ब्लॉक सेल्युलर ऑटोमेटन
ब्लॉक सेल्युलर ऑटोमेटन या पार्टीशनिंग सेल्युलर ऑटोमेटन विशेष प्रकार का सेल्युलर ऑटोमेटन है जिसमें कोशिकाओं के जालक को गैर-अतिव्यापी ब्लॉकों (भिन्न-भिन्न समय चरणों में भिन्न-भिन्न विभाजन के साथ) में विभाजित किया जाता है और संक्रमण नियम समय में पूरे ब्लॉक पर प्रयुक्त किया जाता है। कोशिका के अतिरिक्त ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटा भौतिक मात्राओं के सिमुलेशन के लिए उपयोगी होते हैं, क्योंकि ऐसे संक्रमण नियमों को चुनना सीधा होता है जो भौतिक बाधाओं जैसे कि प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन और संरक्षण नियम (भौतिकी) का पालन करते हैं।[1]
परिभाषा
ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन में निम्नलिखित तत्व होते हैं:[1][2]
- कोशिकाओं की नियमित जालक (समूह)।
- स्थितियों का सीमित सेट जिसमें प्रत्येक कोशिका हो सकती है
- कोशिकाओं का समान चौकोर में विभाजन जिसमें विभाजन की प्रत्येक टाइल का आकार और आकार समान होता है
- प्रत्येक समय चरण के पश्चात् विभाजन को स्थानांतरित करने का नियम
- संक्रमण नियम, कार्य जो इनपुट के रूप में ही टाइल में कोशिकाओं के लिए स्तरों का असाइनमेंट लेता है और आउटपुट के रूप में समान कोशिकाओं के लिए स्तरों का और असाइनमेंट उत्पन्न करता है।
प्रत्येक समय चरण में, संक्रमण नियम को विभाजन में सभी टाइलों पर साथ और समकालिक रूप से प्रयुक्त किया जाता है। फिर, विभाजन को स्थानांतरित कर दिया जाता है और अगले चरण में वही ऑपरेशन दोहराया जाता है, इत्यादि। इस तरह, किसी भी सेलुलर ऑटोमेटन की तरह, कुछ सामान्य गणना या सिमुलेशन करने के लिए सेल स्थितियों का पैटर्न समय के साथ परिवर्तित होता है।
समूह
सबसे सरल विभाजन योजना संभवतः मार्गोलस समूह है, जिसका नाम नॉर्मन मार्गोलस के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने सबसे पहले इस समूह संरचना का उपयोग करके ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटा का अध्ययन किया था। मार्गोलस समूह में, जालक को विभाजित किया गया है 2-सेल ब्लॉक (या 2 × 2 दो आयामों में वर्ग, या 2 × 2 × 2 तीन आयामों में घन, आदि) जो वैकल्पिक समय चरणों पर सेल (प्रत्येक आयाम के साथ) द्वारा स्थानांतरित किए जाते हैं।[1][2][3]
के. मोरिता और एम. हराओ के कारण निकट से संबंधित तकनीक [4] इसमें प्रत्येक कोशिका को सीमित संख्या में भागों में विभाजित करना सम्मिलित है, प्रत्येक भाग किसी न किसी समूही को समर्पित है। समूहियों के मध्य संबंधित भागों के आदान-प्रदान और फिर प्रत्येक कोशिका पर विशुद्ध रूप से स्थानीय परिवर्तन प्रयुक्त करने से विकास आगे बढ़ता है इस प्रकार केवल कोशिका की स्थिति पर निर्भर करता है (और उसके समूहियों की स्थिति पर नहीं)। ऐसी निर्माण योजना के साथ, स्थानीय परिवर्तन होने पर सेलुलर ऑटोमेटन को प्रतिवर्ती होने की गारंटी दी जाती है अपने आप में आक्षेप है. इस तकनीक को प्रत्येक बड़ी कोशिका के भागो द्वारा गठित कोशिकाओं की महीन जालक पर ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन के रूप में देखा जा सकता है; इस महीन जालक के ब्लॉक बड़ी कोशिका के अन्दर भागों के सेट और समूही कोशिकाओं में भागों के सेट के मध्य वैकल्पिक होते हैं जो दूसरे के साथ भागों को साझा करते हैं।
प्रतिवर्तीता और संरक्षण
जब तक प्रत्येक ब्लॉक को विकसित करने का नियम प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन है, तब तक संपूर्ण ऑटोमेटन भी होता है। अधिक दृढ़ता से, इस स्थिति में, ऑटोमेटन के समय-विपरीत व्यवहार को ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, एक ही ब्लॉक संरचना के साथ और संक्रमण नियम के साथ जो प्रत्येक ब्लॉक के अन्दर मूल ऑटोमेटन के नियम को विपरीत देता है। इसका विपरीत भी सत्य है: यदि ब्लॉक व्यक्तिगत रूप से प्रतिवर्ती नहीं हैं, तो वैश्विक विकास प्रतिवर्ती नहीं हो सकता है: यदि किसी ब्लॉक के दो भिन्न-भिन्न कॉन्फ़िगरेशन x और y ही परिणाम स्थिति z की ओर ले जाते हैं, तो ब्लॉक में x के साथ वैश्विक कॉन्फ़िगरेशन होगा कॉन्फ़िगरेशन से चरण के पश्चात् अप्रभेद्य जिसमें x को y द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अर्थात्, सेलुलर ऑटोमेटन विश्व स्तर पर तभी प्रतिवर्ती है जब यह ब्लॉक स्तर पर प्रतिवर्ती होटी है।[5]
प्रतिवर्ती ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटा को डिजाइन करने में सरलता, और रिवर्सिबिलिटी के लिए ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटा का परीक्षण करना, अन्य गैर-ब्लॉक समूह संरचनाओं के साथ सेलुलर ऑटोमेटा के विपरीत है, जिसके लिए यह अनिर्णीत समस्या है कि क्या ऑटोमेटन प्रतिवर्ती है और जिसके लिए रिवर्स गतिशीलता है आगे की गतिशीलता की तुलना में बहुत बड़े समूह की आवश्यकता हो सकती है।[6] किसी भी प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन को बड़ी संख्या में स्तरों के साथ प्रतिवर्ती ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन द्वारा अनुकरण किया जा सकता है; चूँकि, गैर-ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटा के लिए उत्क्रमणीयता की अनिश्चितता के कारण, गैर-ब्लॉक ऑटोमेटन में क्षेत्रों की त्रिज्या पर कोई गणना योग्य सीमा नहीं है जो सिमुलेशन में ब्लॉक के अनुरूप है, और गैर-ब्लॉक नियम से अनुवाद ब्लॉक नियम भी गणना योग्य नहीं है।[7]
ब्लॉक सेल्यूलर ऑटोमेटा भी सुविधाजनक औपचारिकता है जिसमें ऐसे नियमों को डिज़ाइन किया जाता है, जो उत्क्रमणीयता के अतिरिक्त, कण संख्या के संरक्षण, गति के संरक्षण आदि जैसे संरक्षण नियम को प्रयुक्त करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि प्रत्येक ब्लॉक के अन्दर नियम संख्या को संरक्षित करता है ब्लॉक में जीवित कोशिकाओं की संख्या, तो ऑटोमेटन का वैश्विक विकास भी उसी संख्या को संरक्षित करता है। यह गुण सेलुलर ऑटोमेटा से लेकर भौतिक सिमुलेशन तक के अनुप्रयोगों में उपयोगी है।[8]
पारंपरिक सेलुलर ऑटोमेटा द्वारा सिमुलेशन
जैसा कि टोफोली और मार्गोलस लिखते हैं,[2] ब्लॉक सेल्युलर ऑटोमेटन मॉडल पारंपरिक सेल्युलर ऑटोमेटन की तुलना में कोई अतिरिक्त शक्ति प्रस्तुत नहीं करता है जो प्रत्येक समय चरण में समान समूह संरचना का उपयोग करता है: किसी भी ब्लॉक सेल्युलर ऑटोमेटन को अधिक स्तरों और बड़े समूह का उपयोग करके पारंपरिक सेलुलर ऑटोमेटन पर अनुकरण किया जा सकता है। विशेष रूप से, दो ऑटोमेटा को कोशिकाओं की ही जालक का उपयोग करने दें, किन्तु पारंपरिक ऑटोमेटन की प्रत्येक स्थिति को ब्लॉक ऑटोमेटन की स्थिति, इसके विभाजन स्थानांतरण पैटर्न के चरण और इसके ब्लॉक के अन्दर सेल की स्थिति को निर्दिष्ट करने दें। उदाहरण के लिए, मार्गोलस समूह के साथ, इससे स्तरों की संख्या आठ गुना बढ़ जाएगी: चार संभावित स्थान हैं जो सेल 2 × 2 ब्लॉक अपने में ले सकता है और विभाजन के दो चरण इसके अतिरिक्त, पारंपरिक ऑटोमेटन का समूह ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन में दिए गए सेल वाले ब्लॉकों का संघ होता है। फिर इस समूह और स्तर संरचना के साथ, ब्लॉक ऑटोमेटन के प्रत्येक अपडेट को पारंपरिक सेलुलर ऑटोमेटन के एकल अपडेट द्वारा अनुकरण किया जा सकता है।
अनुप्रयोग
इन प्रणालियों में संरक्षण नियमों जैसे भौतिक बाधाओं का अनुकरण करने में सरलता के कारण, ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटा का उपयोग सामान्यतः जालक गैस और अन्य अर्ध-भौतिक सिमुलेशन को प्रयुक्त करने के लिए किया जाता है।[1][8] उदाहरण के लिए, मार्गोलस मॉडल का उपयोग एचपीपी जालक गैस मॉडल का अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है, जिसमें कण दो लंबवत दिशाओं में चलते हैं और दूसरे से टकराने पर समकोण पर विस्तृत हो जाते हैं। इस मॉडल के ब्लॉक सेलुलर सिमुलेशन में, अद्यतन नियम प्रत्येक सेल को उसके ब्लॉक में विकर्ण रूप से विपरीत सेल में ले जाता है, अतिरिक्त उस स्थिति के जब सेल में दो विकर्ण विपरीत कण होते हैं, जिस स्थिति में उन्हें विकर्ण विपरीत की पूरक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। कण इस प्रकार, कण एचपीपी मॉडल के अनुसार विषम चलते हैं और विस्तृत हो जाते हैं।[2][9] वैकल्पिक नियम जो एचपीपी जालक गैस मॉडल को विकर्ण गति के अतिरिक्त कणों की क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति के साथ अनुकरण करता है, इसमें प्रत्येक ब्लॉक की पदार्थ को वैकल्पिक चरणों में दक्षिणावर्त या वामावर्त घुमाना सम्मिलित है, इस स्थिति को छोड़कर जब सेल में दो विकर्ण विपरीत होते हैं कण, जिस स्थिति में यह अपरिवर्तित रहता है।[2] इनमें से किसी भी मॉडल में, गति (गतिमान कणों के वेग का योग) को संरक्षित किया जाता है, साथ ही उनकी संख्या को भी संरक्षित किया जाता है, जो भौतिक गैसों के अनुकरण के लिए आवश्यक गुण है। चूँकि, एचपीपी मॉडल गैस गतिशीलता के मॉडल के रूप में कुछ सीमा तक अवास्तविक हैं, क्योंकि उनके पास अतिरिक्त गैर-भौतिक संरक्षण नियम हैं: गति की प्रत्येक रेखा के अन्दर कुल गति, साथ ही समग्र प्रणाली की कुल गति, संरक्षित है। हेक्सागोनल ग्रिड पर आधारित अधिक सम्मिश्र मॉडल इस समस्या से बचते हैं।[9] इन ऑटोमेटा का उपयोग रेत के संग्रह और घंटे के चश्मे में रेत के कणों की गति को मॉडल करने के लिए भी किया जा सकता है। इस एप्लिकेशन में, कोई अद्यतन नियम के साथ मार्गोलस समूह का उपयोग कर सकता है जो प्रत्येक 2 × 2 ब्लॉक के अन्दर अनाज की संख्या को संरक्षित करता है किन्तु यह प्रत्येक दाने को उसके ब्लॉक के अन्दर जितना संभव हो उतना नीचे ले जाता है। यदि किसी ब्लॉक में दो अनाज सम्मिलित हैं जो एक दूसरे के ऊपर लंबवत रूप से रखे गए हैं, तो ऑटोमेटन का संक्रमण कार्य इसे ऐसे ब्लॉक से परिवर्तित कर देता है जिसमें अनाज अगल-बगल होते हैं, वास्तव में लंबे रेत के संग्रह को गिरने और विस्तृत होने की अनुमति मिलती है। यह मॉडल प्रतिवर्ती नहीं है, किन्तु यह अभी भी कणों की संख्या पर संरक्षण नियम का पालन करता है।[10] संशोधित नियम, समान समूह का उपयोग करते हुए किन्तु कणों को यथासंभव किनारे के साथ-साथ नीचे की ओर ले जाने से, नकली रेत के संग्रहों को तब भी विस्तृत होने की अनुमति मिलती है, जब वे बहुत खड़ी न हों।[11] पवन परिवहन और घर्षण जैसी घटनाओं को सम्मिलित करते हुए अधिक परिष्कृत सेलुलर ऑटोमेटन रेत संग्रह मॉडल भी संभव हैं।[10]
ब्लॉक सेल्युलर ऑटोमेटन मॉडल के लिए मार्गोलस का मूल अनुप्रयोग प्रतिवर्ती गणना के बिलियर्ड-बॉल कंप्यूटर का अनुकरण करना था, जिसमें बूलियन तर्क संकेतों को गतिशील कणों द्वारा सिम्युलेटेड किया जाता है और लॉजिक गेट्स उन कणों के प्रत्यास्थ टकरावों द्वारा सिम्युलेटेड होते हैं। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी मार्गोलस मॉडल में बिलियर्ड-बॉल गणना करना संभव है, प्रति कोशिका दो अवस्थाओं के साथ, और मॉडल के विकास द्वारा संरक्षित जीवित कोशिकाओं की संख्या के साथ बीबीएम नियम में जो इस तरह से बिलियर्ड-बॉल मॉडल का अनुकरण करता है, सिग्नल में एकल जीवित कोशिकाएं होती हैं, जो विषम चलती हैं। इस गति को पूरा करने के लिए, ब्लॉक ट्रांज़िशन कार्य एकल जीवित सेल वाले ब्लॉक को दूसरे ब्लॉक से परिवर्तित कर देता है जिसमें सेल को ब्लॉक के विपरीत कोने में ले जाया गया है। इसी तरह, प्रत्यास्थ टकराव ब्लॉक संक्रमण कार्य द्वारा किया जा सकता है जो ब्लॉक के अन्य दो कोशिकाओं द्वारा दो विकर्ण विपरीत जीवित कोशिकाओं को प्रतिस्थापित करता है। किसी ब्लॉक के अन्य सभी कॉन्फ़िगरेशन में, ब्लॉक ट्रांज़िशन कार्य इसकी स्थिति में कोई परिवर्तित कराव नहीं करता है। इस मॉडल में, 2 × 4 जीवित कोशिकाओं के आयत (विभाजन के संबंध में सावधानीपूर्वक संरेखित) स्थिर रहते हैं, और गतिशील कणों के पथ का मार्गदर्शन करने के लिए दर्पण के रूप में उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मार्गोलस समूह का चित्रण चार कणों और दर्पण को दर्शाता है; यदि अगला चरण नीले विभाजन का उपयोग करता है, तो दो कण दर्पण की ओर बढ़ रहे हैं जबकि अन्य दो टकराने वाले हैं, जबकि यदि अगला चरण लाल विभाजन का उपयोग करता है, तो दो कण दर्पण से दूर जा रहे हैं और अन्य दो टकराने वाले हैं बस टकरा गए और दूसरे से पृथक हो जाएंगे.[3][5][12]
अतिरिक्त नियम
टोफोली और मार्गोलस [2] दो-स्तर कोशिकाओं के साथ मार्गोलस समूह के लिए दो और प्रतिवर्ती नियमों का सुझाव दें, जो भौतिक विचारों से प्रेरित नहीं हैं, किन्तु रोचक गतिशीलता को जन्म देते हैं।
क्रिटर्स
क्रिटर्स नियम में, संक्रमण कार्य किसी ब्लॉक में प्रत्येक कोशिका की स्थिति को विपरीत देता है, केवल दो जीवित कोशिकाओं वाले ब्लॉक को छोड़कर जो अपरिवर्तित रहता है। इसके अतिरिक्त, तीन जीवित कोशिकाओं वाले ब्लॉक 180-डिग्री रोटेशन के साथ-साथ स्तर उत्क्रमण से निकलते हैं।[2] यह प्रतिवर्ती नियम है, और यह कणों की संख्या (सम चरणों में कण को जीवित कोशिका के रूप में और विषम चरणों में मृत कोशिका के रूप में गिनना) और विकर्ण रेखाओं के साथ कणों की संख्या की समता पर संरक्षण नियमों का पालन करता है।[12] क्योंकि यह प्रतिवर्ती है, प्रारंभिक अवस्थाएँ जिनमें सभी कोशिकाएँ यादृच्छिक रूप से चुनी गई अवस्थाएँ लेती हैं, उनके पूरे विकास के समय असंरचित रहती हैं। चूँकि, जब मृत कोशिकाओं के बड़े क्षेत्र के अन्दर केंद्रित यादृच्छिक कोशिकाओं के छोटे क्षेत्र के साथ प्रारंभ किया गया, तो यह नियम कॉनवे के गेम ऑफ लाइफ के समान सम्मिश्र गतिशीलता की ओर ले जाता है जिसमें जीवन के ग्लाइडर (कॉनवे के जीवन) के समान विभिन्न छोटे पैटर्न बच जाते हैं। केंद्रीय यादृच्छिक क्षेत्र और एक दूसरे के साथ इंटरैक्शन [2][12] जीवन में ग्लाइडर के विपरीत, उत्क्रमणीयता और कणों के संरक्षण का साथ तात्पर्य यह है कि जब क्रिटर्स में ग्लाइडर साथ दुर्घटनाग्रस्त होते हैं, तो कम से कम को बच जाना चाहिए, और अधिकांशतः यह दुर्घटनाएं दोनों आने वाले ग्लाइडर को भिन्न-भिन्न आउटगोइंग ट्रैक पर स्वयम को पुनर्गठित करने की अनुमति देती हैं। ऐसे टकरावों के माध्यम से, यह नियम कंप्यूटिंग के बिलियर्ड बॉल मॉडल का अनुकरण भी कर सकता है, चूँकि बीबीएम नियम की तुलना में अधिक सम्मिश्र विधि से [12] क्रिटर्स नियम भिन्न-भिन्न गति के अधिक सम्मिश्र स्पेसशिप (सेलुलर ऑटोमेटन) के साथ-साथ असीमित विभिन्न अवधियों वाले ऑसिलेटर (सेलुलर ऑटोमेटन) का भी समर्थन कर सकता है।[13]
ट्रॉन
ट्रॉन नियम में, संक्रमण कार्य प्रत्येक ब्लॉक को अपरिवर्तित छोड़ देता है, अतिरिक्त इसके कि जब उसकी सभी चार कोशिकाओं की स्थिति समान होता है, उस स्थिति में उनकी सभी स्थितियाँ विपरीत जाती हैं। इस नियम को प्रारंभिक स्थितियों से जीवित कोशिकाओं के आयत के रूप में, या समान सरल सीधे-किनारे वाली आकृतियों से चलाने से, सम्मिश्र आयताकार पैटर्न बनते हैं। टोफोली और मार्गोलस यह भी सुझाव देते हैं कि इस नियम का उपयोग स्थानीय सिंक्रनाइज़ेशन नियम को प्रयुक्त करने के लिए किया जा सकता है जो किसी भी मार्गोलस-समूह ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन को अतुल्यकालिक सेलुलर ऑटोमेटन का उपयोग करके अनुकरण करने की अनुमति देता है। इस सिमुलेशन में, एसिंक्रोनस ऑटोमेटन की प्रत्येक कोशिका सिम्युलेटेड ऑटोमेटन के लिए स्थिति और उस सेल के लिए टाइमस्टैम्प की अनुरूपता (गणित) का प्रतिनिधित्व करने वाला दूसरा बिट दोनों संग्रहीत करती है; इसलिए, परिणामी एसिंक्रोनस ऑटोमेटन में उसके द्वारा अनुकरण किए गए ऑटोमेटन की तुलना में दोगुनी अवस्थाएँ होती हैं। टाइमस्टैम्प आसन्न कोशिकाओं के मध्य अधिकतम से भिन्न होने के लिए बाध्य हैं, और चार कोशिकाओं के किसी भी ब्लॉक, जिनके सभी टाइमस्टैम्प में सही समानता है, जिसको सिम्युलेटेड ब्लॉक नियम के अनुसार अद्यतन किया जा सकता है। जब इस प्रकार का अद्यतन किया जाता है, तो टाइमस्टैम्प समता को ट्रॉन नियम के अनुसार भी अद्यतन किया जाना चाहिए, जो आवश्यक रूप से आसन्न टाइमस्टैम्प पर बाधा को बनाए रखता है। इस तरह से स्थानीय अपडेट करने से, एसिंक्रोनस ऑटोमेटन में प्रत्येक कोशिका का विकास सिम्युलेटेड सिंक्रोनस ब्लॉक ऑटोमेटन में इसके विकास के समान होता है।[2][14]
यह भी देखें
- टूथपिक अनुक्रम, फ्रैक्टल पैटर्न जिसे मार्गोलस समूह के साथ सेलुलर ऑटोमेटा द्वारा अनुकरण किया जा सकता है
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 Schiff, Joel L. (2008), "4.2.1 Partitioning Cellular Automata", Cellular Automata: A Discrete View of the World, Wiley, pp. 115–116
- ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Toffoli, Tommaso; Margolus, Norman (1987), "II.12 The Margolus neighborhood", Cellular Automata Machines: A New Environment for Modeling, MIT Press, pp. 119–138
- ↑ 3.0 3.1 Margolus, N. (1984), "Physics-like models of computation", Physica D, 10 (1–2): 81–95, Bibcode:1984PhyD...10...81M, doi:10.1016/0167-2789(84)90252-5. Reprinted in Wolfram, Stephen, ed. (1986), Theory and Applications of Cellular Automata, Advanced series on complex systems, vol. 1, World Scientific, pp. 232–246
- ↑ Morita, K.; Harao, M. (1989), "Computation universality of 1 dimensional reversible (injective) cellular automata" (PDF), Transactions Institute of the IEICE, E72: 758–762
- ↑ 5.0 5.1 Durand-Lose, Jérôme (2002), "Computing inside the billiard ball model", in Adamatzky, Andrew (ed.), Collision-Based Computing, Springer-Verlag, pp. 135–160
- ↑ Kari, Jarkko (1990), "Reversibility of 2D cellular automata is undecidable", Physica D, 45 (1–3): 379–385, Bibcode:1990PhyD...45..379K, doi:10.1016/0167-2789(90)90195-U
- ↑ Kari, Jarkko (1999), "On the circuit depth of structurally reversible cellular automata", Fundamenta Informaticae, 38: 93–107, doi:10.3233/FI-1999-381208; Durand-Lose, Jérôme (2001), "Representing reversible cellular automata with reversible block cellular automata", Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, AA: 145–154, archived from the original on 2011-05-15
- ↑ 8.0 8.1 Wolfram, Stephen (2002), A New Kind of Science, Wolfram Media, pp. 459–464, ISBN 1-57955-008-8
- ↑ 9.0 9.1 "5.5.4 Lattice Gases", in Schiff (2008), pp. 165–169.
- ↑ 10.0 10.1 Chopard, Bastien; Droz, Michael (1998), "2.2.6 The sand pile rule", Cellular Automata Modeling of Physical Systems, Cambridge University Press, pp. 42–46
- ↑ Gruau, Frédéric; Tromp, John (2000), "Cellular gravity" (PDF), Parallel Processing Letters, 10 (4): 383–393, doi:10.1142/s0129626400000354, archived from the original (PDF) on 2011-07-18
- ↑ 12.0 12.1 12.2 12.3 Margolus, Norman (1999), "Crystalline Computation", in Hey, Anthony J. G. (ed.), Feynman and Computation, Perseus Books, pp. 267–305, arXiv:comp-gas/9811002, Bibcode:1998comp.gas.11002M
- ↑ Marotta, Sebastian M. (2005), "Living in Critters' world", Revista Ciências Exatas e Naturais, 7 (1), archived from the original on 2012-03-19
- ↑ Ojala, Leo; Penttinen, Olli-Matti; Parviainen, Elina (2004), "Modeling and Analysis of Margolus Quantum Cellular Automata Using Net-Theoretical Methods", Applications and Theory of Petri Nets 2004, Lecture Notes in Computer Science, vol. 3099, Springer-Verlag, pp. 331–350, doi:10.1007/978-3-540-27793-4_19
बाहरी संबंध
- Critters simulation, Seth Koehler, Univ. of Florida
