मेलिन परिवर्तन

गणित में, मेलिन परिवर्तन अभिन्न परिवर्तन है जिसे दो तरफा लाप्लास परिवर्तन के गुणक समूह संस्करण के रूप में माना जा सकता है। यह अभिन्न परिवर्तन डिरिचलेट श्रृंखला के सिद्धांत से निकटता से जुड़ा हुआ है, अधिकांशतः संख्या सिद्धांत, गणितीय सांख्यिकी और स्पर्शोन्मुख विस्तार के सिद्धांत में उपयोग किया जाता है; यह लाप्लास ट्रांसफॉर्म और फूरियर रूपांतरण और गामा फलन और संबद्ध विशेष कार्यों के सिद्धांत से निकटता से संबंधित है।

किसी फलन f का मेलिन रूपांतरण है

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx.$

व्युत्क्रम परिवर्तन है

$\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.$

संकेतन से पता चलता है कि यह जटिल विमान में ऊर्ध्वाधर रेखा पर लिया गया अभिन्न अंग है, जिसका वास्तविक भाग सी को केवल हल्की निचली सीमा को संतुष्ट करने की आवश्यकता है। वे स्थितियाँ जिनके अंतर्गत यह व्युत्क्रम मान्य है, मेलिन व्युत्क्रम प्रमेय में दी गई हैं।

इस परिवर्तन का नाम फिनलैंड के गणितज्ञ हजलमार मेलिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1897 में एक्टा सोसाइटीस साइंटिअरम फेनिकी में प्रकाशित पेपर में इसे प्रस्तुत किया था।

अन्य परिवर्तनों से संबंध

दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन को मेलिन परिवर्तन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)$

और इसके विपरीत हम दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन से मेलिन परिवर्तन प्राप्त कर सकते हैं

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).$

मेलिन ट्रांसफ़ॉर्म को गुणात्मक हार माप के संबंध में कर्नेल x का उपयोग करके एकीकृत करने के बारे में सोचा जा सकता है, जो कि फैलाव ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$ के तहत अपरिवर्तनीय है, जिससे $x\mapsto ax$ दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन योगात्मक ${\textstyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}};}$ माप $dx$ के संबंध में एकीकृत होता है, जो कि अनुवाद अपरिवर्तनीय है, जिससे $d(x+a)=dx$ प्राप्त होता है

हम फूरियर परिवर्तन को मेलिन परिवर्तन और इसके विपरीत के संदर्भ में भी परिभाषित कर सकते हैं; मेलिन परिवर्तन और ऊपर परिभाषित दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन के संदर्भ में प्रयोग कियाजाता है

$\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)\ .$

हम प्रक्रिया को व्युत्क्रम भी सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)\ .$

मेलिन परिवर्तन पॉइसन-मेलिन-न्यूटन चक्र के माध्यम से न्यूटन श्रृंखला या द्विपद परिवर्तन को