ब्राउनियन वेब

संभाव्यता सिद्धांत में, प्रकार कि ऐसी गति है जो अंतरिक्ष और समय में प्रत्येक बिंदु से प्रारंभ होने वाले एक-आयामी समेकित ब्राउनियन गतियों का अगणनीय संग्रह है। इस प्रकार से यह प्रत्येक बार पूर्णांक जालक जेड के प्रत्येक बिंदु से प्रारंभ होने वाली चाल के साथ, यादृच्छिक चाल को संयोजन के रूप में संग्रह की विसारक अंतरिक्ष समय सोपानी सीमा के रूप में उत्पन्न होती है।

इतिहास और मूल विवरण

इस प्रकार से जिसे अब ब्राउनियन वेब के रूप में जाना जाता है, उसकी कल्पना सबसे पहले रिचर्ड अरटिया ने अपनी पीएचडी थीसिस और उसके बाद अधूरी और अप्रकाशित पांडुलिपि में की थी। अतः अरटिया ने मतदाता मॉडल का अध्ययन किया, अंतःक्रियात्मक कण प्रणाली जो जनसंख्या के राजनीतिक विचारों के विकास का मॉडल करती है। इस प्रकार से जनसंख्या के व्यक्तियों को ग्राफ के शीर्षों द्वारा दर्शाया जाता है, और प्रत्येक व्यक्ति दो संभावित में से को वहन करता है, जिसे 0 या 1 के रूप में दर्शाया जाता है। स्वतंत्र रूप से दर 1 पर, प्रत्येक व्यक्ति यादृच्छिक रूप से चुने गए निकटवर्ती के विचार में अपने विचार परिवर्तित करते है। अतः मतदाता मॉडल को यादृच्छिक भ्रमण (अर्थात, यादृच्छिक भ्रमण स्वतंत्र रूप से तब चलते हैं जब वे अलग होते हैं, और एक बार मिलने के पश्चात एकल भ्रम के रूप में चलते हैं) को इस अर्थ में दोहरे रूप में जाना जाता है कि: किसी भी समय प्रत्येक व्यक्ति के विचार को पीछे की ओर देखा जा सकता है समय 0 पर पूर्वज के समय में, और अलग-अलग समय पर अलग-अलग व्यक्तियों के विचार की संयुक्त वंशावली समय में पीछे की ओर विकसित होने वाले यादृच्छिक चालों का संग्रह है। इस प्रकार से स्थानिक आयाम 1 में, अंतरिक्ष-समय बिंदुओं की परिमित संख्या से प्रारंभ होने वाले यादृच्छिक चालें संधित ब्राउनियन गतियों की एक सीमित संख्या में परिवर्तित हो जाती हैं, यदि अंतरिक्ष-समय को विसरित रूप से (अर्थात, प्रत्येक अंतरिक्ष-समय बिंदु (x,t) को ε↓0 के साथ (εx,ε^2t) पर प्रतिचित्रित किया जाता है) बढ़ाया जाता है। यह डोंस्कर के अपरिवर्तनीय सिद्धांत का परिणाम है। इस प्रकार से कम स्पष्ट प्रश्न यह है:

इस प्रकार से असतत स्थान-समय जालक$\mathbb {Z} _{\rm {even}}^{2}:=\{(x,n)\in \mathbb {Z} ^{2}:x+n{\mbox{ is even}}\}$ पर यादृच्छिक चाल को संयोजित करना था। अतः प्रत्येक जालक बिंदु से, तीर या तो ऊपर-दाएँ या ऊपर-बाएँ 1/2 प्रायिकता के साथ खींचा जाता है। यादृच्छिक चालें तीरों का अनुसरण करके समय के साथ ऊपर की ओर बढ़ती हैं, और विभिन्न यादृच्छिक चालें एक बार मिलने के बाद आपस में जुड़ जाती हैं।

अंतरिक्ष-समय में 'प्रत्येक' बिंदु से प्रारंभ होने वाले एक-आयामी संधित यादृच्छिक भ्रमण के संयुक्त संग्रह की विसारक सोपानी सीमा क्या है?

इस प्रकार से अराटिया ने इस सीमा का निर्माण करना प्रारंभ किया, जिसे अब हम ब्राउनियन वेब कहते हैं। अतः औपचारिक रूप से यह बताते हुए कि यह $\mathbb {R} ^{2}$ में प्रत्येक स्थान-समय बिंदु से प्रारंभ होने वाले एक-आयामी संधित ब्राउनियन गतियों का संग्रह है। तथ्य यह है कि ब्राउनियन वेब में ब्राउनियन गतियों की अगणनीय संख्या होती है, जो निर्माण को अत्यधिक गैर-तुच्छ बनाती है। अरटिया ने निर्माण दिया परन्तु सीमित वस्तु के लिए यादृच्छिक चलने के अभिसरण को सिद्ध करने में असमर्थ था और ऐसी सीमित वस्तु को चित्रित करता था।

इस प्रकार से बैलिंटन टूथ और वेंडेलिन वर्नर ने वास्तविक स्व-विकर्षक गति के अपने अध्ययन में इस सीमित वस्तु और इसके दोहरे गुणों के कई विस्तृत गुण प्राप्त किए, परन्तु इस सीमित वस्तु के लिए सहवर्ती चाल के अभिसरण को सिद्ध नहीं किया या इसकी विशेषता नहीं बताई गई थी। अतः अभिसरण सिद्ध करने में मुख्य जटिलता यादृच्छिक बिंदुओं के अस्तित्व से उत्पन्न होती है जिससे सीमित वस्तु के कई मार्ग हो सकते हैं। इस प्रकार से अरटिया और बैलिंटन टूथ और वेंडेलिन वर्नर ऐसे बिंदुओं के अस्तित्व के विषय में जानते थे और उन्होंने इस प्रकार से की बहुलता से बचने के लिए विभिन्न प्रकार की परंपराएँ प्रदान कीं थी। अतः फोंटेस, आइसोपी, चार्ल्स एम. न्यूमैन और रविशंकर ने सीमित वस्तु के लिए सांस्थिति का प्रारंभ किया जिससे कि इसे पोलिश समष्टि में मान लेने वाले यादृच्छिक चर के रूप में समझा जा सके और इस प्रकार से की स्थिति में पूर्ण रूप से पथों के संहत समुच्चय की समष्टि होती है। इस प्रकार से यह विकल्प सीमित वस्तु को यादृच्छिक समष्टि समय बिंदु से कई पथों की अनुमति देता है। इस सांस्थिति के प्रारंभ ने उन्हें अद्वितीय सीमित वस्तु के लिए सामूहिक यादृच्छिक चलने के अभिसरण को सिद्ध करने के लिए और इसे चिह्नित करने की पूर्ण रूप से अनुमति दी थी। अतः उन्होंने इस सीमित वस्तु का नाम ब्राउनियन वेब रखा था।

इस प्रकार से ब्राउनियन वेब का विस्तार, जिसे ब्राउनियन नेट कहा जाता है, संधित ब्राउनियन गतियों को शाखाओं में बंटने की अनुमति देकर सन और स्वार्ट द्वारा प्रस्तुत किया गया है। अतः ब्राउनियन जाल का वैकल्पिक निर्माण न्यूमैन, रविशंकर और शर्टज़र द्वारा दिया गया था।

इस प्रकार से वर्तमान सर्वेक्षण के लिए, शर्टज़र, सन और स्वार्ट देखें।