बर्नूली प्रमेय

गणित में, बरनौली बहुपद, याकूब बरनौली के नाम पर, बरनौली संख्या और द्विपद गुणांक का सम्मिश्रण है। उनका उपयोग फलन (गणित) के श्रृंखला विस्तार के लिए और यूलर-मैकलॉरिन सूत्र के साथ किया जाता है।

ये बहुपद कई विशेष कार्यों के अध्ययन में पाए जाते हैं और विशेष रूप से, रीमैन जीटा फलन और हर्विट्ज़ जीटा फलन वे एक अपील अनुक्रम हैं (अर्थात साधारण व्युत्पन्न ऑपरेटर के लिए एक शेफ़र अनुक्रम)। बरनौली बहुपदों के लिए, इकाई अंतराल में एक्स-अक्ष के क्रॉसिंग की संख्या डिग्री के साथ नहीं बढ़ती है। बड़ी डिग्री की सीमा में, वे संपर्क करते हैं, जब उचित रूप से बढ़ाया जाता है, साइन और कोसाइन कार्य करता है।

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बरनौली बहुपद

जनरेटिंग फलन के आधार पर बहुपदों का एक समान समुच्चय, यूलर बहुपदों का परिवार है।

प्रतिनिधित्व

बरनौली बहुपद B_n जनरेटिंग फलन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। वे विभिन्न प्रकार के व्युत्पन्न अभ्यावेदन भी स्वीकार करते हैं।

फलनों का निर्माण

बरनौली बहुपदों के लिए जनक फलन है

${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

यूलर बहुपदों के लिए जनक फलन है

${\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

स्पष्ट सूत्र

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},$

$E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{m-k}\,.$

n ≥ 0 के लिए, जहाँ B_k बरनौली संख्या हैं, और E_k यूलर संख्या हैं।

एक अंतर ऑपरेटर द्वारा प्रतिनिधित्व

बरनौली बहुपद भी द्वारा दिया जाता है

$B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}$

जहां डी = डी/डीएक्स एक्स के संबंध में भेदभाव है और अंश औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित है। यह इस प्रकार है कि

$\int _{a}^{x}B_{n}(u)~du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}~.$

सी एफ #इंटीग्रल्स। उसी टोकन से, यूलर बहुपदों द्वारा दिया जाता है

$E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.$

एक अभिन्न ऑपरेटर द्वारा प्रतिनिधित्व

बरनौली बहुपद भी द्वारा निर्धारित अद्वितीय बहुपद हैं

$\int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.$

अभिन्न परिवर्तन

$(Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du$

बहुपद च पर, बस के बराबर है

$\begin{array}{rl}(Tf)(x)=\frac{e^D-<!--\; -\; -->1}{D}f(x)& =\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{}{}\end{array}$