मॉड्युली स्पेस

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, मॉड्युली समष्टि एक ज्यामितीय समष्टि सामान्य रूप से प्रणाली (गणित) या बीजगणितीय चित्ति (स्टैक) होता है, जिसके बिंदु कुछ निश्चित प्रकार के बीजगणितीय-ज्यामितीय वस्तुओं या ऐसी वस्तुओं के समरूपता वर्गो का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसे समष्टि प्रायः वर्गीकरण समस्याओं के समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं: यदि कोई यह दिखा सकता है कि रोचक वस्तुओं का समुच्चय (उदाहरण के लिए, एक निश्चित वर्ग के सरल बीजगणितीय वक्र) को एक ज्यामितीय समष्टि की संरचना दी जा सकती है, तो परिणामी समष्टि पर निर्देशांक प्रस्तुत करके ऐसी वस्तुओं को पैरामीट्रिज किया जा सकता है। इस संदर्भ में, मापांक शब्द का प्रयोग पैरामीटर के पर्याय के रूप में किया जाता है; मॉडुलि समष्टि को पहले वस्तुओं के समष्टि के अतिरिक्त मापदंडों के समष्टि के रूप में समझा गया था। मॉड्यूलि समष्टि का एक प्रकार औपचारिक मोडुली है। बर्नहार्ड रीमैन ने पहली बार 1857 में मोडुली शब्द का उपयोग किया था।

कारण

मॉड्यूलि समष्टि ज्यामितीय वर्गीकरण समस्याओं के समाधान के समष्टि हैं। अर्थात, मॉड्यूलि समष्टि के अंक ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के अनुरूप हैं। यहां अलग-अलग समाधानों की पहचान की जाती है यदि वे समरूपी हैं, अर्थात ज्यामितीय रूप से समान होते है। मॉडुलि समष्टि को समस्या के लिए मापदंडों का एक सार्वभौमिक समष्टि देने के बारे में विचार किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन तल में सभी वृत्तों को सर्वांगसमता तक खोजने की समस्या पर विचार करें। किसी भी वृत्त को तीन बिंदु देकर विशिष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है, लेकिन तीन बिंदुओं के कई अलग-अलग समुच्चय समान वृत्त देते हैं अर्थात समानता एक से अनेक है। हालाँकि, वृत्तों को उनके केंद्र और त्रिज्या देकर विशिष्ट रूप से परिचालित किया जाता है, यह दो वास्तविक पैरामीटर और एक धनात्मक वास्तविक पैरामीटर है। चूँकि हम केवल सर्वांगसमता तक के वृत्तों में संबंध होता हैं, इसलिए हम ऐसे वृत्तों की पहचान करते हैं जिनके केंद्र अलग-अलग हों, लेकिन समान त्रिज्या हो, और इसलिए केवल त्रिज्या ही भाग के समुच्चय को पैरामीटर करने के लिए उयुक्त है। इसलिए मॉड्यूलि समष्टि धनात्मक वास्तविक संख्या है।

मोडुली समष्टि प्रायः प्राकृतिक ज्यामितीय और सांस्थितिकीय संरचनाओं को भी ले जाते हैं। वृत्तों के उदाहरण में, मोडुली समष्टि केवल एक अमूर्त समुच्चय नहीं है, लेकिन त्रिज्या के अंतर का पूर्ण मान एक आव्यूह (गणित) को परिभाषित करता है, यह निर्धारित करने के लिए कि जब दो वृत्त समीप होते हैं। मॉड्यूलि समष्टि की ज्यामितीय संरचना स्थानीय रूप से हमें बताती है कि ज्यामितीय वर्गीकरण समस्या के दो समाधान समीप हैं, लेकिन सामान्य रूप से मोडुली समष्टि में एक जटिल वैश्विक संरचना भी होती है।

उदाहरण के लिए, विचार करें कि R² में रेखाओं के समुच्चय का वर्णन कैसे किया जाए जो मूल बिंदु को प्रतिच्छेद करती है। हम इस वर्ग की प्रत्येक रेखा L को एक परिणाम मे निर्दिष्ट करना चाहते हैं जो विशिष्ट रूप से इसे एक मापांक की पहचान कर सके। ऐसी मात्रा का एक उदाहरण 0 ≤ θ < π रेडियन के साथ धनात्मक कोण θ(L) है। और L रेखाओ का समुच्चय इसलिए पैरामीटर युक्त को P¹(R) के रूप में जाना जाता है और इसे वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा कहा जाता है।

हम R² में रेखाओं के समुच्चय का भी वर्णन कर सकते हैं जो एक सांस्थितिकीय निर्माण के माध्यम से मूल को प्रतिच्छेद करता है। अतः S¹ ⊂ R² पर विचार करने के लिए और ध्यान दें कि प्रत्येक बिंदु s ∈ S¹ समुच्चय में एक रेखा L(s) देता है जो मूल बिंदु और s को जोड़ता है। हालाँकि, यह मानचित्र दो से एक है, इसलिए हम P¹(R) ≅ S¹/~ उत्पन्न करने के लिए s ~ −s की पहचान करना चाहते हैं, जहां इस समष्टि पर सांस्थिति भागफल मानचित्र S¹ → P¹(R) द्वारा प्रेरित भागफल सांस्थिति है।

इस प्रकार, जब हम P¹(R) पर विचार करते हैं, रेखाओं की मॉड्यूलि समष्टि के रूप में जो R² में मूल बिन्दु को प्रतिच्छेद करती है, हम उन तरीकों को अभिग्रहण करते हैं जिनमें वर्ग के इकाई (इस स्थिति में रेखा) 0 ≤ θ < π को निरंतर बदलते हुए संशोधित कर सकते हैं।

सामान्य उदाहरण

प्रक्षेपीय समष्‍टि और ग्रासमैनियन

वास्तविक प्रक्षेपीय समष्‍टि Pⁿ एक मोडुली समष्‍टि है जो Rⁿ⁺¹ में रेखाओ की समष्टि को पैरामीट्रिज करता है जो मूल के माध्यम से गुजरता है। इसी प्रकार, जटिल प्रक्षेपीय समष्‍टि Cⁿ⁺¹ में मूल बिन्दु के माध्यम से गुजरने वाली सभी जटिल रेखाओं का समष्टि है।

अधिक सामान्य रूप से, क्षेत्र F पर सदिश समष्टि V का ग्रासमानियन 'G'(k, V), V के सभी k-विमीय रैखिक उपसमष्टि का मॉडुलि समष्टि होता है।

वैश्विक रूप से उत्पन्न वर्गों के साथ वृहत रेखा बंडल के मॉड्यूल के रूप में प्रक्षेपीय समष्‍टि

सार्वभौमिक प्रक्षेप्य समष्टि $\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$ में जब भी किसी प्रणाली $X$ का अन्तः स्थापन होता है, तो अन्तः स्थापन एक रेखा बंडल ${\mathcal {L}}\to X$ द्वारा दी गई है, और $n+1$ भाग $s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})$ जो सभी समान समय में शून्य नहीं होते हैं। इसका तात्पर्य है, एक बिंदु दिया गया है

$x:{\text{Spec}}(R)\to X$

एक संबद्ध बिंदु है

${\hat {x}}:{\text{Spec}}(R)\to \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$

रचनाओं द्वारा प्रदान किया गया

$[s_{0}:\cdots :s_{n}]\circ x=[s_{0}(x):\cdots :s_{n}(x)]\in \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(R)$

फिर, अनुभागों के साथ दो रेखा बंडल समतुल्य हैं

$({\mathcal {L}},(s_{0},\ldots ,s_{n}))\sim ({\mathcal {L}}',(s_{0}',\ldots ,s_{n}'))$

यदि कोई तुल्याकारिता $\phi :{\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'$ है जैसे कि $\phi (s_{i})=s_{i}'$ है। इसका तात्पर्य है संबंधित मोडुली फलननिर्धारक

$\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}$

रचना $X$ समुच्चय पर प्रेषित करता है

$\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(X)=\left\{({\mathcal {L}},s_{0},\ldots ,s_{n}):{\begin{matrix}{\mathcal {L}}\to X{\text{ is a line bundle}}\\s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})\\{\text{ form a basis of global sections}}\end{matrix}}\right\}/\sim$

यह दिखा रहा है कि यह सच है, पुनरुक्ति की एक श्रृंखला के माध्यम से परिचालन किया जा सकता है: कोई भी प्रक्षेप्य अन्तः स्थापन $i:X\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$ वैश्विक रूप से उत्पन्न शीफ $i^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}(1)$ वर्गों के साथ $i^{*}x_{0},\ldots ,i^{*}x_{n}$ देता है। इसके विपरीत, एक विस्तृत रेखा बंडल ${\mathcal {L}}\to X$ दिया गया है। वैश्विक रूप से उत्पन्न