मोड़ (कोण)

Turn
की इकाई	Plane angle
चिन्ह, प्रतीक	tr or pla
Conversions
1 tr in ...	... is equal to ...
radians	2π rad ≈ 6.283185307... rad
milliradians	2000π mrad ≈ 6283.185307... mrad
degrees	360°
gradians	400g

File:Angle-fractions.png

केंद्र बिंदु के बारे में वामावर्त घुमाव जहां एक पूर्णघुमाव 1 मोड़ के घूर्णन के कोण से मेल खाता है।

एक मोड़ 2π रेडियन, 360 डिग्री या 400 ग्रेडियन के बराबर समतल कोण माप की एक इकाई है। इसके उपविभागों में अर्ध-मोड़, चौथाई-मोड़, सेंटीटर्न, मिलीटर्न आदि सम्मिलित हैं।

निकट संबंधी शब्द चक्र और क्रांति एक मोड़ के बराबर नहीं हैं।

उपखंड

एक मोड़ को 100 सेंटीटर्न या 1000 मिलीटर्न में विभाजित किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक मिलीटर्न 0.36° के कोण के अनुरूप होता है, जिसे 21′ 36″ के रूप में भी लिखा जा सकता है। सेंटीटर्न में विभाजित एक चांदा सामान्यतः एक "प्रतिशत कोणमापक" कहलाता है।

टर्न के बाइनरी अंशों का भी उपयोग किया जाता है। नाविकों ने पारंपरिक रूप से एक मोड़ को 32 कम्पास बिंदुओं में विभाजित किया है, जिसमें निहित रूप से 1/32 मोड़ का कोणीय पृथक्करण है। बाइनरी डिग्री, जिसे बाइनरी रेडियन (या ब्रैड) के रूप में भी जाना जाता है, है 1/256 मोड़। बाइनरी डिग्री का उपयोग कंप्यूटिंग में किया जाता है ताकि एक बाइट में अधिकतम संभव सटीकता के लिए एक कोण का प्रतिनिधित्व किया जा सके। कंप्यूटिंग में उपयोग किए जाने वाले कोण के अन्य माप n के अन्य मानों के लिए एक पूरे मोड़ को 2ⁿ बराबर भागों में विभाजित करने पर आधारित हो सकते हैं।

टर्न की धारणा सामान्यतः समतल कोण के लिए उपयोग की जाती है।

इतिहास

शब्द टर्न लैटिन और फ्रेंच के माध्यम से ग्रीक शब्द τόρνος (टॉर्नोस- एक खराद) से उत्पन्न हुआ है ।

1697 में, डेविड ग्रेगोरी ने इस्तेमाल किया π/ρ (पाई ओवर रो) एक वृत्त की परिधि को उसकी त्रिज्या से विभाजित करने के लिए निरूपित करने के लिए। यद्यपि, इससे पहले 1647 में, विलियम ऑट्रेड ने इस्तेमाल किया था δ/π (डेल्टा ओवर पाई) परिधि के व्यास के अनुपात के लिए। 1706 में वेल्श गणितज्ञ विलियम जोन्स द्वारा अपने वर्तमान अर्थ (व्यास द्वारा विभाजित परिधि) के साथ प्रतीक π का ​​पहला प्रयोग किया गया था। यूलर ने 1737 में उस अर्थ के साथ प्रतीक को अपनाया, जिससे इसका व्यापक उपयोग हुआ।

टर्न के लिए लैटिन शब्द वर्सोर है, जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक मनमाने अक्ष के बारे में रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है। वर्सर्स अण्डाकार अंतरिक्ष में अंक बनाते हैं और 1840 के दशक में डब्ल्यूआर हैमिल्टन द्वारा विकसित एक बीजगणित, चतुष्कोणों के अध्ययन को प्रेरित करते हैं।

1922 से प्रतिशत चांदा मौजूद हैं, लेकिन 1962 में ब्रिटिश खगोलशास्त्री फ्रेड हॉयल द्वारा सेंटीटर्न्स, मिलीटर्न्स और माइक्रोटर्न्स का प्रारम्भ बहुत बाद में किया गया था। तोपखाने और उपग्रह देखने के लिए कुछ माप उपकरणों में मिलीटर्न स्केल होते हैं।

इकाई प्रतीक

जर्मन मानक डीआईएन 1315 (मार्च 1974) ने घुमावों के लिए इकाई प्रतीक "पीएलए" (लैटिन से: plenus angulus 'पूर्ण कोण') प्रस्तावित किया। डीआईएन 1301-1 (अक्टूबर 2010) में सम्मिलित, तथाकथित वोलविंकल ('पूर्ण कोण') एक एसआई इकाई नहीं है। तथापि, यह यूरोपीय संघ और स्विट्जरलैंड में माप की एक कानूनी इकाई है।

वैज्ञानिक कैलकुलेटर HP 39gII और HP प्राइम क्रमशः 2011 और 2013 से घुमावों के लिए इकाई प्रतीक "tr" का समर्थन करते हैं। 2016 में HP 50g के लिए नएRPL में "tr" के लिए समर्थन भी जोड़ा गया था, और 2017 में hp 39g+, HP 49g+, HP 39gs, और HP 40gs के लिए भी जोड़ा गया था। WP 43S के लिए भी एक कोणीय मोड टर्न का सुझाव दिया गया था, लेकिन कैलकुलेटर इसके बजाय "MULπ" (π के गुणक) को 2019 से मोड और इकाई के रूप में लागू करता है।

इकाई रूपांतरण

File:2pi-unrolled.gif

इकाई वृत्त (जिसका त्रिज्या एक है) की परिधि 2π है।

File:Degree-Radian Conversion tau.svg

डिग्री और रेडियन में व्यक्त कोणों की तुलना।

एक फेरा 2π (≈ 6.283185307179586) रेडियन, 360 डिग्री, या 400 ग्रेडियन के बराबर है।

सामान्य कोणों का रूपांतरण

टर्न	रेडियन		डिग्री	ग्रेडियन
0 turn	0 rad		0°	0g
1/24 turn	𝜏/24 rad	π/12 rad	15°	16+2/3g
1/16 turn	𝜏/16 rad	π/8 rad	22.5°	25g
1/12 turn	𝜏/12 rad	π/6 rad	30°	33+1/3g
1/10 turn	𝜏/10 rad	π/5 rad	36°	40g
1/8 turn	𝜏/8 rad	π/4 rad	45°	50g
1/2π turn	1 rad		c. 57.3°	c. 63.7g
1/6 turn	𝜏/6 rad	π/3 rad	60°	66+2/3g
1/5 turn	𝜏/5 rad	2π/5 rad	72°	80g
1/4 turn	𝜏/4 rad	π/2 rad	90°	100g
1/3 turn	𝜏/3 rad	2π/3 rad	120°	133+1/3g
2/5 turn	2𝜏/5 rad	4π/5 rad	144°	160g
1/2 turn	𝜏/2 rad	π rad	180°	200g
3/4 turn	3𝜏/4 rad	3π/2 rad	270°	300g
1 turn	𝜏 rad	2π rad	360°	400g

2π को दर्शाने के लिए एक अक्षर का प्रस्ताव

इन्हें भी देखें: Pi § प्रतीक π को अपनाना

File:Circle radians tau.gif

उस वृत्त की त्रिज्या के समान लंबाई वाला एक वृत्त का चाप 1 रेडियन के कोण से मेल खाता है। एक पूर्ण चक्र एक पूर्ण मोड़ या लगभग 6.28 रेडियन से मेल खाता है, जिसे यहां ग्रीक अक्षर ताऊ (τ) का उपयोग करके व्यक्त किया गया है।

1746 में, लियोनार्ड यूलर ने पहली बार एक वृत्त की त्रिज्या से विभाजित परिधि को दर्शाने के लिए ग्रीक अक्षर पाई का उपयोग किया था (अर्थात, π = 6.28...)।

2001 में, रॉबर्ट पैलैस ने गणित को सरल और अधिक सहज ज्ञान युक्त बनाने के लिए, π के बजाय मूलभूत वृत्त स्थिरांक के रूप में रेडियन की संख्या का उपयोग करने का प्रस्ताव दिया, जो आधे चक्कर में रेडियन की संख्या के बराबर है। उनके प्रस्ताव स्थिरांक को दर्शाने के लिए "तीन टांगों वाला π" चिन्ह का प्रयोग किया गया था ($\pi \!\;\!\!\!\pi =2\pi$)।

2008 में, थॉमस कॉलिग्नाटस ने 2π का प्रतिनिधित्व करने के लिए अपरकेस ग्रीक अक्षर थीटा, θ प्रस्तावित किया

ग्रीक अक्षर थीटा फोनीशियन और हिब्रू अक्षर टेथ, 𐤈 या ט से निकला है, और यह देखा गया है कि प्रतीक का पुराना संस्करण, जिसका अर्थ है पहिया, चार तीलियों वाले एक पहिया जैसा दिखता है। 2π मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए पहिया प्रतीक, टेथ का उपयोग करने का भी प्रस्ताव दिया गया है, और हाल ही में पहिया, सूर्य, वृत्त या डिस्क प्रतीक के अस्तित्व पर अन्य प्राचीन संस्कृतियों के बीच एक संबंध बनाया गया है - अर्थात टेथ की अन्य विविधताएं - 2π के प्रतिनिधित्व के रूप में।

2010 में, माइकल हार्टल ने वृत्त स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए ग्रीक अक्षर ताऊ का उपयोग करने का प्रस्ताव दिया: τ = 2π। उसने दो कारण बताए, प्रथम, τ एक मोड़ में रेडियंस की संख्या है, जो एक मोड़ के अंशों को अधिक सीधे व्यक्त करने की अनुमति देता है: उदाहरण के लिए, एक 3/4 मोड़ के रूप में दर्शाया जाएगा 3τ/4 के बजाय रेड 3π/2 रेड। दूसरा, τ दृष्टिगत रूप से π जैसा दिखता है, जिसका वृत्त स्थिरांक के साथ जुड़ाव अपरिहार्य है। हार्टल का ताऊ मेनिफेस्टो सूत्रों के कई उदाहरण देता है जो स्पष्ट होने का दावा करते हैं π के बजाय τ का उपयोग किया जाता है।

प्रारंभ में, इन प्रबंधकों में से किसी को भी संबद्ध और वैज्ञानिक समुदाय द्वारा व्यापक स्वीकृति नहीं मिली। तथापि, τ का उपयोग अधिक व्यापक हो गया है, उदाहरण के लिए:

• 2012 में, शैक्षिक वेबसाइट खान अकादमी ने τ के संदर्भ में व्यक्त किए गए उत्तरों को स्वीकार करना प्रारम्भ किया।

• स्थिरांक τ को Google कैलकुलेटर और कई प्रोग्रामिंग भाषाओं जैसे कि पायथन, राकू, प्रसंस्करण, निम, रस्ट, जावा, .NET, और हास्केल में उपलब्ध कराया गया है।

• इसका उपयोग कम से कम एक गणितीय शोध लेख में भी किया गया है, जिसे τ-प्रमोटर पीटर हैरेमोएस ने लिखा है।

निम्न तालिका दर्शाती है कि यदि τ = 2π का उपयोग π के बजाय किया जाता है तो विभिन्न पहचान कैसे दिखाई देती हैं। अधिक संपूर्ण सूची के लिए, π से जुड़े सूत्रों की सूची देखें।

सूत्र	π का प्रयोग करना	τ का प्रयोग करना	टिप्पणियाँ
द्वारा घटाया गया कोण 1/4 एक वृत्त का	π/2 रेड	τ/4 रेड	τ/4 रेड = 1/4 मोड़
त्रिज्या r के एक वृत्त की परिधि C	C = 2πr	C = τr
एक वृत्त का क्षेत्रफल	A = πr2	A = τr2/2	θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल A = θr2/2 है
इकाई परिधि के साथ एक नियमित एन-गॉन का क्षेत्रफल	A = n/2 sin 2π/n	A = n/2 sin τ/n
एन-बॉल और एन-स्फेयर वॉल्यूम पुनरावृत्ति संबंध	$V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}$	$V_{n}(R)={\frac {\tau ^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{n!!}}(1+n\operatorname {mod} 2)R^{n}$	V0(r) = 1 S0(r) = 2
कॉची का अभिन्न सूत्र	$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$	$f(a)={\frac {1}{\tau i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$
मानक सामान्य वितरण	$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$	$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$