ब्राउनियन ट्री

प्रायिकता सिद्धांत में, ब्राउनियन ट्री, एल्डोस ट्री, या कॉन्टिनम रैंडम ट्री (सीआरटी) यादृच्छिक वास्तविक ट्रीस से एक विशेष मामला है जिसे ब्राउनियन भ्रमण से परिभाषित किया जा सकता है। ब्राउनियन ट्री को डेविड एल्डस द्वारा 1991 और 1993 में प्रकाशित तीन लेखों में परिभाषित और अध्ययन किया गया था। तब से इस ट्री को सामान्यीकृत किया गया है।

इस यादृच्छिक ट्री की कई समान परिभाषाएँ और निर्माण हैं: सीमित संख्या में पत्तियों से उत्पन्न सबट्री का उपयोग करना, ब्राउनियन भ्रमण का उपयोग करना, पॉइसन द्वारा एक सीधी रेखा को अलग करना, या गैल्टन-वाटसन ट्रीस की सीमा के रूप में है।

सहज ज्ञान से, ब्राउनियन ट्री एक द्विआधारी ट्री है जिसके नोड्स (या शाखा बिंदु) ट्री में घने होते हैं; तात्पर्य यह है कि ट्री के किन्हीं अलग-अलग दो बिंदुओं के लिए, उनके बीच हमेशा एक नोड उपस्थित रहेगा। यह एक फ्रैक्टल वस्तु है जिसे कंप्यूटर या डेन्ड्राइट संरचनाओं (क्रिस्टल) के साथ भौतिक प्रक्रियाओं द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

परिभाषाएँ

निम्नलिखित परिभाषाएँ ब्राउनियन ट्री की अलग-अलग विशेषताएँ हैं, इन्हें एल्डस के तीन लेखों से लिया गया है। पत्ती, गाँठ, शाखा और जड़ की धारणाएँ एक ट्री की सहज धारणाएँ हैं (विवरण के लिए, वास्तविक ट्री देखें)।

परिमित-आयामी नियम

यह परिभाषा परिमित रूप से अनेक पत्तियों द्वारा उत्पन्न सबट्री के परिमित-आयामी नियम देती है।

आइए हम सभी बाइनरी ट्री के स्थान पर विचार करें $k$ से गिने पत्ते $1$ को $k$. इन ट्रीस के पास है $2k-1$ लंबाई के साथ किनारे $(\ell _{1},\dots ,\ell _{2k-1})\in \mathbb {R} _{+}^{2k-1}$. एक ट्री को उसके आकार से परिभाषित किया जाता है $\tau$ (जिसे नोड्स का क्रम कहना है) और किनारे की लंबाई है। हम एक प्रायिकता सिद्धांत को परिभाषित करते हैं $\mathbb {P}$ एक यादृच्छिक चर का $(T,(L_{i})_{1\leq i\leq 2k-1})$ द्वारा इस स्थान पर:

$\mathbb {P} (T=\tau \,,\,L_{i}\in [\ell _{i},\ell _{i}+d\ell _{i}],\forall 1\leq i\leq 2k-1)=s\exp(-s^{2}/2)\,d\ell _{1}\ldots d\ell _{2k-1}$

कहां $\textstyle s=\sum \ell _{i}$.

दूसरे शब्दों में, $\mathbb {P}$ ट्री के आकार पर निर्भर नहीं करता बल्कि सभी किनारों की लंबाई के कुल योग पर निर्भर करता है।

Definition — Let $X$ be a metric space with the tree property, meaning there exists a unique path between two points of $X$. Equip $X$ with a probability measure $\mu$. Suppose the sub-tree of $X$ generated by $k$ points, chosen randomly under $\mu$, has law $\mathbb {P}$. Then $X$ is called a Brownian tree.

मान लीजिए $X$ ट्री संपत्ति के साथ एक मीट्रिक स्थान है, जिसका अर्थ है कि $X$ के दो बिंदुओं के बीच एक अद्वितीय पथ उपस्थित है। $X$ को प्रायिकता माप $\mu$ से लैस करें। $k$ के तहत यादृच्छिक रूप से चुने गए $\mu$ बिंदुओं द्वारा उत्पन्न $X$ के सबट्री को नियम $\mathbb {P}$ है। फिर $X$ को "'ब्राउनियन ट्री कहा जाता है।

दूसरे शब्दों में, ब्राउनियन ट्री को उन सभी परिमित सबट्री के नियमों से परिभाषित किया जाता है जो इससे उत्पन्न हो सकते हैं।

सतत ट्री

ब्राउनियन ट्री एक वास्तविक ट्री है जिसे ब्राउनियन भ्रमण से परिभाषित किया गया है (वास्तविक ट्री में लक्षण वर्णन 4 देखें)।

मान लीजिए $e=(e(x),0\leq x\leq 1)$एक ब्राउनियन भ्रमण हो। एक मीट्रिक स्थान परिभाषित करें $d$ पर $[0,1]$ साथ

$d(x,y):=e(x)+e(y)-2\min {\big \{}e(z)\,;z\in [x,y]{\big \}},$ किसी के लिए $x,y\in [0,1]$

फिर हम एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करते हैं, विख्यात $\sim _{e}$ पर $[0,1]$ जो सभी बिंदुओं से संबंधित है $x,y$ ऐसा है कि $d(x,y)=0$ .

$x\sim _{e}y\Leftrightarrow d(x,y)=0.$

$d$ फिर भागफल स्थान (टोपोलॉजी) पर एक दूरी है