मिन-एन्ट्रॉपी

सूचना सिद्धांत में मिन-एन्ट्रॉपी, रेनी एन्ट्रॉपी, एंट्रॉपी के रेनी समूह में सबसे छोटी है, जो परिणामों के एक सेट की अप्रत्याशितता को मापने के रेनी एन्ट्रॉपी, मिन-एन्ट्रॉपी तरीके के अनुरूप है, जो कि संभाव्यता के ऋणात्मक लघुगणक के रूप में सबसे संभावित परिणाम है। एक समान वितरण के लिए विभिन्न रेनी एन्ट्रॉपी सभी समान हैं, लेकिन विभिन्न तरीकों से एक गैर-समान वितरण की अप्रत्याशितता को मापते हैं। मिन-एन्ट्रॉपी कभी भी सामान्य या शैनन एन्ट्रापी (जो परिणामों की औसत अप्रत्याशितता को मापती है) से अधिक नहीं होती है और बदले में यह कभी भी हार्टले या रेनी एन्ट्रॉपी, हार्टले या मैक्स-एंट्रॉपी से अधिक नहीं होती है, जिसे इस रूप में परिभाषित किया गया है शून्येतर संभावना वाले परिणामों की संख्या का लघुगणक।

चिरसम्मत शैनन एन्ट्रॉपी और इसके क्वांटम सामान्यीकरण, वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी के साथ, कोई भी मिन-एन्ट्रॉपी के एक सशर्त संस्करण को परिभाषित कर सकता है। सशर्त क्वांटम मिन-एन्ट्रॉपी एक-शॉट, या अपरिवर्तनवादी, सशर्त क्वांटम एन्ट्रॉपी का एनालॉग है।

एक सशर्त सूचना माप की व्याख्या करने के लिए, मान लीजिए कि ऐलिस और बॉब को एक द्विदलीय क्वांटम स्थिति साझा करनी थी $\rho _{AB}$. ऐलिस के पास सिस्टम तक पहुंच है $A$ और बॉब सिस्टम के लिए $B$. सशर्त एन्ट्रापी बॉब द्वारा अपने सिस्टम से नमूना लेने पर ऐलिस की स्थिति के बारे में औसत अनिश्चितता को मापती है। मिन-एंट्रॉपी की व्याख्या किसी अवस्था की अधिकतम उलझी हुई स्थिति से दूरी के रूप में की जा सकती है।

यह अवधारणा गोपनीयता प्रवर्धन के संदर्भ में क्वांटम क्रिप्टोग्राफी में उपयोगी है (उदाहरण के लिए देखें)। ).

चिरसम्मत वितरण के लिए परिभाषा

अगर $P=(p_{1},...,p_{n})$ एक चिरसम्मत परिमित संभाव्यता वितरण है, इसकी मिन-एन्ट्रापी को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है

$$H_{\rm {min}}({\boldsymbol {P}})=\log {\frac {1}{P_{\rm {max}}}},\qquad P_{\rm {max}}\equiv \max _{i}p_{i}.$$

मात्रा (क्वांटिटी) के नाम को उचित ठहराने का एक तरीका यह है कि इसकी तुलना एन्ट्रापी की अधिक मानक परिभाषा से की जाए, जिसमें लिखा है $H({\boldsymbol {P}})=\sum _{i}p_{i}\log(1/p_{i})$, और इस प्रकार इसे अपेक्षित मूल्य के रूप में संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है $\log(1/p_{i})$ वितरण पर, यदि इस मात्रा का अपेक्षित मूल्य लेने के अतिरिक्त हम इसका न्यूनतम मूल्य लेते हैं, तो हमें ठीक उपरोक्त परिभाषा मिलती है $H_{\rm {min}}({\boldsymbol {P}})$.

क्वांटम अवस्थाओं की परिभाषा

क्वांटम अवस्थाओं के लिए न्यूनतम-एन्ट्रापी को परिभाषित करने का एक प्राकृतिक तरीका सरल अवलोकन का लाभ उठाना है कि क्वांटम अवस्थाओं को कुछ आधारों पर मापा जाने पर संभाव्यता वितरण में परिणाम मिलता है। हालाँकि इसमें अतिरिक्त कठिनाई यह है कि एक एकल क्वांटम स्थिति के परिणामस्वरूप अनंत रूप से कई संभावित संभाव्यता वितरण हो सकते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि इसे कैसे मापा जाता है। फिर एक प्राकृतिक पथ को क्वांटम अवस्था दी जाती है $\rho$, अभी भी परिभाषित करने के लिए $H_{\rm {min}}(\rho )$ जैसा $\log(1/P_{\rm {max}})$, लेकिन इस बार परिभाषित $P_{\rm {max}}$ अधिकतम संभव संभावना के रूप में जिसे मापकर प्राप्त किया जा सकता है $\rho$, सभी संभावित प्रक्षेप्य मापों को अधिकतम करना।

औपचारिक रूप से, यह परिभाषा प्रदान करेगा

$$H_{\rm {min}}(\rho )=\max _{\Pi }\log {\frac {1}{\max _{i}\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho )}}=-\max _{\Pi }\log \max _{i}\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),$$

जहां हम सभी प्रक्षेप्य मापों के सेट को अधिकतम कर रहे हैं $\Pi =(\Pi _{i})_{i}$, $\Pi _{i}$ पीओवीएम औपचारिकता में माप परिणामों का प्रतिनिधित्व करें, और $\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho )$ इसलिए अवलोकन की संभावना है $i$-वाँ परिणाम जब माप है $\Pi$.

दोहरे अधिकतमकरण को लिखने के लिए एक अधिक संक्षिप्त विधि यह देखना है कि किसी भी पीओवीएम का कोई भी तत्व एक हर्मिटियन ऑपरेटर है जैसे कि $0\leq \Pi \leq I$, और इस प्रकार हम इन्हें प्राप्त करने के लिए समान रूप से सीधे अधिकतम कर सकते हैं

$$H_{\rm {min}}(\rho )=-\max _{0\leq \Pi \leq I}\log \operatorname {tr} (\Pi \rho ).$$

वास्तव में, यह अधिकतमीकरण स्पष्ट रूप से किया जा सकता है और अधिकतम तब प्राप्त होता है जब $\Pi$ (किसी भी) के सबसे बड़े आइजेनवैल्यू(ओं) पर प्रक्षेपण है $\rho$. इस प्रकार हमें मिन-एन्ट्रॉपी के लिए एक और अभिव्यक्ति मिलती है:

$${}_{}$$