रैखिक असमानता

गणित में एक रैखिक असमानता इस प्रकार की असमानता (गणित) है जिसमें एक रैखिक कार्य सम्मिलित होता है। एक रेखीय असमानता में निम्नलिखित असमानता के प्रतीकों में से एक होता है:

• < से कम
• > से अधिक
• ≤ से कम या इसके बराबर
• ≥ से अधिक या इसके बराबर
• ≠ के बराबर नहीं

एक रेखीय असमानता बिल्कुल एक रेखीय समीकरण की तरह दिखती है, जिसमें असमानता का चिह्न समानता के चिह्न को प्रतिस्थापित करता है।

वास्तविक संख्याओं की रेखीय असमानताएँ

द्वि-आयामी रैखिक असमानताएँ

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रैखिक असमानता का ग्राफ:
x + 3y < 9

द्वि-आयामी रैखिक असमानताएँ प्रपत्र के दो चरों में व्यंजक हैं:

$ax+by<c{\text{ and }}ax+by\geq c,$

जहां असमानताएं या तो जटिल हो सकती हैं या सामान्य। इस तरह की असमानता के सरलीकरण समुच्चय को यूक्लिडियन समतल में अर्ध समतल (एक निश्चित रेखा के एक तरफ के सभी बिंदुओं) द्वारा रेखाचित्रण रूप से दर्शाया जा सकता है। वह रेखा जो अर्ध-तलों (ax + by = c) को निर्धारित करती है, वह असमानता के जटिल होने पर सरलीकरण समुच्चय में सम्मिलित नहीं होती है। सरलीकरण समुच्चय में कौन सा अर्ध समतल है यह निर्धारित करने के लिए एक सरल प्रक्रिया एक बिंदु (x) पर ax + by के मान (x₀, y₀) की गणना करना है जो कि रेखा पर नहीं है और इस प्रकार यह देखना कि असमानता संतुष्ट है या नहीं।

उदाहरण के लिए, x + 3y < 9 का सरलीकरण समुच्चय निकालने के लिए, सबसे पहले समीकरण x + 3y = 9 के साथ बिंदीदार रेखा खींची जाती है, यह इंगित करने के लिए कि रेखा सरलीकरण समुच्चय में सम्मिलित नहीं है क्योंकि असमानता जटिल है। फिर, रेखा पर एक सुविधाजनक बिंदु चुनें, जैसे कि (0,0), चूंकि 0 + 3(0) = 0 < 9, यह बिंदु सरलीकरण समुच्चय में है, इसलिए इस बिंदु को सम्मिलित करने वाला अर्ध समतल (रेखा के नीचे का अर्ध समतल) इस रैखिक असमानता का सरलीकरण समुच्चय है।

सामान्य आयामों में रेखीय असमानताएं

Rⁿ में रैखिक असमिकाएँ वे व्यंजक हैं जिन्हें इस रूप में लिखा जा सकता है

$f({\bar {x}})<b$ या $f({\bar {x}})\leq b,$ जहाँ f एक रेखीय रूप है (जिसे रेखीय फलन भी कहा जाता है), ${\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ और b एक स्थिर वास्तविक संख्या है।

अधिक जटिल रूप से, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b$

या

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b.$

यहाँ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ अज्ञात कहलाते हैं, और $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ गुणांक कहलाते हैं।

वैकल्पिक रूप से, इन्हें इस रूप में लिखा जा सकता है

$g(x)<0\,$ या $g(x)\leq 0,$ जहां g एक अफ्फीन फलन है।

वह है

$a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0$

या

$a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq 0.$

ध्यान दें कि किसी भी असमानता में से अधिक या उससे अधिक या बराबर चिह्न वाली असमानता को कम या उससे कम या बराबर चिह्न के साथ फिर से लिखा जा सकता है, इसलिए उन संकेतों का उपयोग करके रैखिक असमानताओं को परिभाषित करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

रैखिक असमानताओं की प्रणाली

रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली समान चरों में रैखिक असमानताओं का एक समूह है:

$\begin{array}{rlrlrlrlrlrlrl}{a}_{11}{x}_1& & +& & a_{12}{x}_2& & +\cdots <!--\; \cdots \; -->+& & a_{1n}{x}_n& & \le <!--\; \le \; -->& & & b_1\\ a_{21}{x}_1& & +& & a_{22}{x}_2& & +\cdots <!--\; \cdots \; -->+& & a_{2n}{x}_n& & \le <!--\; \le \; -->& & & b_2\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->& & & & ⋮<!--\; ⋮\; -->& & & & ⋮<!--\; ⋮\; -->& & & & & ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ a_{m1}{x}_1& & +& & a_{m2}{x}_2& & \end{array}$