लाई अधि-बीजगणित

गणित में, लाई अधि-बीजगणित Z₂‑श्रेणीबद्ध बीजगणित को सम्मिलित करने के लिए लाई बीजगणित का सामान्यीकरण है। सैद्धांतिक भौतिकी में अधि-बीजगणित महत्वपूर्ण हैं जहां उनका उपयोग अतिसममिति के गणित का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इनमें से अधिकांश सिद्धांतों में, अधि-बीजगणित के सम अवयव बोसॉन के अनुरूप होते हैं और विषम अवयव फरमिओन्स के अनुरूप होते हैं (किन्तु यह सदैव सत्य नहीं होता है; उदाहरण के लिए, सर्वोत्तम अतिसममिति इसकी दूसरी विधि है)।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, लाई अधि-बीजगणित गैर-सहयोगी Z₂-श्रेणीबद्ध बीजगणित, या अधि-बीजगणित है, जो एक क्रमविनिमेय वलय (सामान्यतः 'R' या 'C') पर होता है, जिसका उत्पाद [···], जिसे 'लाइ सुपरब्रैकेट' या सुपरकम्यूटेटर कहा जाता है,दो स्थितियों (सामान्य के अनुरूप) को संतुष्ट करता है श्रेणीकरण के साथ बीजगणित स्वयंसिद्ध लाई):

सुपर परोक्ष-समरूपता:

$[x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\$

सुपर जैकोबी पहचान:

$(-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,$

जहां 'Z'₂-श्रेणीकरण में x, y, और z शुद्ध हैं। जहाँ, |x| x की डिग्री को दर्शाता है (या तो 0 या 1)। [x,y] की डिग्री x और y मापदंड 2 की डिग्री का योग है।

कोई कभी-कभी |x|= 0 के लिए स्वयंसिद्ध $[x,x]=0$ भी जोड़ता है (यदि 2 विपरीत है तो यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है) और |x|= 1 के लिए $[[x,x],x]=0$ (यदि 3 विपरीत है तो यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है)। जब क्षेत्र वलय पूर्णांक होती है या लाई अधि-बीजगणित स्वतंत्र मापदंड होता है, तो ये स्थितियाँ उस स्थिति के समान होती हैं जो पोंकारे-बिरखॉफ़-विट प्रमेय रखती हैं (और, सामान्य रूप पर, वे प्रमेय को धारण करने के लिए आवश्यक नियम हैं)।

इस प्रकार से लाई बीजगणित की ही तरह, लाई अधि-बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित को हॉपफ बीजगणित संरचना दी जा सकती है।

एक श्रेणीबद्ध लाई बीजगणित (मान लीजिए, 'Z' या 'N' द्वारा वर्गीकृत) जो कि प्रतिसंक्रामक है और श्रेणीबद्ध अर्थ में जैकोबी $Z_{2}$ के पास भी है श्रेणीकरण (जिसे बीजगणित को विषम और सम भागों में "रोलिंग अप" कहा जाता है), किन्तु इसे "सुपर" नहीं कहा जाता है। किन्तु विचार के लिए श्रेणीबद्ध लाई बीजगणित पर नोट-0 देखें।

गुण

मान लीजिये ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ लाई अधि-बीजगणित बनें। जैकोबी पहचान का निरीक्षण करने पर, कोई यह देख सकता है कि आठ स्तिथि हैं जो इस तथ्य पर निर्भर करते हैं कि तर्क सम या विषम हैं । ये चार वर्गों में आते हैं, जिन्हें विषम अवयवो की संख्या के आधार पर अनुक्रमित किया जाता है:

1. कोई विषम अवयव नहीं. कथन केवल इतना ही है कि ${\mathfrak {g}}_{0}$ एक सामान्य लाई बीजगणित है.
2. एक विषम अवयव . तब ${\mathfrak {g}}_{1}$क्रिया ${\mathfrak {g}}_{0}$ के लिए $\mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}$ मापदंड है .
3. द्वीय विषम अवयव . जैकोबी पहचान कहती है कि ब्रैकेट ${\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}$ एक सममित ${\mathfrak {g}}_{1}$-मानचित्र है।
4. तृतीय विषम अवयव . सभी के लिए $b\in {\mathfrak {g}}_{1}$, $[b,[b,b]]=0$.

इस प्रकार एक लाई अधि-बीजगणित का सम उपबीजगणित ${\mathfrak {g}}_{0}$ एक (सामान्य) लाई बीजगणित बनाता है क्योंकि सभी चिह्न विलुप्त हो जाते हैं, और सुपरब्रैकेट एक सामान्य लाई ब्रैकेट बन जाता है, जबकि ${\mathfrak {g}}_{1}$, ${\mathfrak {g}}_{0}$ का एक रैखिक प्रतिनिधित्व है और एक सममित ${\mathfrak {g}}_{0}$-समतुल्य रेखीय मानचित्र $\{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}$ उपस्तिथ है। वह,

$[\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.$

स्थितियाँ (1)-(3) रैखिक हैं और सभी को सामान्य लाई बीजगणित के संदर्भ में समझा जा सकता है। नियम (4) अरैखिक है, और सामान्य लाई बीजगणित (${\mathfrak {g}}_{0}$) और प्रतिनिधित्व (${}_{}$