रेगे सिद्धांत

क्वांटम भौतिकी में रेगे सिद्धांत (/ˈrɛdʒeɪ/) कोणीय वेग के फलन के रूप में प्रकीर्णन के विश्लेषणात्मक गुणों का अध्ययन है जहां कोणीय वेग ħ के पूर्णांक गुणक तक सीमित नहीं है, लेकिन किसी भी जटिल मान को लेने की अनुमति है। 1959 में टुल्लियो रेगे द्वारा गैर-सापेक्षवादी सिद्धांत विकसित किया गया था।

विवरण

रेगे ध्रुवों का सबसे सरल उदाहरण कूलम्ब क्षमता के क्वांटम यांत्रिक उपचार द्वारा प्रदान किया जाता है $V(r)=-e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}r)$ या द्रव्यमान m और इलेक्ट्रॉन के बंधन या प्रकीर्णन के क्वांटम यांत्रिक उपचार द्वारा भिन्न रूप में व्यक्त किया गया विद्युत आवेश e द्रव्यमान के एक प्रोटॉन $M$ और आवेश $+e$ प्रोटॉन के लिए इलेक्ट्रॉन के बंधन की ऊर्जा $E$ ऋणात्मक होती है जबकि प्रकीर्णन के लिए ऊर्जा धनात्मक होती है। बंधन ऊर्जा का सूत्र है

$E\rightarrow E_{N}=-{\frac {2m'\pi ^{2}e^{4}}{h^{2}N^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}=-{\frac {13.6\,\mathrm {eV} }{N^{2}}},\;\;\;m^{'}={\frac {mM}{M+m}},$ जहाँ $N=1,2,3,...$, $h$ प्लैंक स्थिरांक है और $\epsilon _{0}$ निर्वात की पारगम्यता है। प्रमुख क्वांटम संख्या $N$ क्वांटम यांत्रिकी में (रेडियल श्रोडिंगर समीकरण के समाधान) द्वारा $N=n+l+1$, जहाँ $n=0,1,2,...$ दीप्तिमान क्वांटम संख्या है और $l=0,1,2,3,...$ कक्षीय कोणीय गति की क्वांटम संख्या हैं। उपरोक्त समीकरण $l$, के लिए हल करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

$l\rightarrow l(E)=-n+g(E),\;\;g(E)=-1+i{\frac {\pi e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}h}}(2m'/E)^{1/2}.$

$E$ को सम्मिश्र फलन के रूप में माना जाता है यह अभिव्यक्ति जटिल $l$- समतल में एक पथ का वर्णन करती है जिसे रेगे प्रक्षेपवक्र कहा जाता है। इस विचार में कक्षीय

संवेग जटिल मान ग्रहण कर सकता है।

विशेष रूप से युकावा क्षमता भी कई अन्य संभावनाओं के लिए रेगे प्रक्षेपवक्र प्राप्त किए जा सकते हैं।

रेगे प्रक्षेपवक्र प्रकीर्णन आयाम के ध्रुवों के रूप में या संबंधित $S$आव्यूह में दिखाई देते हैं। $S$-आव्यूह के ऊपर विचार किए गए कूलम्ब क्षमता की स्थिति में निम्नलिखित अभिव्यक्ति दिया गया है जिसे क्वांटम यांत्रिकी पर किसी भी पाठ्यपुस्तक के संदर्भ में जांचा जा सकता है:

$S={\frac {\Gamma (l-g(E))}{\Gamma (l+g(E))}}e^{-i\pi l},$

जहाँ $\Gamma (x)$ गामा फंक्शन है, फ़ैक्टोरियल का सामान्यीकरण $(x-1)!$. यह गामा फलन $x=-n,n=0,1,2,...$ इस प्रकार $S$ (अंश में गामा फलन) के लिए अभिव्यक्ति ठीक उन बिंदुओं पर ध्रुव रखता है जो रेगे प्रक्षेपवक्र के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति द्वारा दिए गए हैं।

इतिहास और निहितार्थ

सिद्धांत का मुख्य परिणाम यह है कि संभावित प्रकीर्णन के लिए प्रकीर्णन वाला आयाम प्रकीर्णन वाले कोण के कोसाइन $z$ के फलन में एक शक्ति के रूप में बढ़ता है जो प्रकीर्णन वाली ऊर्जा में परिवर्तन के रूप में बदलता है:

$A(z)\propto z^{l(E^{2})}$

जहाँ $l(E^{2})$ ऊर्जा $E$ के साथ बाध्य होने वाली स्थिति के कोणीय गति का गैर-पूर्णांक मान हैं। यह रेडियल श्रोडिंगर समीकरण को हल करके निर्धारित किया जाता है और अलग-अलग कोणीय गति समान रेडियल उत्तेजना संख्या के साथ तरंग क्रिया की ऊर्जा को सुचारू रूप से प्रक्षेपित करता है। प्रक्षेपवक्र फलन सापेक्षवादी सामान्यीकरण के लिए $s=E^{2}$