रोमन सतह

File:Steiner's Roman Surface.gif

रोमन सतह का एक एनीमेशन

गणित में, रोमन सतह या स्टेनर सतह असाधारण रूप से उच्च स्तर की समरूपता के साथ त्रि-आयामी स्थान में वास्तविक प्रक्षेपी तल का एक स्व-प्रतिच्छेदन मानचित्र (गणित) है। यद्दपि, एक वक्र के छह विलक्षण बिंदुओं को हटाने से उत्पन्न होने वाला आंकड़ा एक है,तो यह वास्तविक प्रक्षेपी तल का निमज्जन (गणित) नहीं है। इसका नाम इसलिए पड़ा क्योंकि इसकी खोज जैकब स्टेनर ने की थी जब वह 1844 में रोम में थे।

सबसे सरल निर्माण मानचित्र के नीचे उत्पत्ति पर केंद्रित क्षेत्र की छवि के रूप में है $f(x,y,z)=(yz,xz,xy).$ यह का एक निहित सूत्र देता है

$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,$

साथ ही, देशांतर रेखा के संदर्भ में गोले का मानकीकरण लेना (θ) और अक्षांश (φ), रोमन सतह के लिए निम्नानुसार प्राचलिक समीकरण देता है:

$x=r^{2}\cos \theta \cos \varphi \sin \varphi$

$y=r^{2}\sin \theta \cos \varphi \sin \varphi$

$z=r^{2}\cos \theta \sin \theta \cos ^{2}\varphi$

मूल एक त्रिपक्षीय बिंदु है, और प्रत्येक xy-, yz-, और xz-तल वहां की सतह के स्पर्शरेखा होते हैं। स्व-प्रतिच्छेदन के अन्य स्थान दोहरे बिंदु हैं,जो प्रत्येक समन्वय अक्ष के साथ खंडों को परिभाषित करते हैं जो छह पिंच बिंदुओं में समाप्त होते हैं। यह पूरी सतह में चतुर्पाश्वीय समरूपता समूह है। यह स्टेनर सतह का एक विशेष प्रकार (जिसे टाइप 1 कहा जाता है) है, जो कि वेरोनीज़ सतह का 3-आयामी रैखिक प्रक्षेपण है।

अंतर्निहित सूत्र की व्युत्पत्ति

सरलता के लिए हम केवल स्थिति r = 1 पर विचार करते हैं। बिंदु (x, y, z) द्वारा परिभाषित गोले को इस प्रकार दिया गया है कि

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,$

हम इन बिंदुओं पर परिवर्तन T द्वारा परिभाषित करते हैं $T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,$

लेकिन फिर हमारे पास है

${\begin{aligned}U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{aligned}}$

इसलिए $U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0\,$ जैसी शर्त थी।

इसके विपरीत, मान लीजिए कि हमें (U, V, W) संतोषजनक दिया गया है

(*) $U^2{V}^2+V^2$