ब्लॉक आव्यूह

गणित में, खंड मैट्रिक्स या विभाजित मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स होता है जिसे खंड या उपमैट्रिक्स नामक खंडों में विभाजित किया जाता है। खंड मैट्रिक्स के रूप में व्याख्या किए गए मैट्रिक्स को क्षैतिज और लंबवत रेखाओं के संग्रह के साथ मूल मैट्रिक्स के रूप में देखा जा सकता है, जो इसे छोटे मैट्रिक्स के संग्रह में विभाजित करता है, या इसे विभाजित करता है। किसी भी मैट्रिक्स को खंड मैट्रिक्स के रूप में एक या अधिक विधियों से व्याख्या किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक व्याख्या को परिभाषित किया जाता है कि इसकी पंक्तियों और स्तंभों को कैसे विभाजित किया जाता है।

इस धारणा में मैट्रिक्स $M$ को $n$ द्वारा $m$ के लिए $n$ को एक संग्रह पंक्ति समूह मे विभाजित करके और पुनः $m$$n$ को एक संग्रह स्तंभसमूह द्वारा विभाजन करके सटीक बनाया जा सकता है मूल मैट्रिक्स को तब इन समूहों के स्तंभ के रूप में माना जाता है, इस अर्थ में कि मूल मैट्रिक्स $(i,j)$ प्रविष्टि 1-से -1 विधि से कुछ $(s,t)$ ऑफसेट प्रविष्टि $(x,y)$ के समान है, जहाँ पंक्ति समूह और खंड मैट्रिक्स सामान्य रूप से मैट्रिक्स की श्रेणी में द्विउत्पाद से उत्पन्न होता है।

उदाहरण

12×12, 12×24, 24×12, और 24×24 सब-मैट्रिक्स ो के साथ एक 168×168 एलिमेंट खंड मैट्रिक्सगैर-शून्य तत्व नीले रंग में हैं, शून्य तत्व भूरा हैं।

मैट्रिक्स

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}$

को चार 2×2 खंडों में विभाजित किया जा सकता है

$\mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.$

तब इसे विभाजित मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.$

खंड मैट्रिक्स गुणन

एक खंड विभाजित मैट्रिक्स उत्पाद का उपयोग करना संभव है जिसमें कारकों के उपमैट्रिक्स पर मात्र बीजगणित सम्मिलित है। यद्यपि कारकों का विभाजन यादृच्छिक नहीं है, और इसके लिए अनुकूल मैट्रिक्स विभाजन की आवश्यकता होती है जैसे कि दो मैट्रिक्स $A$ और $B$ के मध्य उपयोग किए जाने वाले सभी उप मैट्रिक्स उत्पादों को परिभाषित किया गया है।

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}$

और $\mathbf {A}$ $(p\times n)$ मैट्रिक्स $\mathbf {B}$ साथ $s$ पंक्ति विभाजन और $r$ स्तंभ विभाजन

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}},$

जो विभाजन के साथ संगत हैं, $A$ मैट्रिक्स उत्पाद

$\mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B}$

उपज, खंडवार किया जा सकता है $\mathbf {C}$ के रूप में $(m\times n)$ साथ मैट्रिक्स $q$ पंक्ति विभाजन और $r$ स्तंभ विभाजन मैट्रिक्स परिणामी में मैट्रिक्स $\mathbf {C}$ गुणा करके गणना की जाती है:

${\mathbf{C}}_{}$