मोलिफ़ायर

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आयाम (गणित) में एक मोलिफ़ायर (शीर्ष)। सबसे नीचे, लाल रंग में एक कोने (बाएं) और तेज छलांग (दाएं) के साथ एक फ़ंक्शन है, और नीले रंग में इसका पिघला हुआ संस्करण है।

गणित में, मोलिफ़ायर (सर्वसमिका के सन्निकटन के रूप में भी जाना जाता है) विशेष गुणों के साथ स्मूथ फंक्शन होते हैं, उदाहरण के लिए वितरण सिद्धांत में कनवल्शन के माध्यम से नॉनस्मूथ (सामान्यीकृत) फंक्शन को अनुमानित करने वाले स्मूथ फंक्शन के अनुक्रम बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। सहज रूप से, फ़ंक्शन दिया गया है जो काफी अनियमित है, इसे मोलिफ़ायर के साथ घुमाने से फ़ंक्शन "मोलिफ़ाइड" हो जाता है, यानी, इसकी तेज विशेषताएं स्मूथ हो जाती हैं, जबकि अभी भी मूल नॉनस्मूथ (सामान्यीकृत) फ़ंक्शन के निकट रहती हैं।

इन्हें कर्ट ओटो फ्रेडरिक्स के नाम पर फ्रेडरिक्स मोलिफायर्स के नाम से भी जाना जाता है, जिन्होंने इन्हें प्रस्तुत किया था।

ऐतिहासिक नोट्स

कर्ट ओटो फ्रेडरिक्स ने अपने पेपर (फ्रेडरिक्स 1944, पृ. 136-139) में मोलिफायर्स को प्रारम्भ किया था, जिसे आंशिक अंतर समीकरणों के आधुनिक सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण मोड़ माना जाता है। इस गणितीय वस्तु के नाम की उत्पत्ति विचित्र थी, और पीटर लैक्स ने फ्रेडरिक्स के "सेलेक्टा" में प्रकाशित उस पेपर पर अपनी टिप्पणी में पूरी कहानी बताई है। उनके अनुसार, उस समय, गणितज्ञ डोनाल्ड अलेक्जेंडर फ़्लैंडर्स फ्रेडरिक्स के सहयोगी थे: चूँकि उन्हें अंग्रेजी के उपयोग के बारे में सहकर्मियों से परामर्श करना पसंद था, इसलिए उन्होंने फ़्लैंडर्स से सलाह मांगी कि वह जिस स्मूथिंग ऑपरेटर का उपयोग कर रहे थे उसका नाम कैसे रखा जाए। फ़्लैंडर्स एक शुद्धतावादी थे, उनके दोस्तों ने उनके नैतिक गुणों को पहचानने के लिए उन्हें मोल फ़्लैंडर्स के नाम पर मोल उपनाम दिया था: उन्होंने नई गणितीय अवधारणा को एक वाक्य के रूप में "मोलिफ़ायर" कहने का सुझाव दिया, जिसमें फ़्लैंडर्स का उपनाम और क्रिया 'टू मॉलिफ़ाई', जिसका अर्थ लाक्षणिक अर्थ में 'स्मूथ करना' है, दोनों सम्मिलित थे।

इससे पहले, सर्गेई सोबोलेव ने अपने युग-निर्माण 1938 पेपर में मोलिफायर्स का उपयोग किया था, जिसमें सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय का प्रमाण सम्मिलित है: फ्रेडरिक्स ने खुद मोलिफायर्स पर सोबोलेव के काम को स्वीकार करते हुए कहा था कि: - "ये मोलिफायर सोबोलेव और लेखक द्वारा पेश किए गए थे..."।

यह बताया जाना चाहिए कि "मोलिफ़ायर" शब्द इन मूलभूत फंक्शन्स के समय से भाषाई विचलन से गुजर रहा है: फ्रेडरिक्स ने "मोलिफ़ायर" को इंटीग्रल ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया है जिसका कर्नेल आजकल मोलिफ़ायर नामक फंक्शन्स में से एक है। हालाँकि, चूंकि लीनियर इंटीग्रल ऑपरेटर के गुण पूरी तरह से उसके कर्नेल द्वारा निर्धारित होते हैं, इसलिए सामान्य उपयोग के परिणामस्वरूप नाम मोलिफ़ायर कर्नेल द्वारा ही मिला था।

परिभाषा

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प्रगतिशील मोलीकरण के दौर से गुजर रहा एक फंक्शन।

आधुनिक (वितरण आधारित) परिभाषा

Definition 1. यदि $\varphi$ ℝⁿ, n ≥ 1 पर एक स्मूथ फंक्शन है, तो निम्नलिखित तीन आवश्यकताओं को पूरा करता है

(1)  यह सघन रूप से समर्थित है

(2)  $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1$

(3)  $\lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)$

जहाँ $\delta (x)$ डिराक डेल्टा फ़ंक्शन है और सीमा को श्वार्ट्ज वितरण (गणित) के स्थान में समझा जाना चाहिए, फिर $\varphi$ एक 'मोलिफ़ायर' है. फ़ंक्शन $\varphi$ आगे की शर्तों को भी पूरा कर सकता है: उदाहरण के लिए, यदि यह संतुष्ट करता है

(4)  $\varphi$$(x)$ ≥ 0 सभी x ∈ ℝⁿ के लिए, तो इसे 'पॉजिटिव मोलिफ़ायर' कहा जाता है

(5)  $\varphi$$(x)$=$\mu$$(|x|)$ कुछ असीम रूप से भिन्न फ़ंक्शन के लिए $\mu$: ℝ⁺ → ℝ, तो इसे सममित मोलिफ़ायर कहा जाता है

फ्रेडरिक की परिभाषा पर नोट्स

नोट 1. जब वितरण का सिद्धांत अभी भी व्यापक रूप से ज्ञात नहीं था और न ही उपयोग किया जाता था, ऊपर दी गई गुण (3) को यह कहकर तैयार किया गया था कि उचित हिल्बर्ट या बानाच स्थान से संबंधित किसी दिए गए फ़ंक्शन के साथ फ़ंक्शन $\scriptstyle \varphi _{\epsilon }$ का कनवल्शन उस फ़ंक्शन के लिए ε → 0 के रूप में परिवर्तित होता है: यह बिल्कुल वही है जो फ्रेडरिक्स ने किया था। इससे यह भी स्पष्ट होता है कि मोलिफ़ायर अनुमानित सर्वसमिका से संबंधित क्यों हैं।

नोट 2. जैसा कि इस प्रविष्टि के मोलिफायर#ऐतिहासिक नोट्स अनुभाग में संक्षेप में बताया गया है, मूल रूप से, मोलिफायर शब्द ने निम्नलिखित कन्वोल्यूशन की सर्वसमिका की:

$\Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y$

जहाँ $\varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )$ और $\varphi$ ऊपर बताई गई पहली तीन शर्तों और धनात्मक और समरूपता के रूप में एक या अधिक पूरक शर्तों को पूरा करने वाला एक स्मूथ फंक्शन है।

ठोस उदाहरण

ℝⁿ द्वारा परिभाषित एक वेरिएबल के बम्प फ़ंक्शन $\varphi$$(x)$ पर विचार करें

$\varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1\end{cases}}$

जहां संख्यात्मक स्थिरांक $I_{n}$ सामान्यीकरण सुनिश्चित करता है। यह फ़ंक्शन असीम रूप से भिन्न है, गैर-विश्लेषणात्मक है और |x| = 1 के लिए लुप्त व्युत्पन्न है जैसा कि ऊपर बताया गया है, $\varphi$ को मोलिफ़ायर के रूप में उपयोग किया जा सकता है: कोई देख सकता है कि $\varphi$$(x)$ एक धनात्मक और सममित मोलिफ़ायर को परिभाषित करता है।

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फ़ंक्शन$\varphi$$(x)$ आयाम (गणित) में एक

गुण

एक मोलिफायर के सभी गुण कनवल्शन के संचालन के तहत उसके व्यवहार से संबंधित होते हैं: हम निम्नलिखित को सूचीबद्ध करते हैं, जिनके प्रमाण वितरण सिद्धांत पर प्रत्येक पाठ में पाए जा सकते हैं।

समरेखण गुण

किसी भी वितरण के लिए $T$, वास्तविक संख्या $\epsilon$ द्वारा अनुक्रमित कनवल्शन का निम्नलिखित परिवार

$T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }$

जहाँ $\ast$ कनवल्शन को दर्शाता है, यह स्मूथ फंक्शन्स का एक परिवार है।

सर्वसमिका का अनुमान

किसी भी वितरण $T$ के लिए, वास्तविक संख्या $\epsilon$ एप्सिलॉन द्वारा अनुक्रमित कनवल्शन का निम्नलिखित परिवार $T$ में परिवर्तित हो जाता है।

$\underset{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{}_{}$