माधव श्रृंखला

गणित में, एक माधव श्रृंखला 14वीं या 15वीं शताब्दी में केरल में संगमग्राम के गणितज्ञ और खगोलशास्त्री माधव (सी. 1350 - सी. 1425) या उनके अनुयायियों द्वारा केरल स्कूल में खगोलिकी और अंक शास्त्र में खोजे गए ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा फलन के लिए तीन टेलर श्रृंखला विस्तारों में से एक है। आधुनिक संकेतन का उपयोग करते हुए, ये श्रृंखलाएँ हैं:

${\begin{alignedat}{3}\sin \theta &=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}\theta ^{2k+1},\\[10mu]\cos \theta &=1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}\theta ^{2k},\\[10mu]\arctan x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots &&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}x^{2k+1}\quad {\text{where }}|x|\leq 1.\end{alignedat}}$

तीनों श्रृंखलाओं को बाद में 17वीं सदी के यूरोप में स्वतंत्र रूप से खोजा गया। 1669 में आइजैक न्यूटन द्वारा ज्या और कोज्या की श्रृंखला को फिर से खोजा गया, और चाप स्पर्शरेखा की श्रृंखला को 1671 में जेम्स ग्रेगरी और 1673 में गॉटफ्रीड लाइबनिज द्वारा फिर से खोजा गया था, और इसे पारंपरिक रूप से ग्रेगरी की श्रृंखला कहा जाता है। विशिष्ट मान ${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi }$ वृत्त नियतांक π की गणना करने के लिए किया जा सकता है, और 1 के लिए स्पर्शरेखा श्रृंखला को पारंपरिक रूप से लीबनिज़ की श्रृंखला कहा जाता है।

माधव की प्राथमिकता की मान्यता में, हाल ही की रचना में इन

श्रृंखलाओं को कभी-कभी माधव-न्यूटन श्रृंखला, माधव-ग्रेगरी श्रृंखला या माधव-लीबनिज श्रृंखला(अन्य समुच्चयों के बीच) कहा जाता है। माधव की किसी भी विद्यमान रचना में उन व्यंजकों के बारे में स्पष्ट कथन नहीं हैं जिन्हें अब माधव श्रृंखला कहा जाता है। हालाँकि,बाद के केरल के गणितज्ञ नीलकण्ठ सोमयाजी और ज्येष्ठदेव के लेखन में माधव को इन श्रृंखलाओं के स्पष्ट गुण मिल सकते हैं। बाद के इन कार्यों में ऐसे प्रमाण और वृत्तविवरण भी सम्मिलित हैं जो बताते हैं कि श्रृंखला में माधव कैसे पहुंचे होंगे।

"माधव के अपने शब्द" में माधव श्रृंखला

माधव की कोई भी रचना, जिसमें उनके नाम से कोई भी श्रंखला व्यंजक सम्मिलित है, बची नहीं है। केरल स्कूल में माधव के अनुयायियों के लेखन में ये श्रृंखला व्यंजक पाए जाते हैं। कई स्थानों पर इन लेखकों ने स्पष्ट रूप से कहा है कि ये "माधव द्वारा बताए गए" हैं। इस प्रकार तंत्रसंग्रह और उसके वृत्तवर्णन में पाई जाने वाली विभिन्न श्रंखलाओं की व्याख्या "माधव के अपने शब्दों" में सुरक्षित रूप से मानी जा सकती है। शंकर वरियार (लगभग 1500 - 1560 CE) द्वारा तंत्रसंग्रह (जिसे तंत्रसंग्रह-व्याख्या के रूप में भी जाना जाता है) की युक्तिदीपिका टिप्पणी में दिए गए प्रासंगिक छंदों के अनुवाद नीचे पुन: प्रस्तुत किए गए हैं। इसके बाद इन्हें वर्तमान गणितीय अंकन में दर्शाया गया है।

माधव की ज्या श्रंखला

माधव के अपने शब्दों में

माधव की ज्या श्रृंखला शंकर वरियार द्वारा युक्ति-दीपिका टिप्पणी (तंत्रसंग्रह-व्याख्या) में 2.440 और 2.441 छंदों में बताई गई है। छंद का अनुवाद इस प्रकार है।

चाप के वर्ग से चाप को गुणा करें, और इसे पुनरावर्ती का परिणाम लें (कितनी बार)। क्रमिक सम संख्याओं के वर्गों से विभाजित करें (जैसे कि वर्तमान को पिछले से गुणा किया जाता है) उस संख्या से बढ़ाकर और त्रिज्या के वर्ग से गुणा किया जाता है। चाप और क्रमिक परिणाम एक के नीचे एक रखें, और प्रत्येक को ऊपर वाले से घटाएं। ये एक साथ जीवा [ज्या] देते हैं, जैसा कि "विद्वान" आदि से शुरू होने वाले छंद में एक साथ एकत्र किया गया है।

आधुनिक अंकन में प्रतिपादन

मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या और s चाप-लंबाई को निरूपित करता है।

• निम्नलिखित अंश (भिन्न के ऊपर का अंक) पहले रूपांकित हैं:

  $s\cdot s^{2},\qquad s\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad s\cdot s^{2}\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad \cdots$

• फिर इन्हें छंद में निर्दिष्ट मात्राओं से विभाजित किया जाता है।

  $s\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{s^2}{(2^2+2)r^2},s\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{s^2}{(2^2+2)r^2}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{s^2}{(4^2+4)r^2},s\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{s^2}{(2^2+}$