यूलर लाइन

  नौ-बिंदु वृत्त के केंद्र के साथ यूलर की रेखा

  मध्यिका (केंद्रक पर प्रतिच्छेद करती है)

  ऊंचाई (ऑर्थो-केंद्र पर प्रतिच्छेद करती है)

  पार्श्व मध्यबिंदुओं से लंबवत रेखाएं (परिकेंद्र पर प्रतिच्छेद करती हैं)

ज्यामिति में, लियोनहार्ड यूलर (/ɔɪlər/) के नाम पर यूलर रेखा, किसी भी त्रिभुज से निर्धारित रेखा है जो समबाहु नहीं है। यह त्रिभुज की एक केंद्रीय रेखा है, और यह त्रिभुज से निर्धारित कई महत्वपूर्ण बिंदुओं से होकर गुजरती है, जिसमें लंब-केंद्र, परिकेन्द्र, केन्द्रक, एक्सेटर बिंदु और त्रिभुज के नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र सम्मिलित है।

त्रिभुज यूलर रेखा की अवधारणा अन्य आकृतियों की यूलर रेखा जैसे चतुर्भुज और चतुष्फलक तक विस्तृत हुई है।

यूलर रेखा पर त्रिभुज केंद्र

व्यक्तिगत केंद्र

यूलर ने 1765 में दिखाया कि किसी भी त्रिभुज में, लंबकेन्द्र, परिकेन्द्र और केन्द्रक रेखा (ज्यामिति) होते हैं। यह गुण एक अन्य त्रिभुज केंद्र, नौ-बिंदु केंद्र के लिए भी सही है, हालांकि इसे यूलर के समय में परिभाषित नहीं किया गया था। समबाहु त्रिभुजों में, ये चार बिंदु संपाती होते हैं, लेकिन किसी अन्य त्रिभुज में वे सभी एक दूसरे से भिन्न होते हैं, और यूलर रेखा उनमें से किन्हीं दो द्वारा निर्धारित की जाती है।

अन्य उल्लेखनीय बिंदु जो यूलर रेखा पर स्थित हैं, उनमें डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु, शिफलर बिंदु, एक्सेटर बिंदु और गोस्सार्ड परिप्रेक्ष्य सम्मिलित हैं। हालांकि, अंत:केंद्र सामान्य रूप से यूलर रेखा पर स्थित नहीं होता है; यह यूलर रेखा पर केवल समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए है, जिसके लिए यूलर रेखा त्रिभुज की सममिति अक्ष के साथ मिलती है और इसमें सभी त्रिभुज केंद्र होते हैं।

एक संदर्भ त्रिभुज का स्पर्शरेखा त्रिभुज, संदर्भ त्रिभुज के शीर्ष पर बाद वाले परिवृत्त पर स्पर्शरेखा है। स्पर्शरेखा त्रिभुज का परिकेंद्र संदर्भ त्रिभुज की यूलर रेखा पर स्थित है। ओर्थिक त्रिभुज और स्पर्शरेखा त्रिभुजों की समरूपता का केंद्र भी यूलर रेखा पर है।

वेक्टर प्रमाण

होने देना $ABC$ एक त्रिकोण है। इस तथ्य का प्रमाण कि परिकेन्द्र $O$, केन्द्रक $G$ और लंबकेन्द्र $H$ समरेख हैं, मुक्त वेक्टरों पर निर्भर करता है। हम पूर्वापेक्षाएँ बताते हुए प्रारंभ करते हैं। सबसे पहले $G$ संबंध को संतुष्ट करता है

${\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.$

यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि $G$ के निरपेक्ष बैरेंट्रिक निर्देशांक ${\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}$ इसके अतिरिक्त, सिल्वेस्टर की त्रिकोण समस्या को इस रूप में पढ़ा जाता है

${\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.$

अब, वेक्टर योग का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं

${\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(in triangle }}AGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(in triangle }}BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(in triangle }}CGO{\mbox{)}}.$

इन तीन संबंधों को, पद दर पद जोड़कर, हम वह प्राप्त करते हैं

$3\cdot {\vec {GO}}=\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {GA}}\right)+\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {AO}}\right)=0-\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}}\right)=-{\vec {OH}}.$

निष्कर्ष में, $3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}$, और इसलिए तीन बिंदु $O$, $G$ और $H$ (इस क्रम में) संरेख हैं।

डोरी की पुस्तक में, यूलर रेखा और सिल्वेस्टर की त्रिभुज समस्या को एक साथ समान प्रमाण में रखा गया है। हालांकि, सिल्वेस्टर की समस्या के अधिकांश प्रमाण यूलर रेखा से स्वतंत्र, मुक्त वेक्टरों के मौलिक गुणों पर निर्भर करते हैं।

केंद्रों के बीच की दूरी

यूलर रेखा पर केन्द्रक G, परिकेन्द्र O और लंबकेन्द्र H के बीच में है और यह परिकेन्द्र से जितनी दूर है, उतनी ही लंबकेन्द्र से दुगुनी दूरी पर है:

$GH=2GO;$

$OH=3GO.$

खंड GH लंब-केन्द्रीय वृत्त का एक व्यास है।

नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र N लंब-केंद्र और परिधि के बीच यूलर रेखा के मध्य में स्थित है:

$$