रुइन सिद्धांत

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बीमांकिक विज्ञान और व्यावहारिक संभाव्यता में, रुइन सिद्धांत (कभी-कभी संकट सिद्धांत या सामूहिक संकट सिद्धांत) किसी बीमाकर्ता की दिवालियेपन/रुइन होने की संभावना का वर्णन करने के लिए गणितीय मॉडल का उपयोग करता है। ऐसे मॉडलों में ब्याज की मुख्य बातें विनाश की संभावना, विनाश से ठीक पहले अधिशेष का वितरण और विनाश के समय घाटा हैं।

मौलिक मॉडल

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यौगिक पॉइसन संकट प्रक्रिया का नमूना पथ

रुइन सिद्धांत का सैद्धांतिक आधार, जिसे क्रैमर-लुंडबर्ग मॉडल (या मौलिक यौगिक-पॉइसन संकट मॉडल, मौलिक संकट प्रक्रिया) के रूप में जाना जाता है, 1903 में स्वीडिश एक्चुअरी फिलिप लुंडबर्ग द्वारा प्रस्तुत किया गया था। लुंडबर्ग का कार्य 1930 के दशक में हेराल्ड क्रैमर द्वारा पुनः प्रकाशित किया गया था।

मॉडल बीमा कंपनी का वर्णन करता है, जो दो विपरीत नकदी प्रवाह आने वाले नकद प्रीमियम और आउटगोइंग प्रमाण का अनुभव करती है। प्रीमियम ग्राहकों से स्थिर दर c > 0 पर आते हैं और प्रमाण पॉइसन प्रक्रिया $N_{t}$ के अनुसार तीव्रता λ के साथ आते हैं और स्वतंत्र और समान रूप से वितरित गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर $\xi _{i}$ वितरण F और माध्य μ के साथ वितरित होते हैं (वे यौगिक पॉइसन प्रक्रिया बनाते हैं)। तो बीमाकर्ता के लिए जो प्रारंभिक अधिशेष x से प्रारंभ होता है, कुल गुण $X_{t}$ इस प्रकार दी जाती है:

$X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for t}}\geq 0.$

मॉडल का केंद्रीय उद्देश्य इस संभावना की जांच करना है कि बीमाकर्ता का अधिशेष स्तर अंततः शून्य से नीचे चला जाता है (फर्म को दिवालिया बना देता है)। यह मात्रा, जिसे अंतिम विनाश की संभावना कहा जाता है, निम्न रूप में परिभाषित किया गया है;

$\psi (x)=\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}$

जहां विनाश का समय $\tau =\inf\{t>0\,:\,X(t)<0\}$ इस परिपाटी के साथ है कि $\inf \varnothing =\infty$। इसकी गणना स्पष्ट रूप से पोलाकज़ेक-खिंचाइन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है (यहां रुइन फलन M/G/1 कतार में प्रतीक्षा समय के स्थिर वितरण के टेल फलन के बराबर है)

$\psi (x)=\left(1-{\frac {\lambda \mu }{c}}\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\lambda \mu }{c}}\right)^{n}(1-F_{l}^{\ast n}(x))$

जहाँ $F_{l}$, $F$ के पुच्छ वितरण का रूपान्तरण है,

$F_{l}(x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}\left(1-F(u)\right){\text{d}}u$

और $\cdot ^{\ast n}$, $n$-गुना कनवल्शन को दर्शाता है। ऐसी स्थिति में जहां सत्यापन आकार तीव्रता से वितरित किया जाता है, यह सरल हो जाता है:

$\psi (x)={\frac {\lambda \mu }{c}}e^{-\left({\frac {1}{\mu }}-{\frac {\lambda }{c}}\right)x}.$

स्पैरे एंडरसन मॉडल

ई. स्पैरे एंडरसन ने 1957 में मौलिक मॉडल का विस्तार किया, प्रमाण के अंतर-आगमन समय को इच्छानुसार ढंग से वितरण फलनों की अनुमति देकर।

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