मालफट्टी वृत्त

File:Malfatti's circles.svg

मालफट्टी वृत्तों

ज्यामिति में, मालफट्टी (मालफत्ती) वृत्त एक दिए गए त्रिभुज के अंदर तीन वृत्त होते हैं जैसे कि प्रत्येक वृत्त त्रिभुज के अन्य दो और दो पक्षों के लिए स्पर्शरेखा वृत्त होता है। उनका नाम जियान फ्रांसेस्को मालफत्ती के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने गलत धारणा में इन वृत्तों के निर्माण की समस्या का प्रारंभिक अध्ययन किया था कि उनके पास त्रिभुज के भीतर किसी भी तीन अलग-अलग वृत्तों का सबसे बड़ा संभव कुल क्षेत्रफल होगा।

मालफट्टी की समस्या का उपयोग मालफट्टी वृत्तों के निर्माण की समस्या और एक त्रिकोण के भीतर तीन क्षेत्र-अधिकतम करने वाले वृत्तों को खोजने की समस्या के संदर्भ में किया गया है। मालफट्टी वृत्तों का एक सरल निर्माण द्वारा दिया गया था स्टेनर (1826), और तब से कई गणितज्ञों ने समस्या का अध्ययन किया है। मालफत्ती ने स्वयं तीन वृत्तों की त्रिज्या के लिए एक सूत्र प्रदान किया, और उनका उपयोग दो त्रिभुज केंद्रों को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है, एक त्रिभुज के अजिमा-मालफट्टी बिंदु।

एक त्रिभुज में तीन वृत्तों के कुल क्षेत्रफल को अधिकतम करने की समस्या को मालफट्टी वृत्तों द्वारा कभी हल नहीं किया जाता है। इसके बजाय, इष्टतम समाधान प्रायः ग्रीडी एल्गोरिदम द्वारा पाया जा सकता है जो दिए गए त्रिकोण के भीतर सबसे बड़ा वृत्त पाता है, पहले वृत्त के बाहर त्रिभुज के तीन जुड़े उपसमुच्चय के भीतर सबसे बड़ा वृत्त, और पांच जुड़े उपसमुच्चय के भीतर सबसे बड़ा वृत्त पहले दो वृत्तों के बाहर त्रिभुज। हालाँकि यह प्रक्रिया पहली बार 1930 में तैयार की गई थी, लेकिन इसकी शुद्धता 1994 तक सिद्ध नहीं हुई थी।

मालफट्टी की समस्या

Unsolved problem in mathematics:

Does the greedy algorithm always find area-maximizing packings of more than three circles in any triangle?

(more unsolved problems in mathematics)

एक समबाहु त्रिभुज में मालफट्टी वृत्तों का क्षेत्रफल (बाएं) तीन क्षेत्र-अधिकतम करने वाले वृत्तों (दाएं) से लगभग 1% छोटा होता है।

जियान फ्रांसेस्को मालफट्टी (1803) संगमरमर के त्रिकोणीय प्रिज्म से तीन बेलनाकार स्तंभों को काटने की समस्या सामने आई, जिससे स्तंभों की कुल मात्रा अधिकतम हो गई। उन्होंने माना कि इस समस्या का समाधान कील के त्रिकोणीय क्रॉस-सेक्शन के भीतर तीन स्पर्शरेखा वृत्तों द्वारा दिया गया था। यही है, अधिक सारगर्भित रूप से, उन्होंने अनुमान लगाया कि तीन मालफट्टी वृत्तों में दिए गए त्रिकोण के भीतर किन्हीं तीन अलग-अलग वृत्तों का अधिकतम कुल क्षेत्रफल है। मालफत्ती के काम को फ्रेंच में एक व्यापक पाठक वर्ग के लिए लोकप्रिय बनाया गया था, जोसेफ डियाज गेरगोन ने अपने एनाल्स डी गेरगोन (#) के पहले खंड मेंCITEREFGergonne1811), दूसरी और दसवीं में आगे की चर्चा के साथ। हालांकि, गेर्गोन ने केवल वृत्त-स्पर्शरेखा समस्या को बताया, न कि क्षेत्र-अधिकतमीकरण समस्या।

File:Malfatti's circles in sharp isosceles triangle.svg

एक समद्विबाहु त्रिभुज में एक तेज शीर्ष के साथ, मालफट्टी के वृत्त (शीर्ष) एक लालची एल्गोरिदम (नीचे) के साथ रखे गए तीन वृत्तों के क्षेत्र के लगभग आधे हिस्से पर कब्जा करते हैं।

मालफट्टी की धारणा है कि दो समस्याएं समतुल्य हैं गलत है। लोब and रिचमंड (1930), जो मूल इतालवी पाठ पर वापस गए, ने देखा कि कुछ त्रिकोणों के लिए एक लालची एल्गोरिथ्म द्वारा एक बड़ा क्षेत्र प्राप्त किया जा सकता है जो त्रिभुज के भीतर अधिकतम त्रिज्या के एक वृत्त को अंकित करता है, तीन शेष कोनों में से एक के भीतर एक दूसरे वृत्त को अंकित करता है। त्रिभुज, सबसे छोटे कोण वाला त्रिभुज, और शेष पाँच टुकड़ों में सबसे बड़े के भीतर एक तीसरा वृत्त अंकित करता है। एक समबाहु त्रिभुज के लिए क्षेत्रफल में अंतर छोटा है, केवल 1% से अधिक, परंतु जैसे हावर्ड ईव्स (1946) ने बताया, एक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए एक बहुत ही तेज शीर्ष के साथ, इष्टतम मंडल (त्रिकोण के आधार के ऊपर एक दूसरे के ऊपर एक ढेर) में मालफट्टी वृत्तों का क्षेत्रफल लगभग दोगुना होता है। वास्तव में, मालफट्टी वृत्त कभी भी इष्टतम नहीं होते हैं। यह 1960 के दशक में संख्यात्मक संगणनाओं के माध्यम से खोजा गया था, और बाद में कठोर रूप से सिद्ध किया गया था, कि लोब-रिचमंड प्रक्रिया हमेशा सबसे बड़े क्षेत्र के साथ तीन वृत्तों का उत्पादन करती है, और ये हमेशा मालफट्टी वृत्तों से बड़े होते हैं। मेलिसेन (1997) किसी भी पूर्णांक के लिए अधिक सामान्य तौर पर अनुमान लगाया गया n, लालची एल्गोरिथम का क्षेत्र-अधिकतम करने वाला सेट ढूंढता है n दिए गए त्रिभुज के भीतर वृत्त; अनुमान के लिए सच माना जाता है n ≤ 3.

इतिहास

18वीं सदी के जापानी गणितज्ञ अजीमा नोनोबू ने मालफत्ती के काम से पहले त्रिकोण के भीतर एक-दूसरे को स्पर्श करने वाली तीन मंडलियों के निर्माण की समस्या पेश की थी, और अजीमा के कार्यों के एक अप्रकाशित संग्रह में सम्मिलित किया गया था, जो उनके छात्र कुसाका द्वारा अजिमा की मृत्यु के एक साल बाद बनाया गया था। मकोतो। पहले भी, इसी समस्या पर 1384 पांडुलिपि में गिलियो डी सेको दा मोंटेपुलसियानो द्वारा विचार किया गया था, जो अब सिएना, इटली के नगर पुस्तकालय (सिएना)सिएना) में है। जैकब बर्नौली (1744) ने एक विशिष्ट समद्विबाहु त्रिभुज के लिए समस्या के एक विशेष मामले का अध्ययन किया।

मालफट्टी के काम के बाद से, मालफट्टी के तीन स्पर्शरेखा मंडलों के निर्माण के तरीकों पर काफी काम किया गया है; रिचर्ड के. गाइ लिखते हैं कि समस्या पर साहित्य व्यापक, व्यापक रूप से बिखरा हुआ है, और हमेशा स्वयं के बारे में जागरूक नहीं होता है।विशेष रूप से, जैकब स्टीनर (1826) स्पर्शरेखाओं पर आधारित एक सरल ज्यामितीय रचना प्रस्तुत की; तब से अन्य लेखकों ने दावा किया है कि स्टीनर की प्रस्तुति में एक प्रमाण की कमी थी, जिसे बाद में एंड्रयू हार्ट (1856), लेकिन गाय उस समय से स्टेनर के स्वयं के दो पत्रों में बिखरे हुए प्रमाण की ओर इशारा करता है। समस्या के बीजगणितीय योगों पर आधारित समाधानों में वे सम्मिलित हैं सी. एल. लेहमस (1819), ई. सी. कातालान (1846), सी एडम्स (1846, 1849), जे. डेरूसो (1895), और एंड्रियास पंपुच (1904). बीजगणितीय समाधान वृत्तों और दिए गए त्रिकोण के बीच आंतरिक और बाह्य स्पर्शरेखाओं के बीच अंतर नहीं करते हैं; यदि समस्या को किसी भी प्रकार की स्पर्शरेखाओं की अनुमति देने के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, तो दिए गए त्रिभुज के 32 अलग-अलग समाधान होंगे और इसके विपरीत परस्पर स्पर्शरेखा वाले वृत्तों का एक तिगुना आठ अलग-अलग त्रिभुजों का समाधान होगा। बोटेमा (2001) इन समाधानों की गणना का श्रेय इन्हें देता है पंपुच (1904), लेकिन काजोरी (1893) नोट करता है कि समाधानों की संख्या की यह गणना द्वारा एक टिप्पणी में पहले ही दी जा चुकी थी स्टेनर (1826). समस्या और इसका सामान्यीकरण 19वीं सदी के कई अन्य गणितीय प्रकाशनों का विषय था, और तब से इसका इतिहास और गणित निरंतर अध्ययन का विषय रहा है। ज्यामिति की किताबों में भी यह लगातार एक विषय रहा है।

गट्टो (2000) और माज़ोटी (1998) मालफत्ती वृत्तों से संबंधित 19वीं सदी के दो सिसिली साम्राज्य के गणित में एक प्रकरण का वर्णन करें। 1839 में, विन्सेंट बांसुरी, एक सिंथेटिक ज्यामिति, ने तीन ज्यामिति समस्याओं के समाधान को सम्मिलित करते हुए एक चुनौती पेश की, जिनमें से एक मालफत्ती के वृत्तों का निर्माण था; ऐसा करने का उनका इरादा सिंथेटिक से लेकर विश्लेषणात्मक तकनीकों की श्रेष्ठता दिखाना था। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के प्रतिद्वंद्वी स्कूल के एक छात्र फ़ोर्टुनैटो पादुला द्वारा दिए गए समाधान के अतिरिक्त, फ़्लौटी ने अपने ही छात्र निकोला ट्रुडी को पुरस्कार दिया, जिनके समाधान फ़्लॉटी को तब पता चला जब उन्होंने अपनी चुनौती पेश की। हाल ही में, कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों के लिए एक परीक्षण समस्या के रूप में मालफत्ती वृत्तों के निर्माण की समस्या का उपयोग किया गया है।

स्टेनर का निर्माण

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जैकब स्टेनर द्वारा स्पर्शरेखाओं का उपयोग करते हुए मालफत्ती वृत्तों का निर्माण

हालांकि मालफत्ती वृत्तों पर प्रारंभिक काम में विश्लेषणात्मक ज्यामिति का उपयोग किया गया था, स्टेनर (1826) ने निम्नलिखित सरल सिंथेटिक ज्यामिति निर्माण प्रदान किया।

एक वृत्त जो त्रिभुज की दो भुजाओं पर स्पर्शरेखा है, जैसा कि मालफट्टी वृत्त हैं, त्रिभुज के कोण द्विभाजक में से एक पर केंद्रित होना चाहिए (चित्र में हरा)। ये समद्विभाजक त्रिभुज को तीन छोटे त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, और मालफत्ती वृत्तों के स्टीनर का निर्माण इन तीन छोटे त्रिभुजों में से प्रत्येक के भीतर खुदे हुए एक अलग ट्रिपल वृत्त (चित्र में धराशायी दिखाया गया है) को चित्रित करके प्रारम्भ होता है। सामान्य तौर पर ये वृत्त असंयुक्त होते हैं, इसलिए दो वृत्तों के प्रत्येक युग्म में चार स्पर्शरेखाएँ होती हैं (दोनों को स्पर्श करने वाली रेखाएँ)। इनमें से दो द्विस्पर्श रेखाएँ उनके वृत्तों के बीच से गुजरती हैं: एक कोण द्विभाजक है, और दूसरी आकृति में लाल धराशायी रेखा के रूप में दिखाई गई है। दिए गए त्रिभुज की तीनों भुजाओं को इस प्रकार नामांकित कीजिए a, b, और c, और तीन स्पर्शरेखाओं को लेबल करें जो कोण द्विभाजक नहीं हैं x, y, और z, जहाँ x उन दो वृत्तों की स्पर्शरेखा है जो पार्श्व स्पर्श नहीं करते हैं a, y उन दो वृत्तों की स्पर्शरेखा है जो पार्श्व स्पर्श नहीं करते हैं b, और z उन दो वृत्तों की स्पर्शरेखा है जो पार्श्व स्पर्श नहीं करते हैं c. फिर तीन मालफट्टी वृत्त तीन स्पर्शरेखा चतुर्भुजों के लिए खुदे हुए वृत्त हैं abyx, aczx, और bczy. समरूपता के मामले में दो धराशायी वृत्त एक द्विभाजक पर एक बिंदु में स्पर्श कर सकते हैं, जिससे दो स्पर्शरेखाएं वहां मिलती हैं, लेकिन फिर भी मालफट्टी के वृत्तों के लिए प्रासंगिक चतुर्भुज की स्थापना होती है।

तीन स्पर्शरेखाएँ x, y, और z तीसरे खुदे हुए वृत्त के साथ स्पर्शरेखा के बिंदु पर त्रिभुज की भुजाओं को पार करें, और इन अंतःवृत्तों के केंद्रों के जोड़े को जोड़ने वाली रेखाओं में कोण द्विभाजक के प्रतिबिंब के रूप में भी पाया जा सकता है।

त्रिज्या सूत्र

तीनों मालफट्टी वृत्तों में से प्रत्येक की त्रिज्या को एक सूत्र के रूप में निर्धारित किया जा सकता है जिसमें तीन पार्श्व लंबाई सम्मिलित होती है a, b, और c त्रिभुज की, अंतःत्रिज्या r, अर्धपरिधि $s=(a+b+c)/2$, और तीन दूरी d, e, और f त्रिभुज के केंद्र से विपरीत भुजाओं के शीर्षों तक a, b, और c क्रमश। तीन त्रिज्या के सूत्र हैं:

$${\begin{aligned}r_{1}&={\frac {r}{2(s-a)}}(s-r+d-e-f),\\r_{2}&={\frac {r}{2(s-b)}}(s-r-d+e-f),\\r_{3}&={\frac {r}{2(s-c)}}(s-r-d-e+f).\\\end{aligned}}$$

संबंधित सूत्रों का उपयोग उन त्रिभुजों के उदाहरणों को खोजने के लिए किया जा सकता है जिनकी भुजाओं की लंबाई, इनराडी और मालफट्टी त्रिज्या सभी परिमेय संख्याएँ या सभी पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, भुजाओं की लंबाई 28392, 21000, और 25872 वाले त्रिभुज की त्रिज्या 6930 और मालफट्टी त्रिज्या 3969, 4900 और 4356 है। , 30976, और 32400।

अजिमा-मालफट्टी अंक

File:Primo punto di Malfatti.svg

पहला अजिमा-मालफट्टी बिंदु

एक त्रिभुज ABC और उसके तीन मालफट्टी वृत्तों को देखते हुए, D, E, और F को वे बिंदु होने दें जहाँ दो वृत्त एक दूसरे को स्पर्श करते हैं, क्रमशः A, B और C के विपरीत कोने। फिर तीन रेखाएँ AD, BE, और CF एक त्रिभुज केंद्र में मिलती हैं, जिसे वृत्त समस्या में अजीमा और मालफट्टी के योगदान के बाद पहले 'अजीमा-मालफट्टी बिंदु' के रूप में जाना जाता है। दूसरा अजिमा-मालफत्ती बिंदु तीन रेखाओं का मिलन बिंदु है जो मालफट्टी वृत्तों की स्पर्शरेखाओं को त्रिभुज के बाहरी वृत्तों के केंद्रों से जोड़ता है। मालफट्टी वृत्तों से जुड़े अन्य त्रिकोण केंद्रों में Yff-Malfatti बिंदु भी सम्मिलित है, जो उसी तरह से बनता है जैसे तीन परस्पर स्पर्शरेखा वृत्तों से पहला मालफट्टी बिंदु होता है जो दिए गए त्रिकोण के किनारों के माध्यम से रेखाओं के स्पर्शरेखा होते हैं, लेकिन यह आंशिक रूप से होता है। त्रिभुज के बाहर, और तीन मालफत्ती वृत्तों का शक्ति केंद्र (ज्यामिति) (वह बिंदु जहां उनके निर्माण में प्रयुक्त तीन स्पर्शरेखाएं मिलती हैं)।

यह भी देखें

• समबाहु त्रिभुज में वृत्त पैकिंग
• समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में वृत्त पैकिंग
• छह वृत्त प्रमेय

संदर्भ

• Adams, C. (1846), Das Malfattische Problem, Winterthür: Druck und Verlag der Steiner'schen Buchhandlung.
• Adams, C. (1849), "Lemmes sur les cercles inscrits à un triangle, et solution algébrique du problème de Malfatti", Nouvelles Annales de Mathématiques, 8: 62–63.
• Affolter, Fr. G. (1873), "Ueber das Malfatti'sche Problem", Mathematische Annalen, 6 (4): 597–602, doi:10.1007/BF01443199, MR 1509836, S2CID 120293529.
• Andreatta, Marco; Bezdek, András; Boroński, Jan P. (2010), "The problem of Malfatti: two centuries of debate" (PDF), The Mathematical Intelligencer, 33 (1): 72–76, doi:10.1007/s00283-010-9154-7, S2CID 55185397.
• Andreescu, Titu; Mushkarov, Oleg; Stoyanov, Luchezar N. (2006), "2.3 Malfatti's Problems", Geometric Problems on Maxima and Minima, Birkhäuser, pp. 80–87, doi:10.1007/0-8176-4473-3, ISBN 978-0-8176-3517-6.