लेंस (ज्यामिति)

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त्रिज्या के दो वृत्ताकार चापों के मध्य समाहित लेंस R, और केंद्र पर O₁ और O₂

2-आयामी ज्यामिति में, लेंस का उत्तल क्षेत्र होता है जो दो वृताकार चापों से घिरा होता है जो उनके अंत बिंदुओं पर परस्पर जुड़े होते हैं। इस आकृति को उत्तल होने के लिए, दोनों चापों को बाहर की ओर झुकना चाहिए (उत्तल-उत्तल)। यह आकृति दो वृताकार डिस्क (गणित) के प्रतिच्छेदन के रूप में बन सकती है। इसे दो वृत्ताकार खंडों (वृत्त की जीवा (ज्यामिति) और स्वयं वृत्त के मध्य का क्षेत्र) के युग्मन के रूप में भी बनाया जा सकता है, जो सामान्य जीवा के साथ जुड़ा हुआ है।

प्रकार

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दो असममित लेंस (बाएं और दाएं) और सममित लेंस (मध्य में) का उदाहरण

वेसिका पिसिस दो डिस्क (ज्यामिति) की त्रिज्या, R, और केंद्रों के मध्य की दूरी भी R के समान है।

यदि लेंस के दो चापों की त्रिज्या समान है, तो इसे सममित लेंस कहा जाता है, अन्यथा असममित लेंस होता है।

वेसिका पिसिस सममित लेंस का रूप है, जो दो वृत्तों के चापों द्वारा निर्मित होता है, जिनके केंद्र विपरीत चाप पर स्थित होते हैं। चाप अपने अंतिम बिंदुओं पर 120° के कोण पर मिलते हैं।

क्षेत्र

सममित

सममित लेंस के क्षेत्र को रेडियन में त्रिज्या R और चाप की लंबाई θ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है-

$A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right).$

असममित

उनके केंद्रों के मध्य की दूरी d के साथ त्रिज्या R और r के वृत्तों से बने असममित लेंस का क्षेत्रफल है

$A=r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+R^{2}-r^{2}}{2dR}}\right)-2\Delta$

जहाँ

$\Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-d+r+R)(d-r+R)(d+r-R)(d+r+R)}}$

भुजाओं d, r, और R वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

यदि दो वृत्त ओवरलैप करते हैं $d<r+R$ अधिक बड़े के लिए $d$, लेंस केंद्र का समन्वय $x$ दो वृत्त केंद्रों के निर्देशांक के मध्य स्थित है-

d की दूरी पर त्रिज्या R और r के दो गोलाकार चापों के बीच एक लेंस समाहित है छोटे के लिए $d$, लेंस केंद्र का समन्वय $x$ उस रेखा के बाहर स्थित होता है जो वृत्त केंद्रों को जोड़ती है-

d की दूरी पर त्रिज्या R और r के दो गोलाकार चापों के बीच एक लेंस समाहित है वृत्त समीकरणों से y को विस्थापित करने पर $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ और $(x-d)^{2}+y^{2}=R^{2}$ प्रतिच्छेदी रिम्स की भुज और कोटि है-

$x=(d^{2}+r^{2}-R^{2})/(2d)$.

x का चिह्न, अर्थात, $d^{2}$ से बड़ा या छोटा होना $R^{2}-r^{2}$, छवियों में प्रदर्शित की गयी दो स्तिथियों को भिन्न करता है।

प्रतिच्छेदन का भुज और कोटि है-

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={\frac {\sqrt {[(R-d)^{2}-r^{2}][r^{2}-(R+d)^{2}]}}{2d}}$.

वर्गमूल के अंतर्गत ऋणात्मक मान संकेत करते हैं कि दो वृत्तों के घेरे स्पर्श नहीं करते हैं,

क्योंकि वृत्त अधिक दूर हैं या वृत्त दूसरे के भीतर पूर्ण रूप से स्थित होती है।

वर्गमूल के अंतर्गत मान d का द्विवर्गीय बहुपद है। इस बहुपद की चार जड़ें y = 0 और d के चार मानों के साथ जुड़ी हुई हैं, जहाँ दो वृत्तों में बिंदु उभयनिष्ठ होता है।

भुजाओं d, r और R वाले नीले त्रिभुज में कोण हैं

$\sin a_{r}=y/r;\quad \sin a_{R}=y/R$

जहाँ y प्रतिच्छेदन की कोटि है। यदि $d^{2}<R^{2}-r^{2}$ आर्क्सिन की शाखा $a_{r}>\pi /2$ के साथ लिया जाता है|

त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta ={\frac {1}{2}}yd$ है|

असममित लेंस का क्षेत्रफल $A=a_{r}r^{2}+a_{R}R^{2}-yd$ है, जहाँ दो कोणों को रेडियन में मापा जाता है।

[यह समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का अनुप्रयोग है: केंद्रीय के साथ (0,0) और (d, 0) पर केंद्रित दो परिपत्र क्षेत्र

$2a_{r}$ और $$