बीजगणितीय स्टैक

गणित में, बीजगणितीय स्टैक बीजगणितीय रिक्त समष्टि या योजनाओं (गणित) का एक विशाल सामान्यीकरण है जो मॉडुलि सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए मूलभूत हैं। बीजगणितीय स्टैक के लिए विशिष्ट तकनीकों का उपयोग करके कई मोडुली रिक्त समष्टि बनाए जाते हैं, जैसे कि आर्टिन की प्रतिनिधित्व क्षमता का प्रमेय, जिसका उपयोग बीजगणितीय वक्र ${\mathcal {M}}_{g,n}$ के मोडुली समष्टि के निर्माण के लिए दीर्घवृत्तीय वक्र मे किया जाता है। मूल रूप से, उन्हें ग्रोथेंडिक द्वारा मोडुली समष्टि पर स्वसमाकृतिकता का नियंत्रण रखने के लिए प्रस्तुत किया गया था।^[1] एक ऐसी तकनीक जो इन मोडुली समष्टि को परिवर्तित करने की स्वीकृति देती है जैसे कि उनकी अंतर्निहित योजनाएं या बीजगणितीय समष्टि मे है लेकिन कई सामान्यीकरणों के माध्यम से बीजगणितीय स्टैक की धारणा अंततः माइकल आर्टिन द्वारा खोजी गई थी।^[2]

परिभाषा

प्रेरणा

बीजगणितीय स्टैक के प्रेरक उदाहरणों में से एक निश्चित योजना $S$ के ऊपर समूह योजना $(R,U,s,t,m)$ पर विचार करना है उदाहरण के लिए, यदि $R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}$ $U=\mathbb {A} _{S}^{n}$ , $s={\text{pr}}_{U}$ प्रक्षेपण मानचित्र है और $t$ समूह क्रिया है तब

$\zeta _{n}\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\zeta _{n}x_{1},\ldots ,\zeta _{n}x_{n})$

और $m$ गुणन मानचित्र है:

$m:(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}$

तब $S$ योजना $\pi :X\to S$ दिए जाने पर ग्रुपॉइड योजना $(R(X),U(X),s,t,m)$ एक ग्रुपॉइड बनाता है जहाँ $R,U$ उनके संबंधित प्रकार्यक हैं इसके अतिरिक्त यह निर्माण $(\mathrm {Sch} /S)$ पर क्रियात्मक है जो एक प्रतिपरिवर्ती 2-प्रकार्यक बनाता है:

$(R(-),U(-),s,t,m):(\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op} }\to {\text{Cat}}$

जहाँ ${\text{Cat}}$ छोटी श्रेणियों की छोटी श्रेणी है इसे देखने का एक अन्य प्रकार ग्रोथेंडिक निर्माण के माध्यम से एक फाइब्रिन श्रेणी $[U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)$ के रूप में है। सही तकनीकी स्थितियां प्राप्त करना जैसे $(\mathrm {Sch} /S)$ पर ग्रोथेंडिक सांस्थिति, एक बीजगणितीय स्टैक की परिभाषा देता है। उदाहरण के लिए, मूल वस्तु $0\in \mathbb {A} _{S}^{n}(k)$ पर क्षेत्र $k$ के लिए k-बिंदुओं के संबद्ध समूह में आकारिकी $\mu _{n}(k)$ का समूह होता है। ध्यान दें कि $[U/R]$ से एक बीजगणितीय स्टैक प्राप्त करने के लिए न कि केवल एक स्टैक के लिए, $[U/R]$ के लिए अतिरिक्त तकनीकी परिकल्पनाओं की आवश्यकता होती है।^[3]