बाईक्वाटरनियन

अमूर्त बीजगणित में द्विचतुर्भुज संख्याएँ w + x i + y j + z k हैं जहाँ w, x, y, और z सम्मिश्र संख्याएँ हैं या इसके भिन्न रूप हैं और इसके तत्व {1, i, j, k} हैं चतुष्कोणीय समूह के रूप में गुणा करें और उनके गुणांकों के साथ परिवर्तित करें। सम्मिश्र संख्याओं और उनकी विविधताओं के अनुरूप तीन प्रकार के द्विचतुर्भुज हैं:

• द्विअर्थी जब गुणांक सम्मिश्र संख्याएँ हों।
• विभाजन-द्विभाजित जब गुणांक विभाजित-जटिल संख्याएँ हों।
• दोहरी चतुर्भुज जब गुणांक दोहरी संख्याएँ हों।

यह लेख 1844 में विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा नामित सामान्य द्विअर्थी के बारे में है (देखें रॉयल आयरिश अकादमी की कार्यवाही 1844 और 1850 पृष्ठ 388) इन द्विअर्थी के कुछ अधिक प्रमुख समर्थकों में अलेक्जेंडर मैकफर्लेन, आर्थर डब्ल्यू कॉनवे, लुडविग सिल्बरस्टीन और कॉर्नेलियस लैंक्ज़ोस सम्मिलित हैं। जैसा कि नीचे विकसित किया गया है और द्विचतुर्भुजों की इकाई अर्ध-क्षेत्र लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व प्रदान करता है जो विशेष सापेक्षता की नींव है।

द्विअर्थी के बीजगणित को बीजगणित का टेंसर उत्पाद माना जा सकता है $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ (वास्तविक पर कब्जा कर लिया) जहां C या $\mathbb {C}$ जटिल संख्याओं का क्षेत्र (गणित) है और H या $\mathbb {H}$ (वास्तविक) चतुष्कोणों का विभाजन बीजगणित है। दूसरे शब्दों में द्विचतुर्भुज चतुष्कोणों की जटिलता मात्र हैं। एक जटिल बीजगणित के रूप में देखा जाता है द्विचतुर्भुज के बीजगणित के समरूपी होते हैं 2 × 2 जटिल आव्यूह M₂(C) वे कई क्लिफर्ड बीजगणित के लिए भी समरूप हैं H(C) = Cℓ⁰₃(C) = Cℓ₂(C) = Cℓ_1,2(R), पाउली बीजगणित Cℓ_3,0(R), और Cℓ⁰_1,3(R) = Cℓ⁰_3,1(R) दिक्-काल बीजगणित का सम भाग है।

परिभाषा

होने देना {1, i, j, k} (वास्तविक) चतुष्कोणों का आधार बनें H, और जाने u, v, w, x तब सम्मिश्र संख्याएँ:

$q=u\mathbf {1} +v\mathbf {i} +w\mathbf {j} +x\mathbf {k}$

द्विचतुर्भुज है। द्विअर्थी में माइनस एक के वर्गमूलों में अंतर करने के लिए हैमिल्टन और आर्थर डब्ल्यू। कॉनवे ने अदिश क्षेत्र सी में शून्य से एक के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करने के सम्मेलन का उपयोग एच द्वारा भ्रम से बचने के लिए किया i चतुष्कोणीय समूह में चतुर्धातुक समूह के साथ अदिश क्षेत्र की क्रमविनिमेयता मान ली गई है:

$h\mathbf {i} =\mathbf {i} h,\ \ h\mathbf {j} =\mathbf {j} h,\ \ h\mathbf {k} =\mathbf {k} h.$

हैमिल्टन ने वास्तविक चतुष्कोणों के साथ उपयोग की जाने वाली धारणाओं का विस्तार करने के लिए बाइवेक्टर (जटिल), बाइकॉन्जुगेट, बिटेंसर और बाइवर्सर शब्द प्रस्तुत किए।

1853 में हैमिल्टन की द्विअर्थी पर प्राथमिक व्याख्या उनके लेक्चर्स ऑन क्वाटरनियंस में आई थी। 1866 में विलियम एडविन हैमिल्टन (रोवन के पुत्र) और 1899, 1901 में चार्ल्स जैस्पर जोली द्वारा एलिमेंट्स ऑफ क्वाटरनियंस के संस्करणों ने वास्तविक क्वाटरनियन के पक्ष में द्विभाजन कवरेज को कम कर दिया।

चतुर्भुज समूह के अनुसार घटक-वार जोड़ और गुणा के संचालन के साथ विचार किया जाता है और यह संग्रह चार-आयामी अंतरिक्ष बनाता है | चार-आयामी बीजगणित जटिल संख्या 'सी' पर एक क्षेत्र पर द्विअर्थी का बीजगणित साहचर्य है लेकिन क्रम विनिमेय नहीं है। द्विचतुर्भुज या तो एक इकाई (रिंग थ्योरी) या एक शून्य विभाजक है। द्विअर्थी का बीजगणित एक संयोजन बीजगणित बनाता है और द्विजटिल संख्याओं से निर्मित किया जा सकता है। नीचे एक संयोजन बीजगणित के रूप में § देखें।

रिंग थ्योरी में जगह

रेखीय प्रतिनिधित्व

आव्यूह उत्पाद पर ध्यान दें

${\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}$.

क्योंकि h एक काल्पनिक इकाई है इन तीन सारणियों में से प्रत्येक में पहचान आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर एक वर्ग है।

जब इस आव्यूह उत्पाद की व्याख्या i j = k के रूप में की जाती है तो एक आव्यूह का एक उपसमूह प्राप्त करता है जो कि चतुर्धातुक समूह के लिए समरूपता है। फलस्वरूप,

${\begin{pmatrix}u+hv&w+hx\\-w+hx&u-hv\end{pmatrix}}$

द्विअर्थी q = u 1 + v i + w j + x k का प्रतिनिधित्व करता है।

किसी भी 2 × 2 जटिल आव्यूह को देखते हुए इसे इस रूप में रखने के लिए जटिल मान u, v, w और x हैं ताकि आव्यूह रिंग M(2,C) समरूप हो द्विअर्थी रिंग (गणित) के लिए।

उप बीजगणित

वास्तविक संख्याओं के अदिश क्षेत्र पर द्विअर्थी बीजगणित को ध्यान में रखते हुए R, सेट

$\{\mathbf {1} ,h,\mathbf {i} ,h\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,h\mathbf {j} ,\mathbf {k} ,h\mathbf {k} \}$

एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाता है इसलिए बीजगणित के आठ वास्तविक आयाम हैं। तत्वों का वर्ग hi, hj और hk सभी निश्चित हैं उदाहरण के लिए (hi)² = h²i² = (−1)(−1) = +1.

द्वारा दिया गया उप बीजगणित

$\{x+y(h\mathbf {i} ):x,y\in \mathbb {R} \}$

विभाजन-जटिल संख्याओं के तल के लिए वलय समरूपता है जिसकी एक बीजगणितीय संरचना इकाई अतिपरवलय पर बनी है। अवयव hj और hk ऐसे उप बीजगणित भी निर्धारित करते हैं।

आगे,

$\{x+y\mathbf {j} :x,y\in \mathbb {C} \}$

tessarines के लिए एक उप बीजगणित समरूप है।

एक तीसरा उप बीजगणित जिसे कोक्वाटरनियन कहा जाता है यह किसके द्वारा उत्पन्न होता है hj और hk ऐसा देखा गया है (hj)(hk) = (−1)i और यह कि इस तत्व का वर्ग है −1. ये तत्व वर्ग के डायहेड्रल समूह को उत्पन्न करते हैं। आधार के साथ रैखिक उपसमष्टि {1, i, hj, hk} इस प्रकार गुणा के तहत बंद हो जाता है और कोक्वाटरनियन बीजगणित बनाता है।

क्वांटम यांत्रिकी और स्पिनर बीजगणित के संदर्भ में द्विभाजित hi, hj और hk (या उनके निष्क्रिय) में देखा गया M₂(C) प्रतिनिधित्व को पॉल आव्यूह कहा जाता है।

बीजगणितीय गुण

द्विअर्थी के दो संयुग्मन हैं:

• 'उभयलिंगी' या अदिश ऋण बाइवेक्टर (जटिल) है $q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,$ और
• द्विभाजन गुणांकों का जटिल संयुग्मन $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k}$

जहाँ $z^{\star }=a-bh$ जब $z=a+bh,a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},h^{}$