े में तोड़ रहे हैं, इसलिए हमारे पास अनिवार्य रूप से 100 की घात है।

1 मॉड 7 = 1

100 मॉड 7 = 2

10,000 मॉड 7 = 2^2 = 4

1,000,000 मॉड 7 = 2^3 = 8; 8 मॉड 7 = 1

10,0000,000 मॉड 7 = 2^4 = 16; 16 मॉड 7 = 2

1,000,0000,000 मॉड 7 = 2^5 = 32; 32 मॉड 7 = 4

और इसी तरह आगे भी।

विधि की शुद्धता को निम्नलिखित समानता श्रृंखला द्वारा स्थापित किया जाता है:

माना N दी गई संख्या है ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$ ।

${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}\mod 7$

= $[\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1})\times 10^{2k-2}]{\bmod {7}}$

= $\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}$

= $\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})$

13 द्वारा विभाजन

शेष परीक्षण 13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, चक्र चलता रहता है।) यदि आप ऋणात्मक संख्याओं के साथ सहज नहीं हैं, तो इस क्रम का उपयोग करें। (1, 10, 9, 12, 3, 4)

ऊपर दिखाए गए क्रम में सबसे बायीं सबसे बड़ी संख्या के साथ संख्या के दायें सबसे अंक को गुणा करें और दूसरे दायें सबसे अंक को क्रम में संख्या के दूसरे बायें सबसे अंक से गुणा करें। चक्र चलता रहता है।

उदाहरण: 321 को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या है?
पहले अनुक्रम का उपयोग से,
उत्तर: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17
शेषफल = −17 मॉड 13 = 9

उदाहरण: 1234567 को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या है?
दूसरे अनुक्रम का उपयोग से,
उत्तर: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 मॉड 13 = 9
शेषफल = 9

30 के बाद

भाजक के प्रकार के आधार पर संख्याओं की विभाज्यता गुण दो प्रकार से निर्धारित किए जा सकते हैं।

समग्र भाजक

एक संख्या किसी दिए गए भाजक से विभाज्य होती है यदि वह अपने प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम शक्ति से विभाज्य हो। उदाहरण के लिए, 36 से विभाज्यता निर्धारित करने के लिए, 4 से और 9 से विभाज्यता की जांच करें।^[6] ध्यान दें कि 3 और 12, या 2 और 18 की जाँच पर्याप्त नहीं होगी। अभाज्य कारकों की तालिका उपयोगी हो सकती है।

एक समग्र भाजक के पास एक ही प्रक्रिया का उपयोग करके एक नियम भी हो सकता है, जैसा कि नीचे दिए गए एक प्रमुख विभाजक के लिए है, इस चेतावनी के साथ कि इसमें शामिल जोड़तोड़ किसी भी कारक का परिचय नहीं दे सकता है जो कि विभाजक में मौजूद है। उदाहरण के लिए, कोई 14 के लिए एक नियम नहीं बना सकता है जिसमें समीकरण को 7 से गुणा करना शामिल है। यह अभाज्य विभाजकों के लिए कोई समस्या नहीं है क्योंकि उनके पास कोई छोटा गुणनखंड नहीं है।

अभाज्य भाजक

लक्ष्य 10 मापांक के व्युत्क्रम को विचाराधीन अभाज्य ज्ञात करना है (2 या 5 के लिए काम नहीं करता है) और उस अभाज्य द्वारा मूल संख्या की विभाज्यता बनाने के लिए गुणक के रूप में इसका उपयोग नए की विभाज्यता पर निर्भर करता है (सामान्यतः छोटा) ) एक ही अभाज्य संख्या द्वारा। उदाहरण के तौर पर 31 का प्रयोग करते हुए, चूंकि 10 × (−3) = −30 = 1 मॉड 31, हमें ऊपर दी गई तालिका में y - 3x का उपयोग करने का नियम प्राप्त होता है। इसी तरह, चूंकि 10 × (28) = 280 = 1 मॉड 31 भी, हम उसी तरह का एक पूरक नियम y + 28x प्राप्त करते हैं - जोड़ या घटाव की हमारी पसंद छोटे मूल्य की अंकगणितीय सुविधा द्वारा निर्धारित की जाती है। वास्तव में, 2 और 5 के अलावा अभाज्य भाजक के लिए यह नियम वास्तव में किसी भी पूर्णांक से विभाज्यता के लिए एक नियम है जो अपेक्षाकृत अभाज्य है 10 (33 और 39 सहित, नीचे दी गई तालिका देखें)। यही कारण है कि किसी भी संख्या के लिए ऊपर और नीचे की तालिका में अंतिम विभाज्यता की स्थिति अपेक्षाकृत अभाज्य 10 के लिए एक ही तरह का रूप है (बाकी संख्या से अंतिम अंक के कुछ गुणकों को जोड़ें या घटाएं)।

उल्लेखनीय उदाहरण

निम्नलिखित तालिका कुछ अन्य उल्लेखनीय भाजक के लिए नियम प्रदान करती है:

भाजक	विभाज्यता की स्थिति	उदाहरण
31	अंतिम अंक को शेष से तीन गुना घटाएं।	837: 83 − 3×7 = 62
32	अंतिम पांच अंकों से बनी संख्या 32 से विभाज्य है।^[2]^[3]	25,135,520: 35,520=1110×32
	यदि दस हजार का अंक सम है, तो अंतिम चार अंकों से बनी संख्या की जाँच करें।	41,312: 1312
	यदि दस हजार का अंक विषम है, तो अंतिम चार अंक जमा 16 से बनी संख्या की जांच करें।	254,176: 4176+16 = 4192
	अंतिम दो अंकों को बाकी के 4 गुना में जोड़ें।	1312: (13×4) + 12 = 64
33	शेष में अंतिम अंक का 10 गुना जोड़ें।	627: 62 + 10×7 = 132, 13 + 10×2 = 33
	दाएं से बाएं दो के ब्लॉक में अंकों को जोड़ें।	2145: 21 + 45 = 66
	यह 3 और 11 से विभाज्य है।	627: 6−2+7 = 11 और 6 + 2 + 7 = 15 = 3 × 5
35	यह 7 और 5 से विभाज्य है।	595: 59 - (2×5) = 49 = 7×7। और संख्या 5 में समाप्त होती है।
37	अंकों को दाएं से बाएं तीन के ब्लॉक में लें और प्रत्येक ब्लॉक को जोड़ें।	2,651,272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 = 37×25
37	शेष से अंतिम अंक का 11 गुना घटाएं।	925: 92 − (5×11) = 37
39	यह 3 और 13 से विभाज्य है।	351: 35 − 1 = 34 और 3 + 5 + 4 = 12 = 3 × 4
39	शेष में अंतिम अंक का 4 गुना जोड़ें।	351: 35 + (1 × 4) = 39
41	दाएं से बाएं पांच के ब्लॉक में अंकों का योग करें।	72,841,536,727: 7 + 28,415 + 36,727 = 65,149 = 41×1,589
41	शेष से अंतिम अंक का 4 गुना घटाएं।	738: 73 − 8 × 4 = 41
43	शेष में अंतिम अंक का 13 गुना जोड़ें।	36,249: 3624 + 9 × 13 = 3741, 374 + 1 × 13 = 387, 38 + 7 × 13 = 129, 12 + 9 × 13 = 129 = 43 × 3
43	शेष से अंतिम दो अंकों का 3 गुना घटाएं।	36,249: 362 − 49 × 3 = 215 = 43 × 5
45	यह 9 और 5 से विभाज्य है।^[6]	2025: 5 और 2+0+2+5=9 में समाप्त।
47	शेष से अंतिम अंक का 14 गुना घटाएं।	1,642,979: 164297 − 9 × 14 = 164171, 16417 − 14 = 16403, 1640 − 3 × 14 = 1598, 159 − 8 × 14 = 47
47	अंतिम दो अंकों को शेष के 6 गुना में जोड़ें।	705: 7 × 6 + 5 = 47
49	अंतिम अंक का 5 गुना शेष में जोड़ें।	1,127: 112+(7×5)=147 147: 14 + (7×5) = 49
49	अंतिम दो अंकों को शेष के 2 गुना में जोड़ें।	588: 5 × 2 + 88 = 98
50	अंतिम दो अंक 00 या 50 हैं।	134,250: 50
51	संख्या 3 और 17 से विभाज्य होनी चाहिए।	459: 4 × 2 − 59 = −51, और 4 + 5 + 9 = 18 = 3 × 6
	शेष से अंतिम अंक का 5 गुना घटाएं।	204: 20−(4×5)=0
	अंतिम दो अंकों को शेष के 2 गुणा से घटाएं।	459: 4 × 2 − 59 = −51
53	शेष में अंतिम अंक का 16 गुना जोड़ें।	3657: 365+(7×16)=477 = 9 × 53
53	अंतिम दो अंकों को बाकी के 6 गुना से घटाएं।	5777: 57 × 6 − 77 = 265
55	संख्या 0 या 5 पर समाप्त होने वाले 11 से विभाज्य होनी चाहिए।^[6]	605: 5 में समाप्त होता है और 60−5= 55 = 11×5।
57	संख्या 3 और 19 से विभाज्य होनी चाहिए।	3591: 359 + 1 × 2 = 361 = 19 × 19, और 3 + 5 + 9 + 1 = 15 = 3 × 5
57	शेष से अंतिम अंक का 17 गुना घटाएं।	3591: 359 − 17 = 342, 34 − 2 × 17 = 0
59	अंतिम अंक का 6 गुना शेष में जोड़ें।	295: 29 + 5×6= 59
61	शेष से अंतिम अंक का 6 गुना घटाएं।	732: 73−(2×6)=61
64	अंतिम छह अंकों से बनी संख्या 64 से विभाज्य होनी चाहिए।^[2]^[3]	2,640,000: 640,000 64 से विभाज्य है।
65	संख्या 0 या 5 पर समाप्त होने वाले 13 से विभाज्य होनी चाहिए।^[6]	3,185: 318 + (5×4) = 338 = 13×26। और संख्या 5 में समाप्त होती है।
67	अंतिम दो अंकों को शेष से दो बार घटाएं।	9112: 91 − 12×2= 67
67	शेष से अंतिम अंक का 20 गुना घटाएं।	4489: 448−9×20=448−180=268
69	संख्या 3 और 23 से विभाज्य होनी चाहिए।	345: 3 + 4 + 5 = 12 = 3 × 4, और 34 + 5 × 9 = 69 = 3 × 23
69	अंतिम अंक का 7 गुना शेष में जोड़ें।	345: 34 + 5×7 = 69
71	शेष से अंतिम अंक का 7 गुना घटाएं।	852: 85−(2×7)=71
73	दाएं से बाएं चार के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं।	220,241: 241 − 22 = 219
73	शेष से अंतिम अंक का 22 गुना जोड़ें।	5329: 532 + 22 × 9 = 730, 7 + 22 × 3 = 73
75	अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 हैं, और सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।^[6]	3675: 75 अंत में है और 3 + 6 + 7 + 5 = 21 = 3×7।
77	संख्या 7 और 11 से विभाज्य है।	693: 69 − 3 = 66 = 11 × 6, और 69 − (6 × 2) = 63 = 7 × 9
77	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं।	76,923: 923 − 76 = 847
79	शेष में अंतिम अंक का 8 गुना जोड़ें।	711: 71 + 1×8= 79
81	शेष से अंतिम अंक का 8 गुना घटाएं।	162: 16−(2×8)=0
83	शेष में अंतिम अंक का 25 गुना जोड़ें।	581: 58+(1×25)=83
83	अंतिम तीन अंकों को बाकी के चार गुना में जोड़ें।	38,014: (4×38) + 14 = 166
85	संख्या 0 या 5 पर समाप्त होने वाले 17 से विभाज्य होनी चाहिए।	30,855: 3085 - 25 = 3060 = 17×180। और संख्या 5 में समाप्त होती है।
87	संख्या 29 से विभाज्य होनी चाहिए और उसके सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।	2088: 208 + (8 × 3) = 232. 232 = 8 × 29 2 + 0 + 8 + 8 = 18 = 3 × 6
87	शेष से अंतिम अंक का 26 गुना घटाएं।	15138: 1513 − 8 × 26 = 1305, 130 − 5 × 26 = 0
89	शेष में अंतिम अंक का 9 गुना जोड़ें।	801: 80 + 1×9 = 89
89	अंतिम दो अंकों को शेष के ग्यारह गुना में जोड़ें।	712: 12 + (7×11) = 89
91	शेष से अंतिम अंक का 9 गुना घटाएं।	182: 18 − (2×9) = 0
	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं।	5,274,997: 5 − 274 + 997 = 728
	संख्या 7 और 13 से विभाज्य है।	8281: 828+4 = 832. 83+8=91 828−2=826. 82−12=70
95	संख्या 19 से 0 या 5 पर समाप्त होने वाली संख्या से विभाज्य होनी चाहिए।	51,585: 5158 + 10 = 5168, 516 + 16 = 532, 53 + 4 = 57 = 19×3। और संख्या 5 में समाप्त होती है।
97	शेष से अंतिम अंक का 29 गुना घटाएं।	291: 29 − (1×29) = 0
97	अंतिम दो अंकों को बाकी के 3 गुना में जोड़ें।	485: (3×4)+ 85 = 97
99	संख्या 9 और 11 से विभाज्य है।	891: 89 − 1 = 88 8 + 9 + 1 = 18
99	दाएं से बाएं दो के ब्लॉक में अंकों को जोड़ें।	144,837: 14 + 48 + 37 = 99
100	कम से कम दो शून्य के साथ समाप्त होता है।	14100: इसके अंत में दो शून्य होते हैं।
101	दाएं से बाएं दो के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं।	40,299: 4 − 2 + 99 = 101
103	शेष में अंतिम अंक का 31 गुना जोड़ें।	585658: 58565 + (8×31) = 58813. 58813 : 103 = 571
103	अंतिम दो अंकों को बाकी के 3 गुना से घटाएं।	5356: (53×3) − 56 = 103
107	शेष से अंतिम अंक का 32 गुना घटाएं।	428: 42 − (8×32) = −214
107	अंतिम दो अंकों को शेष के 7 गुना से घटाएं।	1712: 17 × 7 − 12 = 107
109	शेष में अंतिम अंक का 11 गुना जोड़ें।	654: 65 + (11×4) = 109
111	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉक में अंकों को जोड़ें।	1,370,184: 1 + 370 + 184 = 555
113	शेष से अंतिम अंक का 34 गुना जोड़ें।	3842: 384 + 34 × 2 = 452, 45 + 34 × 2 = 113
121	शेष से अंतिम अंक का 12 गुना घटाएं।	847: 84 − 12 × 7 = 0
125	अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 125 से विभाज्य होनी चाहिए।^[3]	2,125: 125, 125 से विभाज्य है।
127	शेष से अंतिम अंक का 38 गुना घटाएं।	4953: 495 − 38 × 3 = 381, 38 − 38 × 1 = 0
128	अंतिम सात अंकों से बनी संख्या 128 से विभाज्य होनी चाहिए।^[2]^[3]
131	शेष से अंतिम अंक का 13 गुना घटाएं।	1834: 183 − 13 × 4 = 131, 13 − 13 = 0
137	दाएं से बाएं चार के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं।	340,171: 171 − 34 = 137
139	शेष से अंतिम अंक का 14 गुना जोड़ें।	1946: 194 + 14 × 6 = 278, 27 + 14 × 8 = 139
143	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं।	1,774,487: 1 − 774 + 487 = −286
	शेष में अंतिम अंक का 43 गुना जोड़ें।	6149: 614 + 43 × 9 = 1001, 100 + 43 = 143
	संख्या 11 और 13 से विभाज्य होनी चाहिए।	2,431: 243 − 1 = 242. 242 = 11 × 22 243 + 4 = 247. 247 = 13 × 19
149	शेष से अंतिम अंक का 15 गुना जोड़ें।	2235: 223 + 15 × 5 = 298, 29 + 15 × 8 = 149
151	शेष से अंतिम अंक का 15 गुना घटाएं।	66,893: 6689 − 15 × 3 = 6644 = 151×44
157	शेष से अंतिम अंक का 47 गुना घटाएं।	7536: 753 − 47 × 6 = 471, 47 − 47 = 0
163	शेष में अंतिम अंक का 49 गुना जोड़ें।	26,569: 2656 + 441 = 3097 = 163×19
167	शेष से अंतिम दो अंकों का 5 गुना घटाएं।	53,774: 537 − 5 × 74 = 167
173	शेष में अंतिम अंक का 52 गुना जोड़ें।	8996: 899 + 52 × 6 = 1211, 121 + 52 = 173
179	शेष में अंतिम अंक का 18 गुना जोड़ें।	3222: 322 + 18 × 2 = 358, 35 + 18 × 8 = 179
181	शेष से अंतिम अंक का 18 गुना घटाएं।	3258: 325 − 18 × 8 = 181, 18 − 18 = 0
191	शेष से अंतिम अंक का 19 गुना घटाएं।	3629: 362 − 19 × 9 = 191, 19 − 19 = 0
193	शेष में अंतिम अंक का 58 गुना जोड़ें।	11194: 1119 + 58 × 4 = 1351, 135 + 58 = 193
197	शेष से अंतिम अंक का 59 गुना घटाएं।	11820: 118 − 59 × 2 = 0
199	शेष में अंतिम अंक का 20 गुना जोड़ें।	3980: 39 + 20 × 8 = 199
200	संख्या के अंतिम दो अंक "00" हैं, और तीसरा अंतिम अंक एक सम संख्या है।	34,400: तीसरा अंतिम अंक 4 है, और अंतिम दो अंक शून्य हैं।
211	शेष से अंतिम अंक का 21 गुना घटाएं।	44521: 4452 − 21 × 1 = 4431, 443 − 21 × 1 = 422, 42 − 21 × 2 = 0
223	शेष में अंतिम अंक का 67 गुना जोड़ें।	49729: 4972 + 67 × 9 = 5575, 557 + 67 × 5 = 892, 89 + 67 × 2 = 223
225	संख्या "00", "25", "50", या "75" से समाप्त होने वाले 9 से विभाज्य होनी चाहिए।	15,075: 75 अंत में है और 1 + 5 + 0 + 7 + 5 = 18 = 2×9।
227	शेष से अंतिम अंक का 68 गुना घटाएं।	51756: 5175 − 68 × 6 = 4767, 476 − 68 × 7 = 0
229	शेष में अंतिम अंक का 23 गुना जोड़ें।	52441: 5244 + 23 × 1 = 5267, 526 + 23 × 7 = 687, 68 + 23 × 7 = 229
233	शेष में अंतिम अंक का 70 गुना जोड़ें।	54289: 5428 + 70 × 9 = 6058, 605 + 70 × 8 = 1165, 116 + 70 × 5 = 466, 46 + 70 × 6 = 466 = 233 × 2
239	अंकों को सात के ब्लॉक में दाएं से बाएं ले जाएं और प्रत्येक ब्लॉक को जोड़ें।	1,560,000,083: 156 + 83 = 239
239	शेष में अंतिम अंक का 24 गुना जोड़ें।	57121: 5712 + 24 × 1 = 5736, 573 + 24 × 6 = 717, 71 + 24 × 7 = 239
241	शेष से अंतिम अंक का 24 गुना घटाएं।	58081: 5808 − 24 × 1 = 5784, 578 − 24 × 4 = 482, 48 − 24 × 2 = 0
250	अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 250 से विभाज्य होनी चाहिए।^[2]^[3]	1,327,750: 750 250 से विभाज्य है।
251	शेष से अंतिम अंक का 25 गुना घटाएं।	63001: 6300 − 25 × 1 = 6275, 627 − 25 × 5 = 502, 50 − 25 × 2 = 0
256	अंतिम आठ अंकों से बनी संख्या 256 से विभाज्य होनी चाहिए।^[2]^[3]
257	शेष से अंतिम अंक का 77 गुना घटाएं।	66049: 6604 − 77 × 9 = 5911, 591 − 77 × 1 = 514 = 257 × 2
263	शेष में अंतिम अंक का 79 गुना जोड़ें।	69169: 6916 + 79 × 9 = 7627, 762 + 79 × 7 = 1315, 131 + 79 × 5 = 526, 52 + 79 × 6 = 526 = 263 × 2
269	शेष में अंतिम अंक का 27 गुना जोड़ें।	72361: 7236 + 27 × 1 = 7263, 726 + 27 × 3 = 807, 80 + 27 × 7 = 269
271	अंकों को पांच के ब्लॉक में दाएं से बाएं ले जाएं और प्रत्येक ब्लॉक को जोड़ें।	77,925,613,961: 7 + 79,256 + 13,961 = 93,224 = 271×344
271	शेष से अंतिम अंक का 27 गुना घटाएं।	73441: 7344 − 27 × 1 = 7317, 731 − 27 × 7 = 542, 54 − 27 × 2 = 0
277	शेष से अंतिम अंक का 83 गुना घटाएं।	76729: 7672 − 83 × 9 = 6925, 692 − 83 × 5 = 277
281	शेष से अंतिम अंक का 28 गुना घटाएं।	78961: 7896 − 28 × 1 = 7868, 786 − 28 × 8 = 562, 56 − 28 × 2 = 0
283	शेष में अंतिम अंक का 85 गुना जोड़ें।	80089: 8008 + 85 × 9 = 8773, 877 + 85 × 3 = 1132, 113 + 85 × 2 = 283
293	शेष में अंतिम अंक का 88 गुना जोड़ें।	85849: 8584 + 88 × 9 = 9376, 937 + 88 × 6 = 1465, 146 + 88 × 5 = 586, 58 + 88 × 6 = 586 = 293 × 2
300	संख्या के अंतिम दो अंक "00" हैं, और योग का परिणाम अंकों को 3 से विभाज्य होना चाहिए।	3,300: अंकों के योग का परिणाम 6 है, और अंतिम दो अंक शून्य हैं।
329	शेष में अंतिम अंक का 33 गुना जोड़ें।	9541:954+1×33=954+33=987. 987=3×329
331	शेष से अंतिम अंक का 33 गुना घटाएं।	22177: 2217−231=1986. 1986=6×331
333	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉक में अंकों को जोड़ें।	410,922: 410 + 922 = 1,332
369	अंकों को पांच के ब्लॉक में दाएं से बाएं ले जाएं और प्रत्येक ब्लॉक को जोड़ें।	50243409: 43409+502=43911. 43911=369×119
369	शेष में अंतिम अंक का 37 गुना जोड़ें।	8487: 848+7×37=848+259=1107
375	अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 125 से विभाज्य होनी चाहिए और सभी अंकों का योग 3 का गुणज है।	140,625: 625 = 125×5 और 1 + 4 + 0 + 6 + 2 + 5 = 18 = 6×3
499	अंतिम तीन अंकों को शेष के दो गुना में जोड़ें।	74,351: 74 × 2 + 351 = 499
500	000 या 500 के साथ समाप्त होता है।	47,500 500 से विभाज्य है।
512	अंतिम नौ अंकों से बनी संख्या 512 से विभाज्य होनी चाहिए।^[2]^[3]
625	0000, 0625, 1250, 1875, 2500, 3125, 3750, 4375, 5000, 5625, 6250, 6875, 7500, 8125, 8750 या 9375 में समाप्त होता है। या, अंतिम चार अंकों से बनी संख्या 625 से विभाज्य है।	567,886,875: 6875
983	अंतिम तीन अंकों को शेष के सत्रह गुणा में जोड़ें।	64878: 64×17+878=1966। 1966=2×983
987	अंतिम तीन अंकों को शेष के तेरह गुना में जोड़ें।	30597: 30×13+597=987
987	संख्या 329 से विभाज्य होनी चाहिए और सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।	547785: 5+4+7+7+8+5=36. 36=3×12 54778+5×33=54943. 5494+3×33=5593 559+3×33=658. 658=2×329
989	अंतिम तीन अंकों को शेष के ग्यारह गुना में जोड़ें।	21758: 21 × 11 = 231; 758 + 231 = 989
989	संख्या 23 और 43 से विभाज्य होनी चाहिए।	1978: 197+56=253. 253=11×23 197+104=301. 301=7×43
993	अंतिम तीन अंकों को शेष के सात गुना में जोड़ें।	986049: 49+6902=6951. 6951=7×993
993	संख्या 331 से विभाज्य होनी चाहिए और सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।	8937: 8+7=15. 15=3×5. (नोट: 9 और 3 का योग होना आवश्यक नहीं है, वे 3 से विभाज्य हैं।) 893−231=662. 662=2×331
997	अंतिम तीन अंकों को बाकी के तीन गुना में जोड़ें।	157,526: 157 × 3 + 526= 997
999	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉक में अंकों को जोड़ें।	235,764: 235 + 764 = 999
1000	कम से कम तीन शून्य के साथ समाप्त होता है।	2000 3 शून्य के साथ समाप्त होता है

व्यापक विभाजन नियम

D से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, जहां D 1, 3, 7, या 9 में समाप्त होता है, निम्नलिखित विधि का उपयोग किया जा सकता है।^[12] 9 में समाप्त होने वाले D का कोई भी गुणज ज्ञात कीजिए। (यदि D क्रमशः 1, 3, 7, या 9 में समाप्त होता है, तो 9, 3, 7 या 1 से गुणा करें) फिर 1 जोड़ें और 10 से विभाजित करें, परिणाम को m के रूप में दर्शाते हुए। फिर एक संख्या N = 10t + q, D से विभाज्य है यदि और केवल यदि mq + t, D से विभाज्य है। यदि संख्या बहुत बड़ी है, तो आप इसे 10^e = 1 या 10^e = -1 (मॉड D) को संतुष्ट करते हुए, प्रत्येक ई अंकों के साथ कई स्ट्रिंग्स में तोड़ सकते हैं। संख्याओं के योग (या वैकल्पिक योग) में वही विभाज्यता होती है जो मूल संख्या में होती है।

उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या 913 = 10×91 + 3 11 से विभाज्य है, ज्ञात करें कि m = (11×9+1)÷10 = 10। फिर mq+t = 10×3+91 = 121, यह 11 (भागफल 11 के साथ) से विभाज्य है, इसलिए 913 भी 11 से विभाज्य है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या 689 = 10×68 + 9 53 से विभाज्य है, ज्ञात कीजिए कि m = (53×3+1)÷10 = 16। तब mq+t = 16×9 + 68 = 212, जो 53 से विभाज्य है (भागफल 4 के साथ), अत: 689 भी 53 से विभाज्य है।

कल्पिक रूप से, कोई भी संख्या Q = 10c + d, n = 10a + b से विभाज्य है, जैसे कि gcd(n, 2, 5) = 1, यदि c + D(n)d = किसी पूर्णांक A के लिए An, जहाँ: $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$

अनुक्रम की पहली कुछ शर्तें, D(n) द्वारा उत्पन्न 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2, ... (अनुक्रम A333448 OEIS में) हैं।

D(n) का खंडशः रूप और इसके द्वारा उत्पन्न अनुक्रम को पहली बार मार्च 2020 में बल्गेरियाई गणितज्ञ इवान स्टोयकोव द्वारा प्रकाशित किया गया।^[13]

प्रमाण

मूल बीजगणित का उपयोग कर प्रमाण

कई सरल नियम केवल बीजगणितीय प्रकलन का उपयोग करके, द्विपद बनाकर और उन्हें पुनर्व्यवस्थित करके तैयार किए जा सकते हैं। एक संख्या को प्रत्येक अंक के गुणा के योग के रूप में लिखकर प्रत्येक अंक की घात 10 की घात का व्यक्तिगत रूप से प्रकलन किया जा सकता है।

वह स्थिति जहाँ सभी अंकों का योग किया जाता है

यह विधि उन भाजक के लिए कार्य करती है जो 10 - 1 = 9 के गुणनखंड हैं।

एक उदाहरण के रूप में 3 का उपयोग करते हुए, 3 विभाजित 9 = 10 - 1। इसका मतलब है कि $10\equiv 1{\pmod {3}}$ (मापांकर अंकगणित देखें)। 10 की सभी उच्च घातों के लिए समान: $10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}$ वे सभी 1 मापांक 3 के सर्वांगसम हैं। चूंकि दो चीजें जो सर्वांगसम मापांक 3 हैं, या तो दोनों 3 से विभाज्य हैं या दोनों नहीं हैं, हम उन मानों का विनिमय कर सकते हैं जो सर्वांगसम मापांक 3 हैं। इसलिए, एक संख्या में जैसे कि निम्नलिखित, हम 10 की सभी घातों को 1 से प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c\equiv (1)a+(1)b+(1)c{\pmod {3}}

जो अंकों का ठीक योग है।

वह स्थिति जहाँ अंकों के प्रत्यावर्ती योग का उपयोग किया जाता है

यह विधि उन भाजक के लिए कार्य करती है जो 10 + 1 = 11 के गुणनखंड हैं।

उदाहरण के तौर पर 11 का उपयोग करते हुए, 11 11 = 10 + 1 को विभाजित करता है। इसका अर्थ है $10\equiv -1{\pmod {11}}$ । 10 की उच्च घातों के लिए, वे सम घातों के लिए 1 और विषम घातों के लिए -1 के सर्वांगसम हैं:

10^{n}\equiv (-1)^{n}\equiv {\begin{cases}1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\-1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}{\pmod {11}}.

पूर्व स्थिति की तरह, हम सर्वांगसम मूल्यों के साथ 10 की घातों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+1\cdot d\equiv (-1)a+(1)b+(-1)c+(1)d{\pmod {11}}

जो विषम पदों पर अंकों के योग और सम पदों पर अंकों के योग के बीच का अंतर भी है।

वह स्थिति जहां केवल अंतिम अंक मायने रखता है

यह उन भाजक पर लागू होता है जो 10 की शक्ति का एक कारक हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि आधार की पर्याप्त रूप से उच्च शक्तियां भाजक के गुणक हैं, और समाप्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आधार 10 में, 10¹ के गुणनखंड में 2, 5, और 10 शामिल हैं। इसलिए, 2, 5, और 10 से विभाज्यता केवल इस बात पर निर्भर करती है कि क्या अंतिम 1 अंक उन भाजक से विभाज्य है। 10² के गुणनखंड में 4 और 25 शामिल हैं, और उनके द्वारा विभाज्यता केवल अंतिम 2 अंकों पर निर्भर करती है।

वह स्थिति जहां केवल अंतिम अंक हटा दिए जाते हैं

अधिकांश संख्याएँ 9 या 10 को समान रूप से विभाजित नहीं करती हैं, लेकिन 10ⁿ या 10ⁿ − 1 की उच्च शक्ति को विभाजित करती हैं। इस स्थिति में संख्या अभी भी 10 की घात में लिखी जाती है, लेकिन पूरी तरह से विस्तारित नहीं होती है।

उदाहरण के लिए, 7 9 या 10 को विभाजित नहीं करता है, लेकिन 98 को विभाजित करता है, जो कि 100 के करीब है। इस प्रकार, आगे बढ़ें

100\cdot a+b

जहाँ इस स्थिति में a कोई पूर्णांक है, और b, 0 से 99 के बीच हो सकता है। अगला,

(98+2)\cdot a+b

और फिर से विस्तार

98\cdot a+2\cdot a+b,

और 7 के ज्ञात गुणज को समाप्त करने के बाद, परिणाम होता है

2\cdot a+b,

जो नियम है "अंतिम दो अंकों को छोड़कर सभी से बनी संख्या को दोगुना करें, फिर अंतिम दो अंकों को जोड़ें"।

वह स्थिति जहां अंतिम अंक (अंकों) को एक कारक से गुणा किया जाता है

संख्या के निरूपण को भाजक के सापेक्ष किसी भी संख्या से उसकी विभाज्यता में परिवर्तन किए बिना गुणा किया जा सकता है I यह देखने के बाद कि 7 भाग 21 को, हम निम्न कार्य कर सकते हैं:

10\cdot a+b,

2 से गुणा करने के बाद, निम्न प्राप्त होता है

20\cdot a+2\cdot b,

और फिर

(21-1)\cdot a+2\cdot b.

21 को समाप्त करने पर निम्न प्राप्त होता है

-1\cdot a+2\cdot b,

और −1 द्वारा गुणा करने पर निम्न प्राप्त होता है

a-2\cdot b.

पिछले दो नियमों में से किसी एक का उपयोग किया जा सकता है, जिसके आधार पर प्रदर्शन करना आसान है। वे नियम के अनुरूप हैं "शेष से दो बार अंतिम अंक घटाएं"।

मापांकर अंकगणित का उपयोग करके प्रमाण

यह खंड मूल विधि का वर्णन करता है, सभी नियम एक ही प्रक्रिया के बाद प्राप्त किए जा सकते हैं। निम्नलिखित के लिए मापांकर अंकगणित में एक मूल आधार की आवश्यकता है, 2 और 5 के अलावा अन्य विभाज्यता के लिए प्रमाण इस मूल तथ्य पर टिके हुए हैं कि यदि 10 और m अपेक्षाकृत अभाज्य हैं तो 10 मॉड m विपरीत हो सकता है।

2ⁿ या 5ⁿ के लिए:

केवल अंतिम n अंकों की जाँच करने की आवश्यकता है।

10^{n}=2^{n}\cdot 5^{n}\equiv 0{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}

x को $10^{n}\cdot y+z,$ के रूप में प्रदर्शित करना,

x=10^{n}\cdot y+z\equiv z{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}

और x की विभाज्यता z की विभाज्यता के समान है।

7 के लिए:

चूँकि 10 × 5 ≡ 10 × (−2) ≡ 1 (मोड 7) हम निम्नलिखित कर सकते हैं

x को $10\cdot y+z,$ के रूप में प्रदर्शित करना,

-2x\equiv y-2z{\pmod {7}},

अतः x, 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि y - 2z, 7 से विभाज्य है।

यह भी देखें

शून्य से विभाजन
सममूल्यता (गणित)

संदर्भ

↑ Gardner, Martin (September 1962). "Mathematical Games: Tests that show whether a large number can be divided by a number from 2 to 12". Scientific American. 207 (3): 232–246. doi:10.1038/scientificamerican0962-232. JSTOR 24936675.
↑ ^2.00 ^2.01 ^2.02 ^2.03 ^2.04 ^2.05 ^2.06 ^2.07 ^2.08 ^2.09 ^2.10 ^2.11 ^2.12 ^2.13 ^2.14 ^2.15 ^2.16 This follows from Pascal's criterion. See Kisačanin (1998), p. 100–101
↑ ^3.00 ^3.01 ^3.02 ^3.03 ^3.04 ^3.05 ^3.06 ^3.07 ^3.08 ^3.09 ^3.10 ^3.11 ^3.12 ^3.13 ^3.14 ^3.15 A number is divisible by 2^m, 5^m or 10^m if and only if the number formed by the last m digits is divisible by that number. See Richmond & Richmond (2009), p. 105
↑ ^4.0 ^4.1 Apostol (1976), p. 108
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↑ Simon Ellis (September 18, 2019), A new test for divisibility by 7?
↑ "Chika's Test". Westminster Under School (in British English). 2019-09-20. Retrieved 2021-03-17.
↑ Su, Francis E. ""Divisibility by Seven" Mudd Math Fun Facts". Archived from the original on 2019-06-13. Retrieved 2006-12-12.
↑ पृष्ठ 274, वैदिक गणित: सोलह सरल गणितीय सूत्र, स्वामी शंकरकार्य द्वारा, मोतीलाल बानसिडास, वाराणसी, भारत, 1965, दिल्ली, 1978 द्वारा प्रकाशित। 367 पृष्ठ।
↑ डंकेल्स, आंद्रेज, नोट 82.53 पर टिप्पणियां-विभाजन के लिए एक सामान्यीकृत परीक्षण, गणितीय राजपत्र 84, मार्च 2000, 79-81।
↑ Stoykov, Ivan (March 2020). "OEIS A333448". Oeis A333448.

स्रोत

Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Vol. 1. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3.
Kisačanin, Branislav (1998). Mathematical problems and proofs: combinatorics, number theory, and geometry. Plenum Press. ISBN 978-0-306-45967-2.
Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. Pure and Applied Undergraduate Texts. Vol. 3. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4789-3.

बाहरी संबंध

Divisibility Criteria at cut−the−knot
Stupid Divisibility Tricks Divisibility rules for 2–100.

]

[1] Gardner, Martin (September 1962). "Mathematical Games: Tests that show whether a large number can be divided by a number from 2 to 12". Scientific American. 207 (3): 232–246. doi:10.1038/scientificamerican0962-232. JSTOR 24936675.

[Pascal's-criterion-2] 2.00 ^2.01 ^2.02 ^2.03 ^2.04 ^2.05 ^2.06 ^2.07 ^2.08 ^2.09 ^2.10 ^2.11 ^2.12 ^2.13 ^2.14 ^2.15 ^2.16 This follows from Pascal's criterion. See Kisačanin (1998), p. 100–101

[last-m-digits-3] 3.00 ^3.01 ^3.02 ^3.03 ^3.04 ^3.05 ^3.06 ^3.07 ^3.08 ^3.09 ^3.10 ^3.11 ^3.12 ^3.13 ^3.14 ^3.15 A number is divisible by 2^m, 5^m or 10^m if and only if the number formed by the last m digits is divisible by that number. See Richmond & Richmond (2009), p. 105

[apostol-1976-4] 4.0 ^4.1 Apostol (1976), p. 108

[Richmond-Richmond-2009-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Richmond & Richmond (2009), Section 3.4 (Divisibility Tests), p. 102–108

[product-of-coprimes-6] 6.00 ^6.01 ^6.02 ^6.03 ^6.04 ^6.05 ^6.06 ^6.07 ^6.08 ^6.09 ^6.10 ^6.11 ^6.12 ^6.13 ^6.14 ^6.15 ^6.16 Richmond & Richmond (2009), Section 3.4 (Divisibility Tests), Theorem 3.4.3, p. 107

[alternating-sum-of-blocks-of-three-7] 7.0 ^7.1 Kisačanin (1998), p. 101

[8] Simon Ellis (September 18, 2019), A new test for divisibility by 7?

[7Divis-9] "Chika's Test". Westminster Under School (in British English). 2019-09-20. Retrieved 2021-03-17.

[7Divis1-10] Su, Francis E. ""Divisibility by Seven" Mudd Math Fun Facts". Archived from the original on 2019-06-13. Retrieved 2006-12-12.

[11] पृष्ठ 274, वैदिक गणित: सोलह सरल गणितीय सूत्र, स्वामी शंकरकार्य द्वारा, मोतीलाल बानसिडास, वाराणसी, भारत, 1965, दिल्ली, 1978 द्वारा प्रकाशित। 367 पृष्ठ।

[12] डंकेल्स, आंद्रेज, नोट 82.53 पर टिप्पणियां-विभाजन के लिए एक सामान्यीकृत परीक्षण, गणितीय राजपत्र 84, मार्च 2000, 79-81।

[auto-13] Stoykov, Ivan (March 2020). "OEIS A333448". Oeis A333448.

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