ब्लो अप

This article is about ब्लो अप की गणितीय अवधारणा. For भौतिक/रासायनिक प्रक्रिया के बारे में जानकारी, see विस्फोट. For "ब्लो अप" के अन्य उपयोग, see ब्लो अप (बहुविकल्पी).

File:Blowup.png

एफ़ाइन विमान का विस्फोट।

गणित में ब्लो अप एक प्रकार का ज्यामितीय परिवर्तन है जो किसी दिए गए स्थान के उप-स्थान को उस उप-स्थान से बाहर की ओर इंगित करते हुए सभी दिशाओं से परिवर्तित कर देता है। उदाहरण के लिए किसी विमान में एक बिंदु का विस्फोट बिंदु को उस बिंदु पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान से परिवर्तित कर देता है। इस प्रकार किसी रूपक के विस्फोट का प्रदर्शन करने के अतिरिक्त चित्र के भाग को बड़ा करने के लिए तस्वीर पर ज़ूम इन करने का तरीका है।

ब्लोअप द्विवार्षिक ज्यामिति में सबसे मौलिक परिवर्तन हैं, क्योंकि इसके प्रक्षेपी प्रकारों के बीच प्रत्येक द्विवार्षिक रूपवाद विस्फोट का रूप ले लेता हैं। इस प्रकार किसी कमजोर गुणनखंड वाली प्रमेय को प्रदर्शित करता है जो इस प्रकार हैं कि प्रत्येक द्विभाजित मानचित्र को विशेष रूप से सरल ब्लोअप की संरचना के रूप में कारक बनाया जाता है। इस प्रकार क्रेमोना समूह विमान के बायरेशनल मोर्फिज़्म का समूह ब्लोअप द्वारा उत्पन्न होता है।

द्विपक्षीय परिवर्तनों का वर्णन करने में उनके महत्व के अतिरिक्त ब्लूप-अप भी नए स्थानों के निर्माण के लिए महत्वपूर्ण विधि है। इस प्रकार उदाहरण के लिए विलक्षणताओं के समाधान के लिए अधिकांश प्रक्रियाएँ विलक्षणताओं को तब तक ब्लो अप करके आगे बढ़ाती हैं जब तक कि वे सहज न हो जाएँ। इसका मुख्य परिणाम यह है कि ब्लोअप का उपयोग बायरेशनल मैप्स की विलक्षणताओं को हल करने के लिए किया जाता हैं।

मौलिक रूप से, ब्लूप-अप को बाहरी रूप से परिभाषित किया गया था, पहले निर्देशांक में स्पष्ट निर्माण का उपयोग करके प्रक्षेपण स्थान जैसे रिक्त स्थान पर ब्लूप-अप को परिभाषित करके और फिर इस प्रकार एम्बेडिंग के संदर्भ में अन्य रिक्त स्थान पर ब्लोअप को परिभाषित करने के लिए किया जाता हैं। यह कुछ शब्दावली के कारण इसमें परिलक्षित किया जाता हैं, जैसे कि मौलिक शब्द मोनोइडल स्थानांनतरण इसका मुख्य उदाहरण हैं। इसके समकालीन बीजगणितीय ज्यामिति ब्लोइंग को बीजगणितीय विविधता पर इसके लिए आंतरिक संक्रिया के रूप में माना जाता हैं। इस प्रकार इस दृष्टिकोण से किसी उप-वर्ग को कार्टियर भाजक में परिवर्तित करने के लिए विस्फोट सार्वभौमिक (श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में) विधि के रूप में उपयोग किया जाता हैं।

किसी ब्लोअप को मोनॉयडल स्थानांनतरण, लोकल क्वाड्रैटिक स्थानांनतरण, सूचक, σ-प्रक्रिया, या हॉफ मैप भी कहा जा सकता है।

विमान में किसी बिंदु के कारण विस्फोट

विस्फोट का सबसे सरल स्थिति विमान में ऐसे बिंदु का विस्फोट है। जिसके उदाहरण में ब्लोइंग की अधिकांश सामान्य विशेषताएं देखी जा सकती हैं।

ब्लोअप की इस घटना को पत्राचार के रूप में सिंथेटिक विवरण के रूप में माना जाता हैं। इस प्रकार यहाँ पर याद रखें कि ग्रासमानियन G (1,2) विमान में बिंदु के माध्यम से सभी लाइनों के समूहों को पैरामीट्रिज करता है। इस प्रकारप्रक्षेपी विमान P² का ब्लोअप बिंदु P पर, जिसे हम X निरूपित करते हैं-

$X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {G} (1,2).$

यहाँ Q एक अन्य बिंदु और $\ell$ को दर्शाता है जो ग्रासमैनियन का तत्व है। इस प्रकार X प्रक्षेपी प्रकार है क्योंकि यह प्रक्षेपी प्रकारों के उत्पाद की विवृत उप-प्रकार को प्रकट करता है। यह प्राकृतिक संरचना π से 'P²' तक आता है जो $(Q,\ell )$ Q के लिए संयोजन के रूप में उपयोग किया जाता है। यह संरचना सभी बिंदुओं के संवृत्त उपसमुच्चय पर समरूपता को प्रकट करता है, इस प्रकार $(Q,\ell )$ Q ≠ P के साथ रेखा $\ell$ उन दो बिंदुओं से निर्धारित होता है। जब Q = P होता हैं तब इस रेखा $\ell$ P से होकर जाने वाली रेखा हो सकती है। इस प्रकार ये रेखाएँ P से होकर जाने वाली दिशाओं के स्थान के अनुरूप हैं, जो 'P' के समरूपी है। इस प्रकार P¹ को असाधारण विभाजक कहा जाता है, और इस परिभाषा के अनुसार यह प्रक्षेपित सामान्य समूह P पर सामान्य परिभाषा को प्रकट करता हैं। क्योंकि P ऐसा बिंदु है जिसमें सामान्य स्थानों की स्पर्शरेखा के लिए यह स्थान समान रहता हैं, इसलिए असाधारण भाजक P पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान पर आइसोमोर्फिक रूप में होता है।

ब्लूप-अप पर निर्देशांक देने के लिए हम उपरोक्त घटनाओं के पत्राचार के लिए समीकरण लिख सकते हैं। इस प्रकार 'P²' के मान के अनुसार सजातीय निर्देशांक [X₀:X₁:X₂] होने पर P बिंदु [P₀:P₁:P₂] है। इस प्रकार प्रक्षेपी द्वैत बिन्दु G(1,2) P² के लिए तुल्याकारी है, इसलिए हम इसे सजातीय निर्देशांक [L₀: L₁: L₂] दे सकते हैं। किसी पंक्ति $\ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]$ के सभी समूहों का मान [X₀:X₁:X₂] है जो इस प्रकार हैं कि X₀L₀ + X₁L₁ + X₂L₂ = 0 के समान होता हैं। इस प्रकार इसे विस्फोट के रूप में वर्णित किया जा सकता है

$X=\{([X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}])\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0\}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.$

ब्लोअप P से दूर आइसोमोर्फिज्म को प्रकट करने में सहयोगी होता है, और प्रोजेक्टिव समतल के अतिरिक्त एफाइन समतल में कार्य करके, हम ब्लोअप के लिए सरल समीकरण दे सकते हैं। प्रक्षेपी रूपांतरण के बाद, हम मान सकते हैं कि P = [0:0:1]। एफिन समतल X पर निर्देशांक के लिए x और y लिखें₂≠0। स्थिति P ∈ $\ell$ तात्पर्य यह है कि L₂ = 0, इसलिए हम ग्रासमैनियन को P^{1 से परिवर्तित कर सकते हैं। इस कारण ब्लोअप विविधता कुछ इस प्रकार होता है-}

$\{((x,y),[z:w])\mid xz+yw=0\}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.$

इन संकेतों में से किसी एक को व्युत्क्रम करने के लिए उचित निर्देशांकों को परिवर्तित करना अधिक सामान्य है। इस कारण ब्लूप-अप को इस रूप में लिखा जा सकता है

$\left\{((x,y),[z:w])\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}.$

यह समीकरण पिछले वाले की तुलना में सामान्यीकृत करना सरल है।

यदि हम ग्रासमैनियन के अनंत बिंदु को हटा दें, तो विस्फोट को सरली से देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए w = 1 समूह और 3D समतल में मानक सैडल पॉइंट सैडल सतह y = xz प्राप्त करें।

ब्लोअप को सामान्य स्थान से बिंदु तक सीधे निर्देशांक का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार इसे पुनः हम एफाइन समतल 'A^{2' पर कार्य करते हैं। इसके मूल बिंदु के लिए सामान्य स्थान सदिश स्थान m/m2 के रूप में प्रकट होता हैं, जहाँ m = (x, y) मूल बिंदु की उच्चिष्ठ गुणक के रूप में प्रकट होता हैं। इस कारण बीजगणितीय रूप से इस सदिश स्थान का प्रक्षेपीकरण इसके सममित बीजगणित का गुणनफल है, अर्थात,}

$X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.$

इस उदाहरण में, इसका ठोस विवरण है

$X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),$

जहां x और y की डिग्री 0 है और z और w की डिग्री 1 है।

वास्तविक या जटिल संख्याओं के ऊपर, ब्लूप-अप का संबंधित योग के रूप में एक सांस्थितिकीय विवरण $$