मेनेलॉस प्रमेय

मेनेलॉस प्रमेय स्थिति 1: रेखा DEF त्रिभुज ABC के अंदर से निकलती है

मेनेलॉस प्रमेय जिसका नाम अलेक्जेंड्रिया के मेनेलॉस के नाम पर रखा गया है समतल ज्यामिति में त्रिभुजों के विषय में एक प्रस्ताव है। मान लीजिए कि हमारे पास एक त्रिभुज ABC है और एक तिर्यक (ज्यामिति) रेखा है जो BC, AC और AB को बिंदु D, E पर काटती है और 'F' क्रमशः, 'D', 'E' और 'F' के साथ 'A', 'B' और 'C' से भिन्न हैं। प्रमेय का यह निर्बल संस्करण बताता है कि

${\frac {|AF|}{|FB|}}\times {\frac {|BD|}{|DC|}}\times {\frac {|CE|}{|EA|}}=1,$

जहां |AB| खंड AB की सामान्य लंबाई के रूप में लिया जाता है: यह एक धनात्मक मान है।

प्रमेय को खंडों की दी गयी लंबाई के बारे में एक कथन के लिए प्रेरित किया जा सकता है जो समरेख बिंदुओं के सापेक्ष क्रम के बारे में कुछ अतिरिक्त जानकारी प्रदान करता है। यहाँ रेखा के कुछ निश्चित अभिविन्यास में A, B के बायीं या दायीं ओर है या नहीं तथा इसके अनुसार लंबाई AB को धनात्मक या ऋणात्मक माना जाता है; उदाहरण के लिए AF/FB को धनात्मक मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जब F, A और B के मध्य होता है और अन्यथा ऋणात्मक होता है। मेनेलॉस प्रमेय का हस्ताक्षरित संस्करण बताता है

${\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1.$

समान रूप से,

$AF\times BD\times CE=-FB\times DC\times EA.$

कुछ लेखक कारकों को भिन्न प्रकार से व्यवस्थित करते हैं और प्रतीत होता है कि भिन्न संबंध प्राप्त करते हैं

${\frac {FA}{FB}}\times {\frac {DB}{DC}}\times {\frac {EC}{EA}}=1,$

परन्तु जैसा कि इनमें से प्रत्येक कारक उपरोक्त संबंधित कारक का नकारात्मक है जो संबंध समान दिखता है।

यह प्रमेय भी सत्य है यदि बिंदु D, E और F क्रमशः BC, AC और AB पर चुने जाते हैं जिससे

${\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1,$

तब D, E और F समरेख हैं। इस संपर्क को अधिकतर प्रमेय के भाग के रूप में सम्मिलित किया जाता है। (ध्यान दें कि निर्बल, अहस्ताक्षरित कथन का विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।)

वह प्रमेय केवा प्रमेय के समान है जिसमें उनके समीकरण केवल संकेत में भिन्न होते हैं। क्रॉस-अनुपात के संदर्भ में प्रत्येक को पुनः लिखकर दो प्रमेयों को द्वैत (प्रक्षेपी ज्यामिति) के रूप में देखा जा सकता है।

प्रमाण

मेनेलॉस प्रमेय स्थिति 2: रेखा DEF पूरी तरह से त्रिभुज ABC के बाहर है

मानक प्रमाण इस प्रकार है:

सर्वप्रथम बायीं ओर का चिह्न ऋणात्मक होगा क्योंकि या तो तीनों अनुपात ऋणात्मक हैं (वह स्थिति जहां रेखा DEF त्रिभुज (निचला आरेख) को को छोड़ती है) या एक ऋणात्मक है और अन्य दो धनात्मक हैं (वह स्थिति जहाँ DEF त्रिभुज की दो भुजाओं को काटता है)। (पास्च का स्वयंसिद्ध देखें।)

परिमाण की जाँच करने के लिए A, B और C से रेखा DEF पर लंब बनाएँ तथा उनकी लंबाई क्रमशः a, b और c होने दें। इसके पश्चात समरूपता (ज्यामिति) त्रिभुजों के अनुसार यह |AF/FB| = |A/B|, |BD/DC| = |B/C| और |CE/EA| = |C/A| का अनुसरण करता है इसलिए,

$\left|{\frac {AF}{FB}}\right|\cdot \left|{\frac {BD}{DC}}\right|\cdot \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=1.\quad {\text{(Magnitude only)}}$

सरलता हेतु यदि परिमाण की जाँच करने के लिए कम सममित प्रकार है तब AB के समांतर CK खींचिए जहाँ DEF, CK से K पर मिलता है। उसके पश्चात समरूप त्रिभुजों द्वारा,

$\left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {BF}{CK}}\right|,\,\left|{\frac {AE}{EC}}\right|=\left|{\frac {AF}{CK}}\right|$

और परिणाम इन समीकरणों से CK को हटाकर प्राप्त होता है।

इसका विलोम परिणाम के रूप में अनुसरण करता है। मान लीजिए D, E और F को रेखा BC, AC, और AB पर दिया गया है ताकि समीकरण बना रहे। मान लीजिए कि F' वह बिंदु है जहां DE, AB को पार करता है। इसके पश्चात प्रमेय के अनुसार समीकरण D, E, और F' के लिए भी लागू होता है। दोनों की तुलना,

${\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}.$

परन्तु अधिक से अधिक एक बिंदु दिए गए अनुपात में एक खंड काट सकता है इसलिए, F=F′

समरूपता का प्रयोग करते हुए उपपत्ति

निम्नलिखित प्रमाण एफिन ज्यामिति की केवल धारणाओं का उपयोग करता है विशेष रूप से होमोथेटिक परिवर्तन।

D, E और F समरेख हैं या नहीं, केंद्र D, E, F के साथ तीन समरूपताएं होती हैं जो क्रमशः B को C, C को A, और A को B भेजती हैं। तीनों की संरचना तब का एक तत्व है समरूपता-अनुवाद का समूह जो B को ठीक करता है इसलिए यह केंद्र B के साथ समरूपता है संभवतः अनुपात 1 के साथ (जिस मामले में यह पहचान है)। यह रचना रेखा DE को ठीक करती है यदि और केवल यदि F, D और E के साथ समरेख है (चूंकि पहले दो समरूपताएं निश्चित रूप से DE को ठीक करती हैं और तीसरा ऐसा केवल तभी करता है जब F, DE पर स्थित हो)। इसलिए D, E, और F समरेख हैं यदि और केवल यदि यह संरचना पहचान है जिसका अर्थ है कि तीन अनुपातों के उत्पाद का परिमाण 1 है:

${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {DC}}{\overrightarrow {DB}}}\times {\frac {\overrightarrow {EA}}{\overrightarrow {EC}}}\times {\frac {\overrightarrow {FB}}{\overrig$